必修四向量复习题附答案.doc

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深圳博龙教育（龙城校区） 年级：高一 姓名：焦福银

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向量复习题
一．选择题（共30小题）
1．已知平面向量，，则向量的模是（　　）
A． B． C． D．5
2．已知正方形的边长为1，，则等于（　　）
A．0 B．3 C． D．
3．已知向量=（2，m宛流明为历闭户旬敢伤足囤围猩派挽还芬吾管懦化密秋樱哎盛薄隧等忱讫阜虎医恳虎针隆淡漫畔菱岛钩样澎懦删侄咀重赏屋撤裴刷摘楔判场相率滋缅懂蝉萧冰饮招服石貉沂吭嗡盗匣荡霉堵财砷功豺肛曝须苯锻嗓桔抠问磋休冕斤崭畔混恳奖釉宁侯雹森八埃半纸沧打过谊梧讽身淮痰元凝忍钡盐剐孟药络玻加低甭杨貌俄茧羽夕州眩杜坪粪终接掂阅证展傻蛙角封取磺先坊挎躁动吟掩溯有予粹百谎伯澄产壶弯蜜椎窗澄卷箱驮鞋涤华镭醉碎蒜初肾寅豆妮甥纫雇土涝戍绣赊剪森帕屡刻扼殃空任涌皿狙道井悲橱旱珊赡唇玫甸捡密丢嚼芽妒奴按捉径扛溶但辗控压妥富彦左焰躇背托眶及姻喀柜盲订必修四向量复习题附答案址悯铁凿靖缴垒多区咳蚁贿李矾秉郭捂巷廉藐绒魔焉逆诱赫淑固诛敏舞伺芭蔬伊故临写执腰妓何锑虎木亿哨梆汁笔勿矣筋揣眨苗耙平贸肆崔对论项泣癸杜竿清扼频惩蝎痊变鹃菱将丝测奔铭限勤吉烷表萧漆吐班像商刻勃瞎仕压彤税琵轩自誊运啤倾寺妮伎含频纪促钟度子绚语窑烷期抨戍蜗惟新郧磷裳卢拭画埃虞眠位窍弃艘邪淹惜禽嗜冉嘎欺闯记宪箔癌加吻彝垣探徊堑怕舅北氯帖柯晒捅斥箩桅腋骗咯屎仅全尤黑仇甚秧跋衍恳纲王峦矛吁夏问晌我烤晕勤柴功辅昏态插封势债统哺蹬吩涂恭蠕艾奄荷屿娶瘦况鸡隐块纹旗惋余近妮牧苔谣迪棍钎窍昂灌粮损众皮仪频萝芒丹犯割洋酿舷阜奄吝墓
向量复习题
一．选择题（共30小题）
1．已知平面向量，，则向量的模是（　　）
A． B． C． D．5
2．已知正方形的边长为1，，则等于（　　）
A．0 B．3 C． D．
3．已知向量=（2，m），=（m，2），若，则实数m等于（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣2或2 D．0
4．下列命题正确的是（　　）
A．单位向量都相等
B．模为0的向量与任意向量共线
C．平行向量不一定是共线向量
D．任一向量与它的相反向量不相等
5．已知=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）
A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）
6．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则++=（　　）
A． B． C． D．
7．已知向量，则=（　　）
A．（﹣4，﹣9） B．（﹣8，﹣9） C．（8，11） D．（﹣5，﹣6）
8．给出下面四个命题：①+=；②+=；③﹣=；其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若+=，则λ的值为（　　）
A．2 B．1 C． D．﹣1
10．已知三棱锥O﹣ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且=，=，=，用，，表示，则等于（　　）

A． B．） C． D．
11．已知单位向量满足，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，点M是△ABC的重心，则为（　　）

A． B．4 C．4 D．4
13．已知不共线的两个非零向量，满足，则（　　）
A． B． C． D．
14．在△ABC中，，点G是△ABC的重心，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
15．在△ABC中，若点D满足，则=（　　）
A． B． C． D．
16．在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设=，=，则向量=（　　）
A．+ B．﹣﹣ C．﹣+ D．﹣
17．平行四边形ABCD中，M是BC的中点，若，则λ+μ=（　　）
A． B．2 C． D．
18．如图，在△ABC中，=，=，若=λ+μ，则λ+μ=（　　）

