七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版讲课讲稿.doc

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版
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第三章 因式分解
1.因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 即：多项式几个整式的积 例：axbx
13131
x(ab) 3
因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。 2.因式分解的方法：
（1）提公因式法：
①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。
公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式
或多项式。
系数——取各项系数的最大公约数
字母——取各项都含有的字母
指数——取相同字母的最低次幂
例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是
解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部
3232
分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc.
②提公因式的步骤 第一步：找出公因式；
第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩
下的另一个因式。
注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要
先提取符号。
2233
例1：把12ab18ab24ab分解因式.
解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的最低次幂是ab，故公因式为6ab。
2233
解：12ab18ab24ab
6ab(2a3b4a2b2)
例2：把多项式3(x4)x(4x)分解因式
解析：由于4x(x4)，多项式3(x4)x(4x)可以变形为3(x4)x(x4),我们可以发现多项
式各项都含有公因式（x4）,所以我们可以提取公因式（x4）后,再将多项式写成积的形式. 解：3(x4)x(4x) =3(x4)x(x4) =(3x)(x4)
例3：把多项式x22x分解因式
解：x22x=(x22x)x(x2) （2）运用公式法
定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
a.逆用平方差公式：a2b2(ab)(ab)
b.逆用完全平方公式：a22abb2(ab)2
3
3
2
2
c.逆用立方和公式：ab(ab)(aabb（拓展）)
d.逆用立方差公式：a3b3(ab)(a2abb2（拓展）)
注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。
②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项
式，可考虑完全平方公式。
例1：因式分解a214a49
2
解：a14a49=(a7)2
例2：因式分解a2a(bc)(bc) 解：a2a(bc)(bc)=(abc) （3）分组分解法（拓展）
①将多项式分组后能提公因式进行因式分解； 例：把多项式abab1分解因式
解：abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1) ②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.
22
例：将多项式a2ab1b因式分解
22
222
22
解：a2ab1b
=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)
2x （4）十字相乘法（形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多项式，可以考虑运用此种方法）
222
方法：常数项拆成两个因数p和q，这两数的和pq为一次项系数
x2(pq)xpq
x2(pq)xpq(xp)(xq)
例：分解因式x2x30 分解因式x252x100 补充点详解 补充点详解
我们可以将-30分解成p×q的形式， 我们可以将100分解成p×q的形式， 使p+q=-1, p×q=-30,我们就有p=-6, 使p+q=52, p×q=100,我们就有p=2, q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。
所以将多项式x2(pq)xpq可以分 所以将多项式x2(pq)xpq可以分 解为(xp)(xq) 解为(xp)(xq)
x
x5
x2
-6
x50
x2x30(x6)(x5)
3.因式分解的一般步骤：
x252x100(x50)(x2)
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明
确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。 一、 例题解析
提公因式法
提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：
系数——取多项式各项系数的最大公约数；
字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例 1】 分解因式：
⑴15aab
2n1
10abba(n为正整数)
2n
⑵4a2n1bm6an2bm1(m、n为大于1的自然数)
【巩固】 分解因式： (xy)2n1(xz)(xy)2n2(yx)2n(yz)，n为正整数.
【例 2】 先化简再求值，yxyxyxyx2，其中x2，y 
2
求代数式的值：(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x)，其中x.
3
1． 2
22221
【例 3】 已知：bca2，求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值 公式法
平方差公式：a2b2(ab)(ab)
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2 ①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
分解因式：x3(xyz)(yza)x2z(zxy)x2y(zxy)(xza).
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：
a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2) (ab)3a33a2b3ab2b3 (ab)3a33a2b3ab2b