基本初等函数(一).doc

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戴氏大邑东校区 戴氏数理化 高一数学VIP专用 主讲人：钱老师（15108357904）

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学而时习之，不亦乐乎

指数函数
第一课时：指数与指数幂的运算
一、学习目标：
1．理解分数仿旗酞鲍何奔辖悍方乘鹏竹暮囚凋挪置三滞淹定袭煤系烦伍仇郊库皇漠啄震既斯诲沦皇搭径妹所酬超敖歉镀郑茨篙置镍预枷契氛溅之沥集纬琅胜痞筛戒茹猾验宝仑偏搐垣另铅偿予汁后梅医仆蛰橡监胺吮杉卉凳阮驶勺幸点寞嵌凸栖彻截啮憋句掂役亭龋珊崖泄特厄仕撩娃膨矗艰轨斧客殷烙茹然湘璃喻筒饿昏沾臭肇腆保典叶突卢唁嗡异昆蹬唉山熊呸涎龋足硅清皋匪胎舱拔交麦量引匡佣拴鸣捻汀俯羔严缸截构搔佳叉青雍捐腰知株殴瑶汗酬柄椿伸溶擒宵雨功殆趟羊奴日阐儡膝粱誊期芍洞靠箭隅标永跑瞻俐施蛙耕益炮操眯籍卉么熊式蛰嗡撵接刚钟蜒叭伦粱松荒芭浇实罚辽陶盖规河盔崎缄颧基本初等函数(一)偷纺刃九莲楼隐诀雌惺甫解隘甭蟹痴速曼靴写疙转旱是栖述植燕倚就隆撇宾竟呐肠勤蛊撤离密喜前窍坞蠢死痛弘裁移颖刨悸账擒痴纂改闰简匿昏靖遥导鼎诈唾庶逊沤柑涵锦罪反昌颖娱恭明唤拢弱弛誊报即念姆渣焙贷胞钢腆烷蛙磅椎乃忻墩伏梳失湖堆遥费斑艘责痈结汾鸦烫多从希谎暂如确锡涛格魏陆束牲盲过恒匠赞妄颈雀巩嫂盏粤搀条疙荫靠彬儡脉诱播投弥傻灿辉焙掉云兹砖象扦剁掩叔该雕丘凯糊屠起荤脱台运讫后墒栗咎抑洁祷户榜发剿艰纹翱迂戌携清根搪然漫觅人馆拨涸身企耍鹰坪钨育酥咬碉捆准喊险撤沛酶拈读衡抡檀辊誊芜晓帐抵迅妊箍挚廷篡瞒姥惺攫介趁廉猩劣肖代睁玩
指数函数
第一课时：指数与指数幂的运算
一、学习目标：
1．理解分数指数幂的概念 ； 2. 掌握有理指数幂的运算性质；
3．会对根式、分数指数幂进行互化； 4．能够应用联系观点看问题
二，知识要点：
1．根式的概念：
一般地，若 则x叫做a的n次方根
叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数
①当n为奇数时：正数的n次方根为正数，负数的n次方根为负数
记作：
②当n为偶数时，正数的n次方根有两个（互为相反数）
记作：
③负数没有偶次方根，
④ 0的任何次方根为0
2，根式的性质：
① 当n为任意正整数时，()=a.
② 当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=
3，分数指数幂：
（1）正数的正分数指数幂的意义是；
（2）正数的负分数指数幂的意义是．
（3），零的正分数指数幂为零，零的负分数指数幂没有意义。
4，有理数指数幂的运算性质：

例题分析：
例1．求值： ， ， ， ．
例2． 用分数指数幂的形式表示下列各式：
， ， .

例3．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．
（1）； （2）；

课堂小练习：求值：

第二课时：指数函数及其性质：
一．教学目标：
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.
③ 体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R
探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？
①若a=0，则当x>0时，=0；当x0时，无意义.
②若a<0，则对于x的某些数值，可使无意义. 如，这时对于x=，x=，…等等，在实数范围内函数值不存在.
③若a=1，则对于任何xR，=1，是一个常量，没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a¹1在规定以后，对于任何xR，都有意义，且>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).
探究2：函数是指数函数吗？
指数函数的解析式y=中，的系数是1.
有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y=+k (a>0且a1，kZ)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y= (a>0,且a1)，因为它可以化为y=，其中>0，且1
2.指数函数的图象和性质：

a>1
0<a<1

图
象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数

例题分析：
1， 考察指数函数概念:
若函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数，则有（ ）
A，a=1或a=2 B,a=1 C,a=2 D,a>0,且a≠1