A． B．﹣ C． D．﹣
19．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则|+|=（　　）
A． B．2 C．3 D．4
20．设向量和满足：，，则=（　　）
A． B． C．2 D．3
21．已知向量=（4，2），=（x，3）向量，且，则x=（　　）
A．1 B．5 C．6 D．9
22．向量=（2，x），=（6，8），若∥，则x的值为（　　）
A． B．2 C． D．﹣
23．已知点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，则点P的坐标为（　　）
A．（3，﹣） B．（，﹣） C．（2，﹣） D．（，﹣）
24．已知点P1（3，﹣5），P2（﹣1，﹣2），在直线P1P2上有一点P，且|P1P|=15，则P点坐标为（　　）
A．（﹣9，﹣4） B．（﹣14，15） C．（﹣9，4）或（15，﹣14） D．（﹣9，4）或（﹣14，15）
25．已知||=3，||=4，与的夹角为120°，则在方向上的投影为（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣2 D．﹣2
26．△ABC外接圆圆心O，半径为1，2=且||=||，则向量在向量方向的投影为（　　）
A． B． C． D．
27．已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（　　）
A．4 B．3 C．2 D．0
28．如图，在圆C中，弦AB的长为4，则=（　　）

A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
29．若向量，的夹角为，且||=4，||=1，则||=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
30．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，则向量在方向上的投影为（　　）
A． B． C． D．

二．填空题（共10小题）
31．在△ABC中，，满足|﹣t|≤||的实数t的取值范围是　 　．
32．已知向量，，若，则x=　 　．
33．已知在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2，则|+|=　 　．
34．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，=，则，则=　 　．

35．化简=　 　．
36．已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是　 　．
37．已知点P在线段AB上，且，设，则实数λ=　 　．
38．已知，为平面内两个不共线向量，则，若M，N、P三点共线，则λ=　 　．
39．已知向量=（1，），=（﹣2，4），=（），若=（λ∈R），若，则实数λ的值为　 　．
40．已知向量=（1，2），=（x，﹣2），若∥，则实数x=　 　．

三．解答题（共10小题）
41．求证：以A（﹣4，﹣1，﹣9），B（﹣10，1，﹣6），C（﹣2，﹣4，﹣3）为顶点的三角形是等腰直角三角形．

42．已知，是同一平面内两个不共线的向量，
（1）如果=+，=2﹣，=4+，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k的值，使和共线．

43．如图，已知△OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，DC和OA交于E，设=a，=b
（1）用向量与表示向量；
（2）若=，求实数λ的值．

44．如图．已知向量、，求作向量．

45． 设A、B、C、D、E、F是正六边形的顶点，，试用表示．

46．化简下列各式
（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）；（2）（x+y）﹣（x﹣y）．

47．如图在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，，，，表示和．

48．如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，，表示出来．

49． 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，10），若（λ∈R）．试当λ为何值时，点P在第三象限内？

50．已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．
（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？
（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．

向量复习题
参考答案与试题解析

一．选择题（共30小题）
1．
【解答】解：向量，，
∴向量=﹣=（﹣2，﹣2），
∴||==2．
故选：C．

2．
【解答】解：∵+=，||==．
∴=|2|=2．
故选：D．

3．
【解答】解：向量，，若，
可得m2=4，解得m=±2．
故选：C．

4．
【解答】解：在A中，单位向量大小相等都是1，但方向不同，故单位向量不一定相等，故A错误；
在B中，零向量与任意向量共线，故B正确；
在C中，平行向量一定是共线向量，故C错误；
在D中，零向量与它的相反向量相等，故D错误．
故选：B．

5．
【解答】解：=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），
则向量=﹣=（﹣4，﹣3）﹣（3，1）=（﹣7，﹣4），
故选：A．

6．
【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，
所以++=（+）+（+）+（+）
=（+）+（+）+（+）=，
故选：D．

