第一章-1.2.2学习专用.doc

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1.2.2　充要条件
目标定位　1.理解充要条件的含义.2.通过具体命题，掌握判断充要条件的方法.
3.会证明具体问题中的必要性和充分性.
自 主 预 习
充要条件
一般地,如果既有pq，又有qp就记作pq.
此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果pq,那么p与q互为充要条件.
即 时 自 测
1.思考题
(1)如何证明充要条件？
提示：分清充分性和必要性.
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”有什么区别？
提示：这两种说法的充分性与必要性不同，“p是q的充要条件”的充分性是p⇒q，必要性是q⇒p，而“p的充要条件是q”恰恰相反.
2.设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由A∩B＝A可知，A⊆B；反过来A⊆B，则A∩B＝A，故选C.
答案　C
3.“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的(　　)
A.充要条件 B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析　由x＞1⇒x＋2＞3⇒log(x＋2)＜0，log(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，
故“x＞1”是“log(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.因此选B.
答案　B
4.“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件.
解析　若a＝2，则直线x＋y＝0与x＋y＝1平行，反过来也成立.
答案　充要
类型一　充要条件的判断
【例1】 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
(2)p：x＞0，y＞0，q：xy＞0；
(3)p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；
(4)p：x＞5，q：x＞10；
(5)p：a＞b，q：a2＞b2.
解 命题（1）和（3）中，pq，且qp，即pq，故p是q的充要条件；
命题（2）中，pq,但qp，故p不是q的充要条件；
命题（4）中，pq，但qp，故p不是q的充要条件；
命题（5）中，pq，且qp，故p不是q的充要条件.
规律方法　判断p是q的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法.
【训练1】 (1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　　)
A.ab＝0 B.ab>0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2>0
(2)“函数y＝x2－2x－a没有零点”的充要条件是________.
解析　(1)a2＋b2>0，则a、b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2>0.
(2)函数没有零点，即方程x2－2x－a＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a<0，解得a<
－1.反之，若a<－1，则Δ<0，方程x2－2x－a＝0无实根，即函数没有零点.
答案　(1)D　(2){a|a<－1}
类型二　充要条件的证明(互动探究)
【例2】 求证：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根均大于1的充要条件是k<－2.
[思路探究]
探究点一　证明充分性时，条件和结论分别是什么？
提示：条件：k<－2；
结论：方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两根均大于1.
探究点二　在Δ≥0的条件下，能否推出？若不能，该怎样推证？
提示：⇒
证明　充分性：当k<－2时，
Δ＝(2k－1)2－4k2＝1－4k>0.
设方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0的两个根为x1，x2.
则(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝k2＋2k－1＋1＝k(k＋2)>0.
又(x1－1)＋(x2－1)＝(x1＋x2)－2＝－(2k－1)－2＝－2k－1>0，
∴x1－1>0，x2－1>0.
∴x1>1，x2>1.
必要性：
若方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则
⇒
即
解得k<－2.
综上可知，方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0有两个大于1的根的充要条件为k<－2.
规律方法　一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q⇒p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即p⇒q.
【训练2】 求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件.
解　(1)当a＝0时，解得x＝－1，满足条件；
(2)当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a<0；若方程有两个负的实根，
则必须满足⇒0<a≤.
综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤.
反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根.
因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤.
[课堂小结]
1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.
2.充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别；
①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性.
(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.
1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当a＋b＝0时，得a＝－b，所以a∥b，但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
答案　A
2.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A.m＝－2 B.m＝2 C.m＝－1 D.m＝1
解析　当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案　A
3.已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a＝________，
解析　由1×3－a×(a－2)＝0得a＝3或－1，
而a＝3时，两条直线重合，所以a＝－1.
答案　－1
4.证明：a，b，c成等差数列的充要条件是a＋c＝2b.
证明　充分性：a＋c＝2b⇒b－a＝c－b⇒a，b，c成等差数列；
必要性：a，b，c成等差数列⇒b－a＝c－b⇒a＋c＝2b.
基 础 过 关
1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.
答案　A
2.设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　{an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1<a2<a3，得a1<a1q<a1q2，即a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，则数列{an}为递增数列.反之也成立.
答案　C
3.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞，或x＜－1}，所以{x|x＞}{x|2x2＋x－1＞0}，故选A.
答案　A
4.设a, b为向量， 则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件.
解析　由数量积的定义可得cos θ＝±1，所以a∥b.
答案　充分必要
5.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.
解析　已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根是2.
答案　3或4
6.求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件.
解　当a＝0时，2x＋1>0不恒成立.
当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立⇔⇔a>1.
所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1.
7.已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件.
解　设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知⇔⇔
⇔⇔m≥6.
即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6.
8.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
证明　(1)必要性：由<，得－<0，即<0，
又由x>y，得y－x<0，所以xy>0.
(2)充分性：由xy>0及x>y，
得>，即<.
综上所述，<的充要条件是xy>0.
能 力 提 升
9.在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“·<0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有·<0；但当·<0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形.
答案　B
10.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.
答案　A
11.下列不等式：
①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.
其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________.
解析　由于x2<1，即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意.
答案　②③④
12.关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________.
解析　由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0，
∴a<0.
答案　a<0
13.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0，
∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2，
则x1x2＝<0，∴方程的两根异号.
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.

新教师听公开课必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)

故乡红叶阅读题及答案∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，

数学工程问题则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0，
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

教科版五年级下册科学连线题探 究 创 新
14.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
证明　充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|，

挫折 作文 材料|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立.
当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时.
又当x>0，y>0时，
|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立.

概率教学方法的研究当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，

提出全面改革总目标的会议是|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立.

校本课程教材总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立.
必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，

有理数的加减混合运算得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，
∴|xy|＝xy，

提出全面改革总目标的会议是∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件.
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