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浅谈Delta-Sigma之工作原理
文/黄克强
’95年初老朽准备「EAD-DSP系列之DSP演算法」(详见高传真227期)之前，蒲总编曾经向老朽提及Crystal公司的CS4328、CS4330……一系列的IC，希望我能写一系列的文章来谈这一系列广泛用途之Over Sampling之D/A Converter IC，其实这一系列的IC都是采用了所谓之「分段式Up Sample」的DSP架构搭配△—Σ之D/A Converter而成,由于老朽在『细说EAD—DSP系列之DSP演算法」一支中并末谈及△-Σ的工作原理，因此特别请我的好友黄克强博士来撰写△-Σ的部份. -—何志诚
何老朽是我的挚友兼同事，他的办公桌就在笔者的左手边。他是个发烧友,也是音响专家.而笔者却是个音响白痴（编者：唉!唉!黄先生实在太谦虚了,如果您是白痴，那我们岂不……)。他专精信号处理,尤其是Over Sampling。而笔者擅长数位通讯及一点点适应性控制。半年前,甚至更久之前，何老朽拿了一些CS4328之类的Data Sheet及他在高传真发表的文章给我,这时我才在他的调教之下初窥发烧音响之门径。谁知黄鼠狼给鸡拜年不怀好意，何老朽半哄半骗的要我替他写一篇有关Delta—Sigma的介绍文章。碍于多年交情,我勉强答应下来。事后才发现这种文章真难写.为了能在高传真杂誌上「露脸」，必须避免学院派的数学推导，又必须把东西写得清清楚楚（要不然就变成低传真)，真是难。难!难！难!难！不过何老朽毕意没看走眼，笔者费了九牛二虎之力，终究把它写出来了。但由于笔者笔法不够老练,写出来的文章可能还是生硬了些,尚请读老您多多包涵.有任何批评指教，请找何老朽代转，包君满意！
图零是CS4328的方块图，第一个方块8 X Interpolation Filter已经在何老朽以前的一系列高传真文章中介绍过了。第二个方块就是本文所要谈的Delta-Sigma(△Σ）。
现在我们就开始正式进入△-ΣD/A converter之殿堂.为了使本文雅俗共赏，笔者避开了所有的数学方程式,尽量以图解的方式作观念上的介绍。要了解△Σ调变，必须先从△调变下手,比较容易进入状况,复杂如CS4328所采用之五阶△Σ调变就是从最原始之△调变一步一步演化而来的。请详见图一的演化图。
建议读者在K这篇文章时,多看图,至于文字就只是用来说明图例而已。
图二是一个八调变之1Bit DAC。Xd代表数位波形输入，就数位音响而言，Xd可能是18bit，至于尾巴的d代表digital之意.Yd为△调变之1Bit输出，值为正1或负1.△调变之观念很简单，就是要使Yd之积分波形愈接近Xd愈好,如图三所示。每当Yd之积分值(即Zd）超过Xd，下一个Yd值就设为负1。如果Yd之积分值Zd低于Xd，下一个Yd值就设为正1。图二的减法器就是要看看Xd和Zd谁大谁小，Ud=Xd—Zd，若Ud大于零，比较器输出(即Yd)就为正1，若Ud小于零,比较器输出为负1.如此一来Yd不断的修正使得Yd之积分后波形Zd如影随形般的和Xd同上同下。现在要做的就是把Zd以类比的方式重现出来。很容易的，首先利用1Bit的DAC将数位的Yd转成类比的对等信号Ya，（其中a代表analog之意),然后再用类比积分器将Ya作积分而产生Za。于是Za和Zd两者之波形是一样的，只不过Zd是数位而Za是类比。但是由于1Bit DAC,Za会有些不平滑的转折点，所以最后还需要一个类比低通滤波器以产生平滑的Xa，Xa就是Xd的类比重现。
这样的△调变方式产生了一些问题。首先是如果数位输入波形Xd的变化太急剧，也就是斜率过大，如图四(a）所示，那么Zd将会跟不上，而产生严重的失真.第二个问题是△调变看不见直流或极低频成份。因为△调变基本上是针对输入波形的时间变化量(类似微分）作1Bit的量化编码（如图三(a)所示)，所以直流成分显示不出来。这样说太模糊，我们看图四(b），如果输入Xd是直流，那么不管Xd的固定值是多少，Yd的输出永远都一样，那当然不对。此外，类比积分器在实际工程上也不是那么讨人喜欢.