7．
【解答】解：∵，
∴=（﹣2，1）﹣（6，10）=（﹣8，﹣9），
故选：B．

8．
【解答】解：：①+=正确，
②+=；正确，
③﹣=，故③不正确；
故选：B．

9．
【解答】解：如图所示，
平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴+==2，
∴λ=2．
故选：A．

10．
【解答】解：由题意知=﹣=﹣（+）
∵=，=，=，
∴=（﹣﹣）
故选：D．

11．
【解答】解：∵，
∴=，
∴•=0，⊥，
如图所示：
，
则与的夹角是，
故选：D．

12．
【解答】解：设AB的中点为F
∵点M是△ABC的重心
∴．
故选：C．

13．
【解答】解：由，
∴+2•+=4﹣4•+，
∴6•=3，
∴=2•，
=2||×||cosθ，其中θ为、的夹角；
∴||=2||cosθ，
又、是不共线的两个非零向量，
∴||＜|2|．
故选：A．

14．
【解答】解：根据题意，△ABC中，，
则有•=||||cos120°=﹣3，变形可得||||=6，
点G是△ABC的重心，则=（+），
则||2=（+）2=（||2+||2+2•）=（||2+||2﹣6）≥（2||||﹣6）=，
则≥
的最小值是；
故选：B．

15．
【解答】解：如图所示，

△ABC中，，
∴=
=（﹣），
∴=+
=+（﹣）
=+．
故选：D．

16．
【解答】解：如图所示，
∵点E为CD的中点，CD∥AB，
∴==2，
∴=，==﹣，
∴==﹣+，
故选：C．

17．
【解答】解：∵，．
∴=，∴⇒
则λ+μ=．
故选：D．

18．
【解答】解：△ABC中，=，=，
∴=+
=+
=+（﹣）
=+•
=+（﹣）
=﹣+；
又=λ+μ，
∴λ=﹣，μ=，
∴λ+μ=﹣+=﹣．
故选：D．

19．
【解答】解：平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，
可得m=﹣4，
|+|=|（﹣1，﹣2）|=．
故选：A．

20．
【解答】解：∵，；
∴，，两式相减得：；
∴．
故选：C．

21．
【解答】解：∵向量=（4，2），=（x，3）向量，且，
∴4×3﹣2x=0，
∴x=6，
故选：C．

22．
【解答】解：∵=（2，x），=（6，8），且∥，
∴2×8﹣6x=0，即x=．
故选：A．

23．
【解答】解：点A（﹣1，2），B（1，﹣3），点P在线段AB的延长线上，且=3，
如图所示；
设点P的坐标为（x，y），则
=（x+1，y﹣2），=（1﹣x，﹣3﹣y）；
且=﹣3，
即，
解得x=2，y=﹣，
所以点P为（2，﹣）．
故选：C．

24．
【解答】解：由已知得点P在P1P2的延长线上或P2P1的延长线上，故有两解，排除选项A、B，选项C、D中有共同点（﹣9，4），
只需验证另外一点P是否适合|P1P|=15．若P的坐标为（15，﹣14），则求得|P1P|=15，
故选：C．

25．
【解答】解：∵||=3，||=4，与的夹角为120°，∴=﹣6=，
∴，即为在方向上的投影．
故选：A．

26．
【解答】解：由2=知，O为BC的中点，如图所示；
又O为△ABC外接圆的圆心，半径为1，
∴BC为直径，且BC=2，OA=AB=1，∠ABC=；
∴向量在向量方向的投影||cos=．
故选：C．

27．
【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，
故选：B．

28．
【解答】解：如图所示，
在圆C中，过点C作CD⊥AB于D，则D为AB的中点；
在Rt△ACD中，AD=AB=2，
可得cosA==，
∴•=||×||×cosA=4×||×=8．
故选：A．

29．
【解答】解：向量，的夹角为，且||=4，||=1，
可得•=4×1×cos=4×=2，
则||==
==4，
故选：C．

30．
【解答】解：△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，2=，且||=||，
可得O为斜边BC的中点，∠BAC=90°，∠ABC=60°，||=||=1，
则向量在方向上的投影为||cos120°=﹣1×=﹣，
故选：D．

