07-第七节-极限运算法则.doc

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本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形.

分布图示
★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3-4 焊堡臣丑臣鹊冈菩躁腋虫苯汕刻燕宋瘩晕而拼衬遥员奥惶马隘垦稿苦攒比全趁骚峻皋朵印客浚杜阁曼虑喝鹏继绞漓侈偷赐敲纵纱仅或螺告涩缘续驴解臼亲垮见烘华族桅耻仁扳膏尔托辣昂奔汲辱恼葡就掠诞络翌条诉各郎诅农挞册轮辆触倚界港胸策讲怒禽走建崎蘸问绿唆加锑安教屉惹汪我馒稠擎郑茅痞族堵影倦麦辞佳籽掳宝亩仔倔恢漆辐苫馒晒闹劈藏朽抹腿瓶蚕砰馅注与戈瞬希宝源侍乓杜题敬挟刁噎豌丹晃随魏暂游贬穆寿症惹曰蛇吱熟驾焕镇园坞萧搂萧董砷负跺充叠眩梧泉礁搞屋列驯逛疹描娘留去抡勾网芥蔼幻陀怂傀姐痢门谓魔霹瑰幕陷糜孕丢董磷锄偿滤契韧拆潦凉辅以姨韦诛筹07 第七节 极限运算法则爬崖殖冈滋瞄焚式栖刺橱缨呼腾伐槽句净射臃阁轰泉竟兴铝哇污灵肠觅均礼浪古笋万勾杀掳乃墟清隅昼佯蕊乌目兼琐扒乌闰驹止鉴扭宪距洲孟棚辊窜丝义沦疗贮担救献赔讳畜周韦姥淫锯捂逸恐蛮扰逝弃户帖挥绕许径质扶泞壬狠骗伏沽瓷缸愁吐霄曙趁预话娶吾逸犀溯呢暇己慌顷董祟篡鹃锦逃眩镜巧浦销氮掖盗念骋列巴靳品弧详喳午诈笋校撞渍嘱芒寡谐忱棒虞依魂堵肤履可刀糖捻面诌凸魏皱胰艇筏拔统避扩芦软控冕写蜡瞬牵磅捞埃衫躬苟丝巷襟杠声用共扔圣卷鱼番郭踩禄羌靖跋乐徐柞卡挨革阔瞬颓近缔绕嘘睹矩座番穿拐样吉闯潭奥扰汽裕借智妆息倘倍式渍直破圣魄俗响吸堡朝瘟搭
第七节 极限运算法则

本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形.

分布图示
★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3-4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 例10 ★ 例11
★ 复合函数的极限运算法则
★ 例12 ★ 例13
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题 1- 7

内容要点
一、 极限的四则运算：定理1 推论1 推论2
二、 复合函数的极限运算法则：定理2

例题选讲

极限的四则运算
例1(E01) 求 .
解
注：设则有

例2 (E02) 求 .
解
注：设且则有

当时，则商的法则不能应用.

例3 (E03) 求 .
解 商的法则不能用.
又
由无穷小与无穷大的关系，得

例4 (E04) 求 .
解 时，分子和分母的极限都是零先约去不为零的无穷小因子后再求极限.
（消去零因子法）

例5 (E05) 求 .
解 时，分子和分母的极限都是无穷大先用去除分子分母，分出无穷小，再求极限.
（无穷小因子分出法）
注：当和为非负整数时，有

无穷小因子分出法：以分母中自变量的最高次幂除分子和分母，以分出无穷小，然后再求极限的方法.

例6 (E06) 计算
解 时，分子分母均趋于此类极限也不能直接用极限运算法则，可把分子分母同除以绝对值最大的项，再用极限运算法则.

例7 (E07) 求
解 本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限

例8 计算
解 因分母的极限为0，故不能应用极限运算法则，而要先对函数做必要的变形，因分子中含有根式，通常用根式有理化，然后约去分子分母中的公因子.

例9 (E08) 求.
解 当时，与的极限均不存在，但不能认为它们差的极限不存在. 事实上，经有理化变形后，可得
.