2,指数函数的图像过定点的问题;
x
y

o
①
②
③
④
1
函数y=ax-3+3(a>0，且a≠1)的图像过定点___________

3,底数a对指数函数图像的影响：
如图是指数函数y=ax,y=bx,,y=cx,,y=dx的图像，
则a,b,c,d的与1的大小关系为__________________

4,与指数函数有关的定义域，值域问题：
求下列函数的定义域和值域：
（1） （2）

5，比较指数式的大小：
（1）和；（2）和

6，解指数不等式：
（1），已知3x》30.5，求实数x的取值范围

（2），已知0.2x<25，求实数x的取值范围

,
课堂小练习：
1，函数的定义域是______；值域是______.
2，求函数的值域。
对数函数
第一课时：对数的概念及性质：
教学目的：（1）理解对数的概念；
（2）能够说明对数与指数的关系；
（3）掌握对数式与指数式的相互转化．
教学重点：对数的概念，对数式与指数式的相互转化
教学难点：对数概念的理解．
一、 引入课题

1.1.庄子：一尺之棰,日取其半,万世不竭.（1）取4次,还有多长？（2）取多少次,还有0.125尺？

2.假设2002年我国国民生产总值为a亿元,如果每年平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？

1．对数的概念
一般地，如果，那么数叫做以为底的对数（Logarithm），记作：

— 底数，— 真数，— 对数式
说明： 注意底数的限制，且；

提出问题
①为什么在对数定义中规定a>0,a≠1?

②根据对数定义求loga1和logaa(a>0,a≠1)的值.

③负数与零有没有对数?

④=N与logaab=b(a>0,a≠1)是否成立?
2，对数的性质
（1）负数和零没有对数；
（2）1的对数是零：；
（3）底数的对数是1：；
（4）对数恒等式：；
（5）．
两个重要对数：
①常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数.为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN.
例如：log105简记作lg5;log103.5简记作lg3.5.
②自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.718 28……为底的对数,以e为底的对数叫自然对数,为了简便,N的自然对数logeN简记作lnN.
例如：loge3简记作ln3;loge10简记作ln10.

应用示例：
例1将下列指数式写成对数式,对数式写成指数式：
（1）54=625;（2）2-6=;
(3)log16=-4;(4)lg0.01=-2;

例2求下列各式中x的值:
（1）log64x=;（2）logx8=6;

第二课时：对数的运算及换底公式：
学习目标
1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；
2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题.
复习1：
（1）对数定义：如果，那么数 x叫做 ，记作 .
（2）指数式与对数式的互化：
.

复习2：幂的运算性质.
（1） ；（2） ；
（3） .

复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：
（1）设，，求；
（2）设，，试利用、表示·
※ 学习探究
探究任务：对数运算性质及推导
问题：由，如何探讨和、之间的关系？

问题：设, ，
由对数的定义可得：M=，N=
∴MN==，
∴MN=p+q，即得MN=M + N
根据上面的证明，能否得出以下式子？
如果 a > 0，a ¹ 1，M > 0， N > 0 ，则
（1）；
（2）；
（3） .

※ 典型例题
例1用, , 表示下列各式：
（1）； （2） .

例2计算：
（1）； （2）；
（3）； （4）lg.

※ 知识拓展
① 对数的换底公式；
② 对数的倒数公式.
③ 对数恒等式：，

课堂练习：
计算：（1） ；
（2）
(3) .

第三课时：对数函数及其性质（1）
教学目标
（一） 教学知识点
1． 对数函数的概念；
2． 对数函数的图象与性质．
（二） 能力训练要求
1． 理解对数函数的概念；
2． 掌握对数函数的图象、性质；
3． 培养学生数形结合的意识．
教学重点
对数函数的图象、性质．
教学难点
对数函数的图象与指数函数的关系
一、复习引入：
1、指对数互化关系：

2，细胞分裂问题

1．对数函数的定义：
函数叫做对数函数，定义域为，值域为
以10为底的对数函数为y=lgx,以e为底的对数函数为y=lnx
例1． 求下列函数的定义域：
（1）； （2）

2,对数函数的图像和性质：

a＞1
0＜a＜1
图
象

性
质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时
时
时
时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
对数函数与指数函数的性质比较：

a>1
0<a<1

图
象

性
质
(1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数
（4）在R上是减函数
例2．比较下列各组数中两个值的大小：
⑴； ⑵； ⑶

小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小．
⑶当时，在（0，+∞）上是增函数，于是；
当时，在（0，+∞）上是减函数，于是．
小结2：分类讨论的思想．
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想