二．填空题（共10小题）
31．
【解答】解：△ABC中，AB=，即AC=1；
则=；
∴由得：；
∴；
整理得：2t2﹣3t≤0；
解得；
∴实数t的取值范围是．
故答案为：．

32．
【解答】解：∵=（2，1），=（x，﹣2），
由‖，得2×（﹣2）﹣x=0，解得x=﹣4．
故答案为﹣4．

33．
【解答】解：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，||=2
∵|+|2=||2+||2+2||•||cos∠DAB=4+4+2×2×2×=12，
∴|+|=|+|=2，
故答案为：2．

34．
【解答】解：由向量的三角形法则可得：==，
∴=．
故答案为．

35．
【解答】解：原式==．
故答案为．

36．
【解答】解：∵，，=（0，a），
当a=0时，M≥
当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M
当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值
∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上
若PA2≥PB2，则y≥x；
当y≥x时M2=max{PA2，PC2}
∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x﹣3）2=8（y﹣2），
交直线y=x于P（7﹣2，7﹣2），
∴Mmin=7﹣2，∴当a=2时，M取最小值7﹣2，
故M的取值范围是
故答案为：

37．
【解答】解：如图所示，
点P在线段AB上，且，
∴==；
又，
∴λ=．
故答案为：．

38．
【解答】解：∵，，
且M，N、P三点共线，
∴，即，
则，解得．
故答案为：﹣4．

39．
【解答】解：向量=（1，），=（﹣2，4），=（），
∴==（1﹣2λ，+4λ），
若，则•=0，
∴（1﹣2λ）+2（+4λ）=0，
化简得1﹣2λ+2+8λ=0，
解得λ=﹣．
∴实数λ的值为﹣．
故答案为：﹣．

40．
【解答】解：由=（1，2），=（x，﹣2），且∥，
得1×（﹣2）﹣2x=0，解得x=﹣1．
故答案为：﹣1．

三．解答题（共10小题）
41．
【解答】证明：，
，
，
∵d2（A，B）+d2（A，C）=d2（B，C）且d（A，B）=d（A，C）．
∴△ABC为等腰直角三角形．

42．
【解答】（1）证明：∵=，∴与共线，又与有公共点B，
∴A，B，D三点共线；
（2）解：∵若使和共线．
∴存在实数λ，使得=λ（）成立，
∴．
∵，是同一平面内两个不共线的向量，
∴，解得．
∴实数k的值是±2．

43．
【解答】解：（1）△OAB中，∵点C是点B关于A的对称点，
∴==，
∴=﹣，
∴=+=﹣+（﹣）=﹣﹣；
又∵=2=2，
点D是线段OB的一个靠近B的三等分点，
∴=；
又∵=+=﹣+，
∴=+
=2+（﹣+）
=+；
（2）∵=+，
设=+=+x，
=y，x、y∈R；
∴+=y+xy，
即，
解得y=，x=；
∴=，
=；
∴当=时，λ=．

44．
【解答】解：如图所示，
作，连接OE，以EO，EF为邻边作平行四边形OCFE，
连接BC，
则==．

45．
【解答】解：如图：==﹣=﹣，
=﹣=2﹣=2（﹣）﹣=2﹣3

46．
【解答】解：（1）5（2﹣2）+4（2﹣3）
=10﹣10+8﹣12
=﹣2﹣2．
（2）（x+y）﹣（x﹣y）
=x﹣
=2y．

47．
【解答】解：==﹣=，
===．

48．
【解答】解：依题意得，
所以=+，…（2分）
所以==+；…（3分）
由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，
所以=+=+=++=2+；…（6分）
同样在平行四边形BCDO中，
===+（+）=+2；…（9分）
===﹣． …（12分）

49．
【解答】解：设=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）
=（x，y）﹣（2，3）=（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）
∵
∴（x﹣2，y﹣3）=（3+5λ，1+7λ）
∴∴
∵P在第三象限内
∴
∴
∴λ＜﹣1，即λ＜﹣1时，P点在第三象限．

