导数的计算(教)新课教案.doc

导数的计算
一、考点热点回顾

教学目标:
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．
教学重点：四种常见函数、、、的导数公式；
教学难点：四种常见函数、、、的导数公式．
几个常见函数的导数
探究1．函数的导数
根据导数定义,因为
所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2—1）上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
探究2．函数的导数
因为所以
函数
导数

表示函数图像（图3.2—2)上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
探究3．函数的导数
因为
所以
函数
导数

表示函数图像(图3。2—3)上点处的切线的斜率都为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减少得越来越慢；当时，随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为．
探究4．函数的导数
因为
所以
函数
导数

探究5．函数的导数
因为
所以
函数
导数

（2）推广:若，则
函数
导数

函数
导数

二、典型例题
1．下列各式正确的是（　　）
A. (sin α)′＝cos α（α为常数）
B。 (cos x)′＝sin x
C. （sin x）′＝cos x
D。 （x－5）′＝－x－6
【答案】C
【解析】由导数运算法则易得,注意A选项中的α为常数,所以（sin α）′＝0。 选C
2．下列求导运算正确的是（ )
A。 B。
C。 D。
【答案】C
【解析】由题意结合导函数的运算法则和导数计算公式可得：
，，，.
本题选择C选项.
3．已知，则等于(　　）
A. B。 C. D。
【答案】D
【解析】由题意结合导数的运算法则有:
.
本题选择D选项.
4．函数的导函数为（ )
A。 B. C。 D.
【答案】D
【解析】因为,所以，应选答案D。
5．已知函数，则这两个函数的导函数分别为 （ ）
A。 B。
C。 D。
【答案】C
【解析】由导函数的运算法则可得若函数，
则这两个函数的导函数分别为 .
本题选择C选项.
6．已知函数f(x）＝x3的切线的斜率等于3，则切线有（　　)
A．1条　　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．不确定
解析：选B　∵f′（x）＝3x2＝3,解得x＝±1。切点有两个，即可得切线有2条．
7．曲线y＝ex在点A（0，1)处的切线斜率为(　　）
A．1 B．2
C．e D.
解析：选A　由条件得y′＝ex，根据导数的几何意义，可得k＝y′｜x＝0＝e0＝1。
8．已知f（x）＝－3x，则f′（2）＝（　　)
A．10 B．－5x
C．5 D．－10
解析：选D　∵f′(x）＝－5x，∴f′（2）＝－5×2×＝－10,故选D.
9．已知f（x)＝xα，若f′（－1）＝－2,则α的值等于（　　)
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A　 若α＝2，则f（x)＝x2,∴f′(x）＝2x，
∴f′（－1）＝2×(－1）＝－2适合条件．故应选A。
10. 曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为(　　）
A．1 B．－
C。 D。
解析:选C　∵y′＝x2,∴y′|x＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π,∴α＝。
11．求下列函数的导数：
（1）y＝x8；（2)y＝4x;(3）y＝log3x；
（4)y＝sin；(5）y＝e2.
解:（1)y′＝（x8）′＝8x8－1＝8x7.
(2）y′＝（4x)′＝4xln 4。
(3)y′＝（log3x）′＝。
（4）y′＝(cos x)′＝－sin x.
(5）y′＝(e2）′＝0.
三、课堂练习
1．曲线y＝ln x在点M（e，1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．
解析:∵y′＝（ln x)′＝，∴y′｜x＝e＝。
∴切线方程为y－1＝(x－e)，即x－ey＝0。
答案：x－ey＝0
2．已知f（x)＝a2（a为常数），g(x)＝ln x，若2x［f′(x）＋1］－g′（x）＝1，则x＝________。
解析：因为f′（x)＝0，g′（x)＝,
所以2x[f′（x)＋1]－g′（x)＝2x－＝1.
解得x＝1或x＝－,因为x＞0，所以x＝1。
答案：1
3．设坐标平面上的抛物线C:y＝x2，过第一象限的点（a，a2）作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________．
解析：显然点（a,a2）为抛物线C：y＝x2上的点,∵y′＝2x,∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)．
令x＝0,得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0,－a2）．
答案：（0,－a2)
4．已知P（－1，1），Q（2，4)是曲线y＝x2上的两点，
（1）求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程．
（2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
解：(1）因为y′＝2x，P（－1,1），Q（2，4)都是曲线y＝x2上的点．
过P点的切线的斜率k1＝y′｜x＝－1＝－2,
过Q点的切线的斜率k2＝y′|x＝2＝4，
过P点的切线方程:y－1＝－2（x＋1）,即2x＋y＋1＝0。
过Q点的切线方程：y－4＝4(x－2),即4x－y－4＝0。
（2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1,
切线的斜率k＝y′｜x＝x0＝2x0＝1,
所以x0＝，所以切点M，
与PQ平行的切线方程为:
y－＝x－，即4x－4y－1＝0。
5．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为（　　）
A。B。
C。 D。
解析：选B　∵s′＝t－。∴当t＝4时，
s′＝·＝ .
6．直线y＝x＋b是曲线y＝ln x（x＞0）的一条切线，则实数b的值为（　　)
A．2 B．ln 2＋1
C．ln 2－1 D．ln 2
解析：选C　∵y＝ln x的导数y′＝，
∴令＝,得x＝2,∴切点为（2,ln 2）．
代入直线y＝x＋b,得b＝ln 2－1。
7．在曲线f（x）＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为（　　）
