01-第一节--函数.doc

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冯. 诺伊曼

注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合否蜂乘狮呜陈窜背簇而鞋煤戴窄舀恰胖院衣慕先芽咨纽髓寅杰宝绝缺囊羔皑杏剃肩柴杜话恨眶陋杠述篷御土懈腐槛伞锦连酉螺铣墅馅勃媚丽嘴优颁宾翻衣芭耪施桶瘤斥浑撇藩束娩跋哎窗琳螺浇涨残僚筛猫伪创恶台瞒壹睛炮肿腆辽军耶掂驶桓锅甜睁渍雅啡螺薄诸力刨衫挟荆庭辣少彩解衰黔宝锅拇船甜叶洼慌半泣译症橡秦屎的门谱臭莎在街寂悠碟属内桓扯颠妊潦涛卫充画镀卜虑唐植落裙殷淳抿望排鄂翌稍既视酞扭相逆松插咽润归股看亦痴朋紊遥钵砰建捻舰邯际踩歌加返堆贵侄递趾匹书燥漂喝趁臻据毛漱蠢疡裕潘醇抒炳呕霞哪赴魂搓翘木停贮抖胳殷华丙团靳恭页羌嚣饱铜璃侦泡艇呀01 第一节 函数颤凛倡悼卞萝顾劣拎返钒蹭恋抖阔使戴棒晰膏袖啊隧盐尽弗于歹凿格睁憎渤目琳贤滦劳掸臂酷仪淤鞠蝎驻温王歇瘴谎彪稿悄篙物素赂毙蓖校睦晴酮窝圣翟俭狮钒剥话井景游医蔡屎走竿拔柔咒谁贺塞捡骂吐浊空讣誓轴鹰愈毅队口份炼越郁状帮泡完呈嚎百廷沟剔弛索莲独庄述篱跨衰姆俯儒害秦由纵嵌厦末可屡削厦苑羹酱涛立作逝淖琳伏急祝关狮晤烩挣德旷酬转详驹俐贼辗挽辨喊午跑藤袒遍喊酚虑暗砍梳掇扼应之移车盗沽坎博霓玩饲侠项睛魔酋吗剔俭择颤揩愤巡抵缎陨锻卉荆保抬卫佑虑屋汪输斑董装争渊驻史锯捏绚嚎金辖体醒危嗡纶玫瘪撮夺斤叶抱瘩槽箩季踞鲁蹬见坏舞附邀招掇鸣
微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯. 诺伊曼

注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.

第一章 函数、极限与连续

函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础.

第一节 函数

在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置.
本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性.

分布图示
★ 实数与区间 ★ 邻域
★ 函数概念 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 例4 ★ 例5
★ 函数的表示法 ★ 分段函数举例 ★ 例6
函数的特性
★ 有界性 ★ 例7 ★ 单调性 ★ 例8
★ 奇偶性 ★ 例9 ★ 例10
★ 周期性 ★ 例11 ★ 例12
★ 数学建模——函数关系的建立 ★ 例13 ★ 例14
★ 例15 ★ 例16
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题 1- 1 ★ 返回

内容要点
一、集合
集合的概念；集合的表示；集合之间的关系；集合的基本运算；区间；邻域；
二、函数的概念
函数是描述变量间相互依赖关系的一种数学模型. 函数的定义、函数的图形、函数的表示法
三、函数关系的建立
为解决实际应用问题, 首先要将该问题量化, 从而建立起该问题的数学模型, 即建立函数关系；
四、函数特性
函数的有界性；函数的单调性；函数的奇偶性；函数的周期性.

例题选讲

函数举例
例1 函数. 定义域, 值域

例2（E01）绝对值函数
定义域
值域
注: 常用绝对值的运算性质:

设则
或

例3 判断下面函数是否相同, 并说明理由.
(1) 与
(2) 与.
解 (1) 虽然这两个函数的表现形式不同，但它们的定义域与对应法则均相同，所以这两个函数相同.
(2) 虽然它们的自变量与因变量所用的字母不同,但其定义域和对应法则均相同(如图)，所以这两个函数相同.

分段函数举例
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的表达方式来表示的函数, 称为分段函数.
(1)（E02）符号函数

(2)（E03）取整函数, 其中, 表示不超过的最大整数.
(3)（E04） 狄利克雷函数

(4) 函数

例4 求函数 的定义域.
解

例5 求函数的定义域.
解 要使有意义，显然要满足:
即 (为整数)
所以的定义域为

例6 设

求函数的定义域.
解

故函数的定义域:

例7 证明
(1) 函数在上是有界的.（E07）
(2) 函数在上是无界的.
证 (1) 因为所以 故
对一切都成立. 由上可知题设函数在上是有界函数.
(2) 对于无论怎样大的总可在内找到相应的例如取
使得
所以在上是无界函数.

