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因式分解知识点归纳

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因式分解
知识点回顾
1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算
2、常用的因式分解方法：
（1）提取公因式法：
（2）运用公式法： 平方差公式：；
完全平方公式：
（3）十字相乘法：

因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。
（4）最后考虑用分组分解法
5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数）
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。
如：
6、幂的乘方法则：（都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：
幂的乘方法则可以逆用：即
如：
7、积的乘方法则：（是正整数）
积的乘方，等于各因数乘方的积。
如：（=
8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且
同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：
9、零指数和负指数；
，即任何不等于零的数的零次方等于1。
（是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。
如：
10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：
11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
即(都是单项式)
注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。]
如：
12、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。
如：
三、知识点分析：
1.同底数幂、幂的运算：
·(m，n都是正整数).
()(m，n都是正整数).
例题1.若，则 ；若，则
例题2.若，求的值。
例题3.计算
练习
1.若，则= .
2.设481,且9271,则等于 。
2.积的乘方
()(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
例题1. 计算：
3.乘法公式
平方差公式：
完全平方和公式：
完全平方差公式：
例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082
例题2.利用平方差公式计算：．
3.（a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
考点一、因式分解的概念
因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。
因式分解和整式乘法互为逆运算
1、下列从左到右是因式分解的是（ ）
A. x() B. x2-12=(1)(1)2
C. x2-1=(1)(1) D. ()
2、若可以因式分解为，则k的值为
3、已知a为正整数，试判断是奇数还是偶数？

4、已知关于x的二次三项式有一个因式，且17，试求m，n的值

考点二 提取公因式法
提取公因式法：
公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式
找公因式的方法：1、系数为各系数的最大公约数 2、字母是相同字母
3、字母的次数-相同字母的最低次数
习题
1、将多项式分解因式，应提取的公因式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知可因式分解为，其中a，b，c均为整数，则等于（ ）
A、-12 B、-32 C、38 D、72
3、分解因式
（1） （2）

（3） （4）

4、先分解因式，在计算求值
（1） 其中1.5

（2） 其中18

5、已知多项式有一个因式为，另一个因式为，求的值

6、若，用因式分解法求的值

7、已知a，b，c满足，求的值。（a，b，c都是正整数）

考点三、用乘法公式分解因式
平方差公式
运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反
习题
1、下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A、 B、 C、 D、
2、分解下列因式
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

（7）

3、若n为正整数，则一定能被8整除

完全平方式
运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。
习题
1、在多项式① ② ③ ④中，能用完全平方公式分解因式的有（　　）
A、①② B、②③ C、①④ D、②④
2、下列因式分解中，正确的有（　　）
①②③④⑤
A、0个 B、1个 C、2个 D、5个
3、如果是一个完全平方式，那么m应为（ ）
A、-5 B、3 C、7 D、7或-1
4、分解因式
(1) (2) (3)

（4） （5）

（6） （7）4x2－129y2－463

5、已知，，求

6、证明代数式的值总是正数

7、已知a，b，c分别是的三边长，试比较与的大小

考点四、十字相乘法
（1）二次项系数为1的二次三项式中，如果能把常数项分解成两个因式的积，并且等于一次项系数的值，那么它就可以把二次三项式分解成

例题讲解1、分解因式：
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5 1 2
解：= 1 3
= 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：
解：原式= 1 -1
= 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习
分解因式(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

2、二次项系数不为1的二次三项式——
条件：（1）
（2）
（3）
分解结果：=
例题讲解1、分解因式：
分析： 1 -2
3 -5
（-6）+（-5）= -11
解：=
分解因式：（1） （2）

（3） （4）

3、二次项系数为1的多项式
例题讲解、分解因式：
分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b
1 -16b
8(-16b)= -8b
解：

分解因式(1) (2) (3)

4、二次项系数不为1的多项式
例题讲解
1 -2y 把看作一个整体 1 -1
2 -3y 1 -2
(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式= 解：原式=

分解因式：（1） （2）

考点五、因式分解的应用
1、分解下列因式
（1） （2）

（3） （4）

2、计算下列各题
（1） （2）

3、解方程
（1） （2）

4、如果实数，且，那么的值等于
5、

6、若多项式能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）

7、先变形再求值
（1）已知，，求 的值

（2）已知，求的值

8、已知a、b、c为三角形三边，且满足a2220 ，试说明该三角形是等边三角形

9、两个正整数的平方差等于195，求出这两个正整数

10、阅读下列因式分解的过程，回答问题

（1） 上述分解因式的方式是，共用了次。
（2） 若分解，则需上述方法次，结果为
（3） 分解因式（n为正整数）

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