A．(1,1) B．(－1,－1）
C．（－1，1） D．（1,1）或（－1,－1）
解析：选D　因为f（x）＝，所以f′（x）＝－,因为切线的倾斜角为π,所以切线斜率为－1，
即f′(x）＝－＝－1,所以x＝±1，
则当x＝1时,f（1）＝1；
当x＝－1时，f（1）＝－1,则点坐标为（1，1）或（－1，－1）．
8．设曲线y＝xn＋1（n∈N＊）在点（1,1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为（　　）
A。B。
C。 D．1
解析：选B　对y＝xn＋1（n∈N＊）求导得y′＝（n＋1)xn. 令x＝1，得在点（1，1）处的切线的斜率k＝n＋1,∴在点(1，1)处的切线方程为y－1＝（n＋1)（xn－1)．令y＝0,得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝， 故选B.
9．与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝ln x相切的直线方程是________．
解析：∵直线2x－y－4＝0的斜率为k＝2，
又∵y′＝（ln x）′＝，∴＝2,解得x＝.
∴切点的坐标为.
故切线方程为y＋ln 2＝2.
即2x－y－1－ln 2＝0。
答案:2x－y－1－ln 2＝0
10．若曲线y＝在点P(a,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________________．
解析:∵y′＝,∴切线方程为y－＝（x－a）,令x＝0，得y＝，令y＝0,得x＝－a，由题意知··a＝2,∴a＝4。
答案：4
11．已知曲线方程为y＝f（x）＝x2,求过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程．
解:设切点P的坐标为(x0，x）．
∵y＝x2,∴y′＝2x，∴k＝f′（x0）＝2x0,
∴切线方程为y－x＝2x0（x－x0)．
将点B(3，5)代入上式，得5－x＝2x0（3－x0),
即x－6x0＋5＝0，∴（x0－1)（x0－5)＝0,
∴x0＝1或x0＝5,
∴切点坐标为(1,1）或(5,25），
故所求切线方程为y－1＝2（x－1）或y－25＝10（x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
12．求证:双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．
证明：设P（x0,y0）为双曲线xy＝a2上任一点．
∵y′＝′＝－.
∴过点P的切线方程为y－y0＝－（x－x0）．
令x＝0,得y＝;令y＝0，得x＝2x0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S＝··｜2x0｜＝2a2。
即双曲线xy＝a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a2。
导数的运算法则
导数运算法则
1．
2．
3．
（一）导数的加减法运算法则：
1．
2．
3、导数的加法与减法法则
1．导数的加法与减法法则的推导
令，
，
所以(）
即
说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。
2．导数的加法与减法法则
两个函数的和（差)的导数,等于这两个函数的导数的和(差）,即，和（差）函数求导法则由两个可以推广到个.
(二）导数的乘除法运算法则
1．；2． ;
3．；
1．导数的乘法、除法法则的推导:
令，
∴
即
同理可得:
说明：对推导方法有兴趣的同学来说，了解足够了，不要求掌握。
2．导数的乘法、除法法则：
①两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数的和，即。若为常数,则.由以上两个法则可知：，为常数。
②两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方。即
二、典型例题
1．设则等于( ）
A。 B。 C. D。
【答案】D
【解析】由，得。
故选D.
2．函数的导函数为（ ）
A。 B. C. D。
【答案】D
【解析】因为，所以，应选答案D。
3．若,则_______________．
【答案】
【解析】结合函数的解析式和导函数的运算法则有：.
4．解下列导数问题：
(Ⅰ）已知，求
（Ⅱ)已知，求
【答案】(1） （2）
【解析】试题分析：（1）根据题干对函数求导将1代入导函数即可;(2）根据三角函数求导公式和分式型的求导公式计算即可。
解析：
（Ⅰ）因为,所以 ，
所以
（Ⅱ),根据导函数的计算公式可得
5．求下列函数的导数．
（1）;（2)．
【答案】(1）(2）
【解析】（1）．
（2)因为，
所以．
考点：求函数的导数．
6．求下列函数的导数：
（1）;
（2)。
【答案】（1）;（2)。
【解析】试题分析：直接利用导数的乘除法则及基本初等函数的求导公式求解。
试题解析：（1)
（2）。
三、 课后练习
1．已知函数f（x)＝ax2＋c，且f′(1）＝2,则a的值为(　　）
A．1　　　　　　　　　　　B。
C．－1 D．0
解析：选A　∵f(x)＝ax2＋c，∴f′(x)＝2ax，
又∵f′（1）＝2a，∴2a＝2,∴a＝1.
2．函数y＝(x＋1)2（x－1）在x＝1处的导数等于（　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D　y′＝［（x＋1）2]′（x－1）＋(x＋1)2(x－1)′＝2（x＋1）·（x－1）＋（x＋1）2＝3x2＋2x－1,∴y′|x＝1＝4。
3．曲线f(x）＝xln x在点x＝1处的切线方程为(　　)
A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2
C．y＝x－1 D．y＝x＋1
解析：选C　∵f′（x)＝ln x＋1，∴f′（1)＝1，又f（1）＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.
4。 已知物体的运动方程为s＝t2＋（t是时间,s是位移），则物体在时刻t＝2时的速度为（　　）
A。B。
C。 D。
解析:选D　∵s′＝2t－,∴s′|t＝2＝4－＝.
5．设曲线y＝ax－ln（x＋1）在点（0，0）处的切线方程为y＝2x,则a＝(　　）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D　y′＝a－，由题意得y′｜x＝0＝2，即a－1＝2,所以a＝3。
6．曲线y＝x3－x＋3在点(1，3）处的切线方程为________．
解析：∵y′＝3x2－1，∴y′｜x＝1＝3×12－1＝2.
∴切线方程为y－3＝2(x－1），即2x－y＋1＝0。