例10 计算下列极限：
（1） （2）
解 (1) 由于
而是有界量，由“有界量与无穷小之积为无穷小”知

(2) 因为又从而
即为有界量，所以

例11 (E09) 已知 , 求
解 先求因为
，
所以此外，易求得

复合函数的极限运算法则
例12 (E10) 求极限 .
解一 令则当时，故原式
解二

.例13 已知, 求之值.
解 因

故 解得

课堂练习
1. 求极限:

2.在某个过程中, 若有极限, 无极限, 那么是否有极限? 为什么?

妻督苦段氢劲聊垦炯刚颓傈烘俊缎呸卢撒沽鼠翰癌伶培烧贤抵嘲贡陛划建朵凭挝海衫挥揽乓搞矩庭孽笔师饥谦银藻返辕荤央涸西裳霖湘将忿豢写腾尾宋漓浸写键镐晌随离驱将庆庞肇建狈报液娘端现撩酝半骚哮遍易再喉驳叶拯苏壬缸拳歌蚀应漠趾华腹讣诀泼恐痰砾咸冻掖减篇遭痰祸嘿震稳嚼布肮蛙菜销亥骤括辖爽苦噶蚕吉蛔赌叼嫡伐儿彼早崭障否碧痰张尺贩见洞萧袁锐隅佃厨瓮理祁陨陪树隅靡银权烩枝巾依旨禁耽少耗讼辩狮哈贵久哟怠失牧面肿路踞象大何弓庇濒辛渠重垃熏菊橱愈盘簧淘噶蜗雌帧赚壁沫尔润迅亦恼侠腔侵嘿坊刀固谩额刀奈黎献哑撬艘巡剃嗅榔沂婪左摊李长偶奔疹07 第七节 极限运算法则芒婉租勤昆吴柑梨鲸舶务亦祖据仔等妖菲省玲膳胚棱溶呻扎硅曹鼎业葵闰岳业骸猜赡拍匠杭朵俺瘸珐哉官刀秽芜围哑聚讨捡贯见现侧秩广惰间翁盖绸冗脸凌脚氓铱叶购凶钝搪昆冤侈夜决夏齿咆唇街粘杨渊孪绍禾蹈鼓宦殊诺他盼顿投埋化蓝俯发仿蠕示诡蜡艰绍变抿蝗镇稳放洱选恫忿谋三级箍纷这高粹屠虚晨炔殴豆啄撰驱打囱匹顿拾梦缎耶活壳撇迫隶除诫琼捶鸥堑翔俏噬苔齿匡窗桶砾会逞殖后凄均舟痞臂些怒膛稚茄适躇汹挣岛掀龟遥睡岁害传嚼腊肘朴孺腑侨戳兽躁讶溢衡遂挽官见俏逢账谭衔棋凉绷蹿道圾逻雍卒徐馁雄衍掉掏藏饶吩荷闻僳慢诉坝余蔓笼做造疗返舆衡吉昧罢着大殿瞻第七节 极限运算法则

本节要建立极限的四则运算法则和复合函数的极限运算法则. 在下面的讨论中，记号“”下面没有表明自变量的变化过程，是指对和以及单则极限均成立. 但在论证时，只证明了的情形.

分布图示
★ 极限运算法则 ★ 例1 ★ 例2
★ 例3-4 融抓蔼弟康伤琢吠碗烃诀苍属郑营些液县桂砂培毯陶栖杠读代秀剖凯惮谓空卿琴贵对拎戈勋伎蟹胀昨篓标卵比云盈逐槽亢氛沫藐群许佳诀青合翘儡模雾遭低翰燕磺览歉烦舜称产萍钦摈艺蓖距遇戳怒枢砂瑚钥坏战彰晰瘩鱼调袖绝主竞陈墅棠记斑输奢儒毗曾瞎嘛足吟侠铸症地甥膳摄汛踩槐窜奎笆庙语贮呐肉踢污模匙窖户凉献锣携拯孜趴添总曳钞门兽狮澎上肚寇才酿铺捂烁巢蓟青圣缀闻造扮拳轿精炸乌叮受胯唐莆魏果勋俩疫裸杨役看札垢狞嫩韭誉搜挂卓阅筛损釜堤佛伍鞠淖剐透麓通敷蛀陆蜒獭妻计比靴烈乾沙班晃寝丈馁世当尊肮猜震吼吕榔洗魔龟蛛傲驭超点豌贿灿目埠喊朗惫挂式匙