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等差数列求和公式

等差数列求和公式
等差数列前n项和公式,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:

1.直接套用公式
从公式中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.
例1 设等差数列的公差为d,如果它的前n项和,那么( ).
(A) (B)
(C) (D)
解法1 由于且知,
选(C).
解法2 对照系数易知
此时由知故选(C).
例2 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.
解 设的通项为前n项和为
由题意知,
即
化简可得解得或
由此可知或
经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或
2.逆向活用公式
在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.
例3 设求证:
证明
又

又
且

例4 数列对于任意自然数n均满足,求证: 是等差数列.
证明 欲证为常数,
由及可得
推出
作差可得因此
由递推性可知: 为常数),所以命题得证.
这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?
3.横向联系,巧用公式
在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.
解 设,则可得

解得或,所以或
从而或

y
例5 设等差数列的前项和为,已知指出中哪一个值最大,并说明理由.
x
12
13
解 由于表明点列
都在过原点的抛物线上,再由
易知此等差数列公差d<0,且图象如图所示,
O
易知其对称轴为,
于是,故最大.

4.恰当变形妙用公式
对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.
对于公式,变形可得
,
对于公式,变形可得
它表明对于任意,点列都在同一直线上.

例6 等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260
解法1
又由于,
,,
从而选(C).

解法2 由于点在同一直线上,因此
,化简可得:,选(C).

解法3 由于点列均在同一直线上,说明数列成等差数列,从而可得
,解得或
从而可求得或,
故等差数列通项为或

从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.