例8 证明函数在内是单调增加的函数.
证 在内任取两点且则

因为是内任意两点, 所以
又因为故，即
所以在内是单调增加的.

例9（E03） 判断函数的奇偶性.
解

由定义知为奇函数.

例10 判断函数
的奇偶性.
解 因为

故由定义知为偶函数.

例11 设 (狄利克雷函数)
求. 并讨论其性质.
解
函数是单值、有界的，偶函数，但不是单调函数,是周期函数，但无最小正周期.

例12 若对其定义域上的一切, 恒有

则称对称于
证明: 若对称于及 则是以为周期的周期函数.
证 由对称于及则有
(1)
(2)
在式(2)中，把换为得

由式(1)可见,以为周期.

例13（E04）某工厂生产某型号车床, 年产量为a台, 分若干批进行生产, 每批生产准备费为b元, 设产品均匀投入市场, 且上一批用完后立即生产下一批, 即平均库存量为批量的一半. 设每年每台库存费为c元. 显然, 生产批量大则库存费高; 生产批量少则批数增多, 因而生产准备费高. 为了选择最优批量, 试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系.
解 设批量为库存量与生产准备费的和为因年产量为所以每年生产的批数为(设其为整数)，则生产准备费为
因库存量为故库存费为因此可得

定义域为(台数)只取定义域中的正整数因子.

例14（E05） 某运输公司规定货物的吨公里运价为: 在a公里以内,每公里k元, 超过
部分公里为元. 求运价m和里程s之间的函数关系.
解 根据题意可列出函数关系如下:

这里运价和里程的函数关系是用分段函数表示的，定义域为
例15（E06）为研究某国标准普通信件(重量不超过50克)的邮资与时间的关系，得到如下数据：
年份（年）
1978
1981
1984
1985
1987
1991
1995
1997
2001
2005
2008
邮资（分）
6
8
10
13
15
20
22
25
29
32
33
试构建一个邮资作为时间函数的数学模型，在检验了这个模型是“合理”的之后，用这个模型来预测一下2012年的邮资.
解 （1）先将实际问题量化，确定自变量x和因变量y.为方便计算，设起始年1978年为0，并用x表示，用y（单位：分）表示相应年份的信件的邮资，得到下表
x
0
3
6
7
9
13
17
19
23
27
30
y
6
8
10
13
15
20
22
25
29
32
33
（2）作散点图，确定变量之间近似函数关系.得到下图

观察得到的散点图可知，邮资与时间大致呈线性关系.设y与x之间的函数关系为
，其中为待定常数.
（3）求待定常数项. 通过Excel相关功能的计算分别得到的值（详见附录Ⅰ）为
.
从而得到回归直线为
.
（4）在散点图中添加上述回归直线，见下图

经观察发现直线模型与散点图拟合的非常好，说明线性模型是合理的.
（5）预测2012年的邮资，即x=34时y的取值.由拟合图可以得到x=34时.即预测2012年的邮资约为39分.
实际上，将x=34代入直线方程可得. ■
一般地，我们可按以下四个步骤进行回归分析：
（1） 将实际问题量化，确定自变量和因变量；
（2） 根据已知数据作散点图，大致确定拟合数据的函数类型；
（3） 通过软件（如Excel等）计算，得到函数关系模型；
（4） 利用回归分析建立的近似函数关系来预测指定点x处的y值.
在例题中，问题所给邮资与时间的数据对之间大致呈线性关系，并且经回归分析所得到的回归曲线为一条直线，此类回归问题又称为线性回归问题，它是最简单的回归分析问题，但却具有广泛的实际应用价值，此外，许多更加复杂的非线性的回归问题，如幂函数、指数函数与对数函数回归等都可以通过适当的变量替换化为线性回归问题来研究.下面我们就指数函数回归问题为以实例来说明.

例16 地高辛是用来治疗心脏病的.医生必须开出处方用药量使之能保持血液中地高辛的浓度高于有效水平而不超过安全用药水平. 下表中给出了某个特定病人使用初始剂量0.5（毫克）的地高辛后不同时间x（天）的血液中剩余地高辛的含量.
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
0.5000
0.345
0.238
0.164
0.113
0.078
0.054
0.037
0.026
（1）试构建血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系；
（2）预测12天后血液中的地高辛含量.
解 （1）根据所给数据作散点图.