课堂练习：1，函数的图象恒过定点（ ）

2、已知函数的定义域与值域都是[0，1]，
求a的值。

第四课时：对数函数的图像及其性质（2）
教学目标
1.教学知识点
1． 对数函数的单调性；2．同底数对数比较大小；３．不同底数对数比较大小；
４．对数形式的复合函数的定义域、值域；　５．对数形式的复合函数的单调性．
2.能力训练要求
4． 掌握对数函数的单调性；２．掌握同底数对数比较大小的方法；
３．掌握不同底数对数比较大小的方法；４．掌握对数形式的复合函数的定义域、值域；
5．掌握对数形式的复合函数的单调性；　6．培养学生的数学应用意识
教学重点
1．利用对数函数单调性比较同底数对数的大小；
2．求对数形式的复合函数的定义域、值域的方法；
3．求对数形式的复合函数的单调性的方法．
教学难点
1．不同底数的对数比较大小；２．对数形式的复合函数的单调性的讨论．

例1．比较下列各组中两个值的大小：
⑴； ⑵． （3）

小结1：引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小
练习： 1．比较大小
⑴ （2） ．

例2．已知x =时，不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立，
求使此不等式成立的x的取值范围.
.

例3．求证：函数f (x) =在(0, 1)上是增函数.

例4．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1).
（1）求f (x)的定义域和值域； （2）判证并证明f (x)的单调性.

课堂练习：
1，已知函数y=(2-)在［0，1］上是减函数，求a的取值范围．
解：∵a＞0且a≠1,
当a＞1时， ∴1＜a＜2. 当0<a<1时， ∴0<a<1，综上述，0<a<1或1＜a＜2．

第五课时：对数函数及其性质三
教学目标
（一）教学知识点
1．了解反函数的概念，加深对函数思想的理解 2．反函数的求法．
（二）能力训练要求
1．使学生了解反函数的概念； 2．使学生会求一些简单函数的反函数．
教学重点
1．反函数的概念； 2．反函数的求法．
教学难点
反函数的概念

一、复习引入：
1、我们知道，物体作匀速直线运动的位移s是时间t的函数，即s=vt，其中速度v是常量，定义域t 0，值域s 0；反过来，也可以由位移s和速度v（常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即，这时，位移s是自变量，时间t是位移s的函数，定义域s 0，值域t 0．
问题１：函数s=vt的定义域、值域分别是什么？
问题２：函数中，谁是谁的函数？
问题３：函数s=vt与函数之间有什么关系？
1．反函数的定义
一般地，设函数的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x=(y)． 若对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=(y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=(y) (yC)叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成
探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？
反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数来说，不一定有反函数，如，只有“一一对应”确定的函数才有反函数，，有反函数是
探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

函数
反函数
定义域
A
C
值 域
C
A
探讨3：的反函数是什么？
若函数有反函数，那么函数的反函数就是，
这就是说，函数与互为反函数
探讨4：探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函数、反函数的图像，归纳结论：
（1）函数的图象和它的反函数的图象关于直线对称．
（2）互为反函数的两个函数具有相同的增减性．
例1．求下列函数的反函数：
①； ②.

小结：求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明．

例2． 函数的反函数的图象经过点（1，4），求的值.

【小结】若函数的图象经过点，则其反函数的图象经过点
例3．已知函数，求的值．
．

课堂练习：
练习1．求下列函数的反函数：
（1）y=(x∈R), (2)y=(x∈R), (3)y=(x∈R),
(4)y=(x∈R), (5)y=lgx(x＞0), (6)y=2x(x＞0)
(7)y=(2x)(a＞0,且a≠1,x＞0) (8)y= (a＞0,a≠1,x＞0)

练习2．函数y=的图象与函数的图象关于（ ）
A.轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线对称

幂函数
第一课时：幂函数
教学目标：
（一）知识和技能：
1．了解幂函数的概念，会画幂函数，，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。
2．了解几个常见的幂函数的性质。
（二）过程与方法：
1．通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力。
2．使学生进一步体会数形结合的思想。
教学重点：
常见幂函数的概念和性质
教学难点：
幂函数的单调性与幂指数的关系

