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学习等差数列求和公式的四个层次
黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎

等差数列前n项和公式,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:
1.直接套用公式
从公式中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.
例1 设等差数列的公差为d,如果它的前n项和,那么( ).(1992年三南高考试题)
(A) (B)
(C) (D)
解法1 由于且知,
选(C).
解法2 对照系数易知
此时由知故选(C).
例2 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.(1997年全国高考文科)
解 设的通项为前n项和为
由题意知,
即
化简可得解得或
由此可知或
经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或
2.逆向活用公式
在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.
例3 设求证:
(1985年全国高考文科)
证明
又

又
且

例4 数列对于任意自然数n均满足,求证: 是等差数列. (1994年全国高考文科)
证明 欲证为常数,
由及可得
推出
作差可得因此
由递推性可知: 为常数),所以命题得证.
这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?
3.横向联系,巧用公式
在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.
解 设,则可得

解得或,所以或
从而或
y
例5 设等差数列的前项和为,已知指出中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)
x
12
13
解 由于表明点列
都在过原点的抛物线上,再由
易知此等差数列公差d<0,且图象如图所示,
O
易知其对称轴为,
于是,故最大.
4.恰当变形妙用公式
对公式进行适当变形,然后再运用公式是公式应用的较高层次,从而丰富了公式本身的内涵,往往给解题带来捷径,体现了思维的深刻性.
对于公式,变形可得
,
对于公式,变形可得
它表明对于任意,点列都在同一直线上.
例6 等差数列的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )
(A)130 (B)170 (C)210 (D)260(1996年全国高考试题)
解法1
又由于,
,,
从而选(C).
解法2 由于点在同一直线上,因此
,化简可得:,选(C).
在上文我们曾给出97年高考试题两个解法, 这里我们再给出两个解法.
解法3 由于点列均在同一直线上,说明数列成等差数列,从而可得
,解得或
从而可求得或,
y
x
A
B
O
故等差数列通项为或
解法4 由于点列均在同一直线上如图所示,
由知A点坐标为(3.5,1).
若直线l与x轴无交点,即平行于x轴,则
d=0,,显然也满足条件,从而
若直线l与x轴相交,设其交点为B(x,0), 由及知 且若不然 ,由单调性知不可能有,因此点B应落在(4,0),(5,0)之间.由可得
即有解得.
由A、B两点坐标可求所在直线方程为

综上所述所求等差数列通项公式为或
从以上可以看出,对公式的学习不应仅仅停留在公式的表面.对公式深刻而丰富的内涵忽视或视而不见,而应充分挖掘出这些隐藏在内部的思想方法为我所用,提高公式的解题功效,才能达到灵活运用公式的较高境界.

含参变量的对数高考高考试题解法综述
黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎
含参变量的对数问题常常在高考试题中出现,本文对这一类问题的解法作以总结,以揭示这类问题的一般解题规律.
1.直接转换
直接转换:即把已知条件等价变形,而使问题获解,这里一定要注意等价变形.
例1 已知,试求使方程有解的k的取值范围.(1989年全国高考试题)
解:原方程等价于
由①可得　　　　　　　　　　　　　④
显然④满足不等式③,将④代入②可得或即为所求.
例2 解不等式.(1996年全国高考试题)
解(Ⅰ)当时原不等式等价不等式组
从而
(Ⅱ)当时原不等式等价于不等式组

综上所述,当时原不等式解集为,
当时原不等式解集为
2.消参策略
根据题目特征,消去参数可大大减少不必要的讨论.
例3 设且,试比较与的大小. (1982年全国高考试题)
解:
于是
因此>
3.引参策略
恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常用技巧.
例4 设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围. (1987年全国高考试题)

解:令,则原不等式可转化为.
要使原不等式恒成立,必须有
或
即解之
适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1.
解:原方程等价于

设,则
当时
又
当时又
综上所述可知k的范围为或
4.分类讨论
分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.
例5 已知自然数n,实数a>1,解关于x的不等式
(1991年全国高考试题)

解:原不等式等价于
(1)n为奇数时即
(2)n为偶数时即
例6 设,比较与的大小,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)
解:当t>0时,由均值不等式有,当且仅当t=1时取“=”号,所以
①t=1时=
②时 若则>
若则<
分类讨论应注意: ①对于多个参变量应分清主参变量与次参变量, ②按先主后次顺序分层次讨论,③必须确定讨论的全集及分类标准,各类必须互不相容,否则产生重复讨论各类子集的并集必须是全集,否则产生遗漏现象.
5.数形结合
数和形是整个数学发展过程中的两大柱石,数形结合是数学中十分重要的思想方法,某些问题,不妨可借助于几何图形来考虑,因为几何图形直观、形象,易于求解,请再看例1.
解:原方程等价于,
转化为考虑曲线与曲线
,要使原方程有解,只须
上半直线和上半双曲线有交点,由
平行于双曲线一条渐近线,如图,
或从而解得或时原方程有解.
对例5也可有如下解法.
原不等式等价于,
在同一坐标系中作出y=x(y>0),的
图象.由图象知,由求得交点P横
坐标为,(舍)
当n为奇数时,由知因a>1由图象知.
当n为偶数时,由知因a>1,由图象知.
仿上方法同理可求解例2,这里从略.
步骤:①把原不等式(方程)等价变形为②作出与图象,③由求交点,④由图象及函数性质确定范围,从而求解.
6.分离参数(主次转化)
更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4.
解:将原不等式变形为
,
又对于任意,,因此必须且只须
即解之0<a<1.
所求a的取值范围为0<a<1.
例7 设其中a是实数,,如果当时,有意义,求a的取值范围. (1990年全国高考试题)
解:由题设知时不等式恒成立,
即恒成立.
令,时为增函数.
因此x=1时.
恒成立,.
仿上述解法可对例1再给出如下两个解法:
解法1 以k为主参数考虑由,知,在为增函数,故即,解之或
解法2 以a为主参数,由知k与x同号,代入知
①当x>0时,则k>0,故
②当x<0时,则k<0,故
综上可知.
分离参数一般步骤为:①将含参数t的关于x的方程或不等式变形为g(t)与 的等式或不等式,②根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数的取值范围D,③由D以及g(t)与的相等与不等关系确定为g(t)的取值范围,从而求出参数t的范围.
说明:这里①是前提,②是关键
从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.