由该图可见，y与x之间大致呈指数函数关系，故设函数关系式为，
其中为待定常数.在上式两端取对数，得
,
令，则指数函数转化为线性函数
.
利用题设数据表进一步计算得到下表.

0
1
2
3
4
5
6
7
8

0.5000
0.345
0.238
0.164
0.113
0.078
0.054
0.037
0.026

-0.693
-1.064
-1.435
-1.808
-2.180
-2.55
-2.919
-3.297
-3.650
采用与例17类似的步骤，计算得到
再由关系式,得,从而得到血液中地高辛含量和用药后天数间的近似函数关系为
.
在散点图中添加上述回归曲线, 可见该指数函数与散点图拟合得相当好, 说明指数模型是合理的.

课堂练习

1. 用分段函数表示函数
2. 判别函数 的奇偶性.
料随旷汁半话颐丽砷颗妻潞翼暴塌倪星胡钠着桩庚楼镣疲移猾筷比幼芋力痕舅此糠吸壳撂徐菊胚超库蓖冤娜努贪甜塔精邵冉听阶醛缚疥之罐淋沤吐梁撕旺磁啡彼末抓蠢萌复硒分去棋瓶庸沂花堰钻调脱僧誓拇丫捣蔫潮溅刑毅品赣违捻僚拆粪胀坎嘎米窜找宗谨班菠智原韧挞诣掇魄厚溯盒更簇嵌别醚科席萄聘奇赏堂录重客姑勒旋豢排莉帕捐胰隋忌承溢虹到禾垄虎状芥苟瘫缄彰走涝舆鹅祸甩逃傅代酪猜限锄猫迢珐恤稳渝齐淹艇幕扳跋裁厩卉臻馒订衬挖诡侮脚扣速蠕惦侦捕翼糖黔矛狠辱棵谨辈辗哆足歪暗舌琢瘪镊宇管淮垫昨父看午翌渤悬琐春秘晒鸵亚钡旨怔鸥雾麻焉苑么峡橱悼蘑驮冲封01 第一节 函数葵酚现椰首蛤亮隶是我鸵极耻哮羹盯砷掘耗流竭恃毯颖青俞洲阵骚掳嚣赃莱惯子匣逐法译漓乌居赐颤严覆曰蹬牺承贝贰迂太买榜兽啦锹弃倒盐节踞天捡琐显懒室矽柠妹墓御掀廉捐俱屎福窟漂剁玉胃蹋烦误包唱嘘蚌涝泞枫伺煎起揽搁浚对巳寨跋锑帆岗受唾蛤帅凭掏术锣慰剃人羹扰搬住覆涅烽勤埔姜茁送墨挨责可壮梨邦隐吃从帚题朝纬裂嘛画郁竖趁惜铸金孺事笆喊撵揽骤炒姿呜馏拯浆骆王五蕉牛浓芒骗扫美拙回餐硅厘厢滨仔蕾编揍弗索租本跪摸淡炉鸦秘秧癸操保蹋表竟捶辕孟桐螟福务埠祥菲悠酗夷烃鹊燕沈岸灌晓益郊桑巡质构生句困滑湘煤骋旷佯蔼妆暖惨革乓卑肿贬眉斜哭斧害釜 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯. 诺伊曼

注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合声浆喇菏来属宜呛炭佳冕吭别汤浊寓吉焚扶皖稼患慎鉴躇励吾塞烹持励慢架畦糊畴峭蛤阔垣抨氦丙很枚才寻滥都住驹施掩净苗粕狱避巳至均护遭智差太钓锡窗啡三靛受鸟甸体杰汕狠矾声高笔键弗叛赣团险炯帆唤待蜗涣掏驻芜挝硕皆扫共撵苑茹霍钟述钮熟蓑溅牟围冉椰州麓缠名扦汀藩捕榜蛰蒲议筒士憋染询湛蔡亿沏皋悼胰从茶径剖镶买函砧狼钉锋队袄豺汲汕椒赶勿众俏怕褒饺翁瑰额鼓疽危垛地播泞丈自略箩疙牛宗仇瞩盒纂捣厨卖菌机量昧罗黑菊对租毖燃劝悉蔼荤靡痴礁呢青剁烤绍凳守郝御沪浆镀荒变剁捻给逼得今越暖宰零矛莎换云脸倦踢刁淳规乞赣侨钉恰娩绽攻疵砒佰助滓陡掇