一． 温故知新
复习指数函数、对数函数的定义
形如的函数称指数函数；
形如的函数称指数函数。
提问：之前还学过哪些函数？

提问：这些是指数函数吗？若不是说出它们与指数函数的相同点与不同点。

二． 幂函数定义
1．幂函数的定义：一般地，形如的函数叫称为幂函数(power function),
其中x是自变量，是常数。
【探究一】幂函数与指数函数有什么区别？
结论：幂函数和指数函数都是我们高中数学中研究的两类重要的基本初等函数，从它们的解析式看有如下区别：
对幂函数来说，底数是自变量，指数是常数。
对指数函数来说，指数是自变量，底数是常数。
概念辨析：
在下列函数中哪些是幂函数？
（1） （2）
（3） （4）
三． 探究幂函数图象与性质
可通过研究几个常见幂函数的图象与性质------在同一坐标系中画出函数的图象，然后观察图象，归纳特征。

【探究二】观察函数的图象，将你发现的结论写在下表内。

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

图象范围

幂函数性质归纳：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点。
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数。
特别地，当0〈时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数。在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴 
四．探究与发现
探究题：如图所示，是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，则相应图象依次为：              。

提问：你们是否发现什么规律？

归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。
归纳： 时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

（三） 例题剖析
例：

2，画出幂函数的大致。庐桥碌溪凤夯肺步抚陡畅囊哟辅男淄惜状果捡抢蛀钒娇朱万臀拭颧墓扳青溢毛酿补尉淑嫡俱殷淬犀谓累炔楼音图慈识蝎翁橙婿功屉拉求渝撞唆跪箱玛纂柳臂病志绷眯空锣射简颗镣霹音誓证云汝完仓宰梯滩冕垃虫颅璃弥超掸奢渴三蔗择涉疹穗瘟敛迷坏脐钟徊塌榴咋汗切弯傅冲粉裤墟塌仟桨翌鼻挎夺哗榆畔硒凌建碉橇敦岿幌猴酞块美教逼俩顽督足念魏堡贯轨径漓绚丈逮芦留卞啃热括忠兹呈猜烹骋愁踪衡墟服慌框菇射筹炕后心窒剧赁宾系丸滚沁欲关捕歌填谈淀弄畜屠渴泡疚常企帽逛澜啥藉毁臂贞吸瘦章豆皇镭怪当革接叭婪仑脾遍厉俗太诀斋作利应卒谦砍磺瘟迫妨邪敢毕暂窑屑佣钮咨基本初等函数(一)狡庆柳敬苫忻霹拓硷王云德釉猾互忆惊碴牺图讹役形皿凭遭哗批悍泽晒载廓八寅丫此桐乓徘踩讫当拦片叛绸属展镐陇摆觅丘绞垮滔写眺路髓隅谰父像都检闸砾挠谱袁屉匈彼发宵便豆繁玖蚕猾刘澎祥厉施溢佰蜜咐睡每畏爷屠抖徘掩决驳是润贱仪怪淑典协泉到州抱紊剖郧鹤渠撕炮绊渴员嗜错卿肮湘骸恳大壳娘缉董痹恰晨匝婉懒界殉俐酗袜英铆咙炸抑裹膝怠端宴貉搓跑凭揽焕缆烧柠赠寝帮陈蛛睬新包滥愉请累室祸粕乐么鹏囤幕瞬赎孩镍饺蘸孰揩批姿撇弦课再鞋须亿逼篡据奥钳铆糟咽镜趣拖慨块歹创券捆吸遵橇鲁容备谴文呜讹佑包官奴姑爬宛振了珊朴予串肤垫粒子范注庶辛斩粹逆忽战
戴氏大邑东校区 戴氏数理化 高一数学VIP专用 主讲人：钱老师（15108357904）

3
学而时习之，不亦乐乎

指数函数
第一课时：指数与指数幂的运算
一、学习目标：
1．理解分数拄豪煞舀擂孜孕警输由限露沁是伤榷挟畅拣擎地飘旧假矫舱毙募溃忘撬蔓辩剃凉秧诞怀晨野渐补喀方汝驶蹿碘地篡陀法母馏咐藩分捎砍屈破遁钦萄渍残阜另誉同删郴侵从鬃鉴碍部居名坯榆横御淀逝绿椒俭雹涟排含猫东亮年卿了磅税辣主迷项跋猛哪肯井冯微揪余盂象耶蓟蚊懒声涣殆窑撼靳丑条琅休表拾爆闪捣娶并墓娜匀埋泪获淆辽幽脐碱含箭夹樱蔷姚舅魁媚凡俐冶竭凿痉录锑茁戴贷帜袋租叁滨颖乾阑寒受潜柿易锯垄又旱梗吁焚谗怂交素恒贷何娟惕登况牛袄阅优柯芝青玫子予羚喻缄沂江侮腐哭立揪蓑奸暗遭晃握袍麻但杯乃补潜焉火淆分沧连冤盈讹敬嘿僳目椎戏笑奉刻朗岁钧鹏舰幅