二级等差数列求和公式及推导.doc

二级等差数列求和公式就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和?
二级等差数列求和公式
就是后一项减前一项是等差数列,怎样求原数列的和?
a2-a1=k
a3-a2=k+d
a4-a3=k+2d
……
an-a(n-1)=k+(n-2)d
相加
an-a1=(n-1)k+[1+2+……+(n-2)]d=(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2
所以an=a1+(n-1)k+(n-2)(n-1)d/2
二阶等差数列怎样求和
a1=1
an-a(n-1)=2n-1
Sn=?
a1 = 1
a2 - a1 = 2*2 -1
a3 - a2 = 2*3 -1
a4 - a3 = 2*4 -1
……
an - a(n-1) = 2*n - 1
以上等式相加后,得到通项公式
an = 1 + 2(2+3+4+……+n) - 1-1-1- …… -1
=2(1+2+3+……+n) - n
=n(n+1) - n
=n^2
检验:
a2 - a1 = 4 - 1 = 2*2 - 1
a3 - a2 = 9 - 4 = 2*3 - 1
a4 - a3 = 16 -9 = 2*4 - 1
成立
下面求 Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2
(n+1)^3 - n^3 = (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
利用上面这个式子有：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
5^3 - 4^3 = 3*4^2 + 3*4 + 1
……
(n+1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3n + 1
把上述各等式左右分别相加 得到：
(n+1)^3 - 1^3 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*(1+2+3+……+n) + n*1
n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 = 3*(1^2+2^2+3^2+……+n^2) + 3*n(n+1)/2 + n
整理
1^2 + 2^2 + 3^2 + …… + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Sn = n(n+1)(2n+1)/6