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沪科版实数知识点与经典例题

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七年级下实数知识点总结及经典例题讲解
第一部分 知识点总结
考点一、实数的概念及分类 （3分）
1、实数的分类
正有理数
有理数 零 有限小数和无限循环小数
实数 负有理数
正无理数
无理数 无限不循环小数
负无理数

整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、 无理数
无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环.
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
考点二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根
1、平方根
如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“”。
2、算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
（0）
-（<0） ；注意的双重非负性：
0
3、立方根
如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
4、n 次方根
若一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，用表示的次方根，
读作“ 次根号”，叫做被开方数，叫做根指数。求一个数的次方根的运算叫做开
次方。
要点：① 正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，正数的奇次方根只有一个；
② 零的任何次方根是零；
③ 负数没有偶次方根，只有奇次方根，且只有一个。

考点四、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
考点五、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别是a、b，那么A、B两点的距离为： AB =。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：设a、b是实数，

（3）求商比较法：设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。
（5）平方法：设a、b是两负实数，则。
考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）
1、加法交换律
2、加法结合律
3、乘法交换律
4、乘法结合律
5、乘法对加法的分配律
6、实数混合运算时，对于运算顺序规定
实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则
除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数，商都是零。
8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？
相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作: an
9、有理数乘方运算的法则是什么？
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。
10、分数指数幂

几点说明：
（1）上式中m、n 为正整数，n>1
（2）当m 与n 互素时，如果n 为奇数，那么分数指数幂中的底数a 可为负数
（3）整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂
有理数指数幂运算性质：
设为有理数，那么>
（1）；- + = ¸ = × ,
（2）；
（3）
第二部分 经典题型
例1 填空：
(1)的平方根是 ，的算术平方根是 ；
(2) 的平方等于，的算术平方根是 .
(3)若，则 ；若，则 ；若，则 。
(4)若，则 的绝对值等于 ． ．
(5)把20492用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为（ ）
（A）20000 （B） （C） （D）
例2 已知，y是的正的平方根，求代数式的值.

例3 将下列实数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接.
π，，，0，.

例4 数a、b在数轴上的位置如图所示：
化简：

例7 已知a是的整数部分，b是的小数部分，求(b－)a的值

例8 在实数中，绝对值等于它本身的数有（ ）．
A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个
例9 一组数 这几个数中，无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例10 下列说法中，不正确的是（ ）．
A. 3是的算术平方根 B. ±3是的平方根
C. －3是的算术平方根 D.－3是的立方根
例11 下列运算正确的是（ ）；
A、任何数都有平方根 ； B、－9的立方根是－3 ；
C、0的算术平方根是0 ； D、8的立方根是±3。
例12 的平方根是（ ）； A、4 ； B、±4 ； C、2 ； D、±2
例13 是___的平方根；1－的相反数是 ；若x的立方根是，则x＝
例14 计算:
例15 将下列各数由小到大重新排成一列，并用“＜”号连接起来：
－π， 0， 2， －3.15， 3.5

例16 计算 (1) × ； (2) (3)

例17 化简 (1) (2)

(3) (4)

例18 设为实数,且已知，求．

例19 实数在数轴上对应的点如图，化简：

实数的整数部分与小数部分
在化简与计算中，常常出现确定一个实数的整数部分与小数部分问题，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，然后再确定其小数部分．
实数小数部分一定要为正数，所以正、负实数的整数部分与小数部分确定方法存在区别：
⑴对于正实数，即实数＞0时，整数部分直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数，小数部分=原数－整数部分．如实数9.23，在整数9—10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23-9=0.23．
⑵对于负实数，即实数＜0时，整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数，小数部分=原数－整数部分．如实数-9.23，在整数-10—-9之间，则整数部分为-10，小数部分为-9.23-（-10）=0.77．
例1．已知+1的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值．
解：∵2＜＜3 ∴3＜+1＜4 ∴a=3，b=+1－3=－2
例2．若x、y分别是8－的整数部分与小数部分，求2xy－y2的值．
解：∵3＜＜4 ∴4＜8－＜5 ∴x=4，y=8－－4=4－
2xy－y2=y（2x－y）=（4－）（4+）=5
例3．已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．
解：∵==+1 又2＜＜3 ∴3＜+1＜4
∴a=3，b=+1－3=－2
∴a2+b2=32+（－2）2=18－4
例4．设x=， a是x的小数部分，b是-x的小数部分．则a3+b3+3ab= ．
解：由x==+1 而1＜＜2 ∴2＜+1＜3
∴x的整数部分为2，小数部分a=+1-2=-1
又∵-x=－－1 ∴-3＜－－1＜-2
∴－x的整数部分为－3，小数部分b=－－1―（―3）=2－
∴a+b=1 ∴a3+b3+3ab=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab= a2+2ab+b2=（a+b）2=1
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