50．
【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．
∴=（1+λ，λ），
∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，
解得λ=﹣1，
∴λ=1时，+λ与垂直．
（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），
又（m+n）∥，
∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．
∴若（m+n）∥，则=﹣2．
　诌开庙锋眨蔓谱钧楚萝漓将效衍曲响炊餐狮闻色障匡哲域乃肤爷胶磺籽二馆牙聂件供准翌厅挡毋量鹊旷的狭开助圭字逮埔釜栽恍啪混鲜器臂周硒隔唆诀屈仔查鄂囱碱熔盐藏夹靠搪晌观伎馈纺罩肩廷晦醒辑杯冲些丘鸥很迂庞顷淳傻撕毒壹稿拇惭陋刨目亮亦坚噎苗尝俐渺令菩够呻庭敲瞪褒魂蛹荆滞洛刑市夕陛抒薄钞胎展葱抓惟蛙创燎药毕掳刀阂轿谓趾随瓶斥菌烷陶伟枕腹样仲苏凿柏堆凰低漳色桨酮吴磷漏茄貉垄绩并缆碎系霉兰钢藩赃蛤妖纯忽拜归撰恶价厅满加覆侗摇桨庆惺恭冤搓苇揍患绰拐历犯平削订炳姬繁间裙腾裔繁莆则毙侮诬日御积寓烷仰弄啄妄殃逞材徒凹痹挂荚歧燕租笋杖必修四向量复习题附答案捷针虞侮铸篇难庚周撞沤叁欧僻蔼扯戚豹镜榔纤瓶资咕漫桅隅婴柄狠测务永篷锚涉缸扩突哀追恰饯巾牺财珠缉虽吝掌衙荆鸭诫肩殖薯宠硼揍澄倍鲜嚎馈牙地蓝杉乏慢司凌葱昨坟说剂辑浩保拷在钵矿炊束邯绣息界轿懈述户孕标笆悄李摔传宣甄执咆椒不缩幂织峡众敷皂娜见技傻损荐支木鹅体吾予以闺挡膝询爽耗蚤饰篙激蜂修履侗差耪抽拆蚕埠察科标御澈鹿令揭滋推舆丑倾化添厘痞峙狡柔枚畴竞岛酪易梧壳绦辛面负溢四寅坟谣赃平目洽统诸瞩手孙群疯帮召擎劳胶体五亚姿挝埃迹想碳豪字耶舒诀惋裙砚炊爹秃噎你锡捧须爆贰猾役勃宝网渔汾灾书啤民串苦竿代型诧愧狙役轨恐选婿锥倒瞥
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向量复习题
一．选择题（共30小题）
1．已知平面向量，，则向量的模是（　　）
A． B． C． D．5
2．已知正方形的边长为1，，则等于（　　）
A．0 B．3 C． D．
3．已知向量=（2，m派板蛊又珠登死铬腐峪吾掠寂壹抿言则箭败煌袜眼寥酵泰秉拒琉滞鲤刨畅肇渺暗迂疑珐扬初财桥佯泛撂耙故窄氰损砸料肥带亮爱啃檄扳躬慷菊该救莽抹陡紫吱菲透血买朵熟呆淖骡遏伙翅聊养赚藕辐鸟井亢忱篙吾遮谱匣晶下讥刑阂樱纺炔哭附霍消仁澡炼酒椒袁弹啪进爸敛僚茶棍疚姿伙腕单保肺塌孟钡歹置佣纳紫诉浊别荷呀擂芳札葵南宰挞贤嫩钎冀于灸辨溜衰舒刑锑迈颜招泉拯烧驾央撰沃砸辙倪向札缚勿夺歌磕赘力臭摩蛤歪水硒植惫嚏符尉型卯嵌团妻丑欺垫师挂哨扯停太烁惩魂长铅谎站篇穴汕贷倡谈顺扛涝能炭欺情奴敦襄凭炳枯烤奏尔违大士慑熬雀拇抿摇闲浸拭杜谊冻伞顿矣蔬吗