要克服上述两个问题，可以将图二之△调变DAC作一些变形，我们将积分器从后面搬移到最前面．如图五所显示的.如此一来原来的类比积分器就变成数位的积分器。而且Xd经过积分之后，原有的急剧变化将会变得平缓得多，于是后面的△调变就不会有斜坡跟不上的问题。至于Xd中的直流或极低频的成份,经过积分之放大效果后，就不会像图四(a）所示的那样水平固定不动，于是后面的△调变就可以看得到而加以量化编码。这实在是一本万利.图五这样的系统可以称呼为△Σ调变（Sigma Delta Modulator），就是在△调变之前加个Σ,Σ意指积分.
图五所描述的△Σ调变可以再加以简单化.我们注意到图五之Ud为Xd之积分减去Yd之积分，是先积分再相减。所以我们也可以使Xd和Yd先相减,以后它们的差再积分,就如同图六所描绘的，结果Ud不变，但是图六比图五省下一个积分器。因为图六是先相减再积分,可称之为△Σ调变（Delta—Sigma Modulator）.由于其中所用之积分器事实上是一个一阶滤波器，所以图六可细称为一阶△Σ调变。图六只是△Σ调变的基本型，它的效能还可再改进。例如图七,这是个n阶△Σ调变器，也就是以一个n阶滤波器去取代图六之积分器，这样就可以大幅提高最后类比输出之S/N比。如果n=5，就是CS4328所采用的1bit DAC。
经过上面那么一大段烦闷琐碎的文字解说,我们来点轻松易懂的.图八（a)是△Σ调变的数位波形输入,经过△Σ调变后1Bit输出为图八（b).图八（b）的二值类比波形经过类比低通滤波器之后，又还原成图八(a）一样的波形，不过是类比的.在时间指标为l0附近,图八(a)小于零，于是1Bit输出大部份是负1.在时间为30附近，图八(a）大于零，于是1Bit输出大部份是正1。在时间为45附近图八(b)大约是零，于是1Bit输出为正负1交错。
看这图八，相信读者对于△Σ一定有了一些较具体的感觉。现在我们解释一下CS4328的五阶△Σ(图七)优于基本型一阶△Σ（图六)的道理何在。
总归一句话,△Σ就是要产生一串1Bit信号，这串信号和输入波形（audio)在低频部份(20KHz以下）一模一样．而其它量化误差则尽量往高频移过去．这些高频误差就可以用类比低通滤波器轻松地干掉。图九是一个一阶△Σ调变输出Yd的频谱，20KHz以下低频部份是我们所要的信号，50KHz以上高频部份就是其它误差。图十是二阶△Σ调变输出的频谱。两相比较，读者可发现二阶△Σ的量化误差（频谱高频部份）比较多,且比较往高频率挤.意思就是说，低频信号部份比较精准，S/N比较高.为什么？道理很简单,△Σ调变中的比较器是在作信号量化的工作，如同一般的16bit DAC一样,只是它比较极端，只有1bit.我们自然希望这个比较器只针对低频信号作量化，所以最好是不要让比较器看到高频部份。图六的一阶数位积分器和图七的n阶数位滤波器就是在扮演这种站在比较器前面阻挡高频的角色。谁阻挡高频越成功，比较器对低频信号的量化也就越精准，量化误差也就越往高频挤。讲到这里大家一定就明白为何二阶△Σ比一阶△Σ的S/N比高，因为二阶数位低通滤波器比一阶的更能阻挡高频.依此类推，三阶，四阶，五阶，阶数越高越好。但是阶数越高数位滤波器越复杂，成本越高。而且阶数太高会引起整个△Σ调变器的稳定性的问题。基于这些考量,CS4328采用五阶。
啰嗦了这么一大段，相信大家只要有一些Digital的基本概念，就一定对CS4328的△Σ调变有了一些观念上的认识。如果还不清楚，那么读者未免太对不起笔者牺牲这么多的宝贵时间，半年！至于CS4328还有Switched Capacitor Filter的部份,读者就把它想成是类比低通滤波器就好了，至于什么是Switched Capacitor，笔者就暂时不奉陪了。
数位，虽然我们常说那只不过是0与1的变化，然而它的学问却是博大精深的，Delta-Sigma这个名词出现已久，却无人能将它说明清楚。
我们非常感谢黄博士，竟以半年的时间，在不谈理论、不写公式的条件下，把Delta-Sigma说得这么明白，并亲绘本文之所有附图，在此本人谨代表高传真及读者向黄博士致最深之谢忱。 蒲鸿庆