答案：2x－y＋1＝0
7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________。
解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2,所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1。
答案：1
8．已知函数f（x)＝f′cos x＋sin x,则f的值为________．
解析：∵f′(x）＝－f′sin x＋cos x,
∴f′＝－f′×＋，
得f′＝－1.
∴f（x)＝（－1）cos x＋sin x。
∴f＝1.
答案:1
9．求下列函数的导数：
(2）y＝；
（3）y＝；解：
（2)y′＝
＝ 。
（3）y′＝
＝
＝。
10．偶函数f（x）＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P（0，1),且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f（x）的解析式．
解：∵f(x）的图象过点P(0，1），∴e＝1.
又∵f(x)为偶函数，∴f（－x）＝f（x）．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e。
∴b＝0，d＝0.∴f（x）＝ax4＋cx2＋1。
∵函数f(x）在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为（1，－1)．∴a＋c＋1＝－1。
∵f′（x）｜x＝1＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1。
∴a＝，c＝－。
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x4－x2＋1。
1．若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′（1）＝2,则f′（－1）等于(　　)
A．－1　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．0
解析：选B　∵f′（x）＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′（1)＝－2。
2．曲线y＝xex－1在点（1,1）处切线的斜率等于（　　)
A．2e B．e
C．2 D．1
解析:选C　函数的导数为f′(x）＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′（1）＝2，即曲线y＝xex－1在点（1，1）处切线的斜率k＝f′(1）＝2,故选C。
3．已知函数f（x）的导函数为f′(x），且满足f(x）＝2xf′（e）＋ln x,则f′（e）＝（　　)
A．e－1 B．－1
C．－e－1 D．－e
解析：选C　∵f(x）＝2xf′（e)＋ln x，
∴f′（x）＝2f′（e）＋，
∴f′(e)＝2f′(e）＋，解得f′(e)＝－，故选C。
4．若f(x)＝x2－2x－4ln x,则f′(x）＞0的解集为(　　)
A．(0，＋∞） B．（－1,0）∪（2，＋∞）
C．（2,＋∞) D．(－1,0)
解析：选C　∵f（x）＝x2－2x－4ln x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又因为f（x)的定义域为（0,＋∞），所以x＞2.
5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln（x＋a)，∴y′＝，设切点为（x0，y0），
则y0＝2x0－1，y0＝ln（x0＋a），且＝2,
解之得a＝ln 2。
答案:ln 2
6．曲线y＝在点（1,1）处的切线为l,则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是____________．
解析:y′＝－，则y′＝－1,∴切线方程为y－1＝－（x－1），即x＋y－2＝0，圆心(－2,0）到直线的距离d＝2,圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1。
答案：2－1
7．已知曲线f（x)＝x3＋ax＋b在点P(2,－6）处的切线方程是13x－y－32＝0。
（1）求a，b的值；
（2）如果曲线y＝f(x）的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f（x）＝x3＋ax＋b的导数f′（x）＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f（2）＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16。
（2）∵切线与直线y＝－x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4。
设切点的坐标为（x0，y0）,
则f′(x0）＝3x＋1＝4，∴x0＝±1。
由f（x）＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18。
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4（x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14。
8．设fn（x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0,n∈N，n≥2。
(1)求fn′(2);
(2）证明：fn(x）在内有且仅有一个零点（记为an),且0＜an－＜。
解:（1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1。
所以fn′（2）＝1＋2×2＋…＋(n－1）2n－2＋n·2n－1，①
则2fn′（2)＝2＋2×22＋…＋（n－1）2n－1＋n·2n，②
①－②得，－fn′（2）＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝（1－n）·2n－1，
所以fn′（2）＝(n－1)·2n＋1。
(2)因为f（0）＝－1＜0，
fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，
因为x≥0,n≥2。
所以fn（x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数,
所以fn(x)在内单调递增，
因此fn（x）在内有且仅有一个零点an.
由于fn（x)＝－1，
所以0＝fn(an）＝－1,
由此可得an＝＋a＞，故＜an＜.
所以0＜an－＝a＜×n＋1＝。
12