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第二章 设施选址
10.一家银行准备在某县的农村地区投放一批ATM自动取款机，以方便农村的用户取款。该农村地区的村落座落情况和相对距离如图2.13所示。为了能保证任一村的人都可以在20分钟之内到达自动取款机取款，银行需要多少台自动取款机？它们的位置又在哪里?

图2.13 村落座落情况和相对距离
要点： 1. 明确N，M，，含义；
2. 分析对的后，可参照直接写出，无需再看网络图；
3. 熟悉最少点覆盖启发式算法的环节，考虑是否有容量约束。
解：【集合覆盖模型】
区域中需求点集合N={1,2,3,4,5,6,7}；
ATM取款机设施候选点集合M={1,2,3,4,5,6,7}；
由网络图拟定候选设施点j可覆盖的需求点集合和可覆盖需求点i的设施节点的集合，见表2.10.1。
2.10.1 候选点服务范围
村落号

1
1,2,3
1,2,3
2
1,2,4,5
1,2,4,5
3
1,3,4
1,3,4
4
2,3,4,6,7
2,3,4,6,7
5
2,5,6
2,5,6
6
4,5,6
4,5,6
7
4,7
4,7
由于={2,3,4,6,7}，||=5为最大，故一方面=4。因无容量约束，指派2,3,4,6,7归村落4服务。
此时N={1,5}，M={1,2,3,5,6,7}；则更新候选点服务范围，见表2.10.2。

2.10.2 更新后的候选点服务范围
村落号

1
1
1,2,3
2
1,5

3
1

4

5
5
2,5,6
6
5

7

由于={1,5}=N，恰好满足条件。则=2。
综上所述，银行需要2台自动取款机，分别至于村落号为2和4的位置，2号为1,5村落服务，4号为 2,3,4,6,7村落服务。
11. —个临时帮助服务中心计划在一个大城市的郊外开设一个新的办公室。在通过一定的精简之后，该公司有5个大的合作伙伴。在一个以km为单位的笛卡尔坐标系中，它们的坐标分别为：(4，4)，(4，11)，(7 ，2)，(11，11)， (14，7)。它们的服务需求量的权重分别为：wl=3，w2=2，w3=2，w4=4，w5=1。对于该服务中心来说，重要的平常费用是他们员工完毕任务过程中的运送费用。因此，用城市距离进行考虑，规定新的办公室到各个合作伙伴之间运送的运送费用最小。1）请拟定一个新办公室的地址，用笛卡尔坐标来表达相应结果。2）假如由于该地区的人口稀少，城市还没有达成一定的规模，可以用欧几米德距离进行计算，新办公室又得在哪里投建?请比较两次结果，分析它们之间的关系。
要点：1. 补充交叉中值模型知识点

关键句：将n点需求的选址问题转化为点需求的选址问题。
2.笛卡尔距离即直角距离，欧基米德距离即直线距离；
3.重心法：初始化+迭代公式+Excel/C编程/matlab编程迭代+迭代终止条件
解：（1）设新办公室的地址的坐标为(x,y),给题目已知的5个点编号1~5。
由于笛卡尔距离=|-|+|-|。
则目的函数为时总运送距离H最短。
|

4
3
3
4
3
3
4
2
5
11
2
5
7
2
7
2
2
7
11
4
11
11
4
11
14
1
12
7
1
12

为偶数，即均在第六个、第七个点之间。
可得，
（2）设初始点为（）有题意得，阿基米德距离为
=,
目的函数H(运送总费用)=,
运用不动点算法，取一个初始的迭代点（,）=(8,7),此时=62.51
令=,,=
==62.14
由EXCEL迭代得，结果如图
费用结果保存四位小数得最优解为
x=7.6257,y=7.6047,此时费用最小为H=62.1020
（3）比较两次结果可知欧基米德中的费用小于笛卡尔距离，因直线距离是＜直角距离，因此用欧基米德距离更为精确。直角距离比较适合于城区范围内的选址，欧基米德距离比较适合于远距离的选址。
12.一台机器工具小制造商要迁址，并拟定了两个地区以供选择。A地的年固定成本为800000元，可变成本为14000元/台；B地的年固定成本为920230元，可变成本为13000元/台。产品最后售价为17000元/台。
（1） 当产量为多少时，两地的总成本相等？
（2） 当产量处在什么范围时，A地优于B地？当产量处在什么范围时，B地优于A地？
解：答：设x为之制造商的年产量
A地，总成本C(A)=800000+14000x
B地，总成本C(B)=920230+13000x
1)若两地成本相等，则C(A)=C(B)
解得：x=120
2）若A地优于B地，则C(A)<C(B),因此得0<x<120
同理，当x>120时，B地优于A地。
13．运用表2.8所示的因素评分，以最大综合得分为基础，建模分析应选择地点A、B、C中的哪一个?
表2.8 因素评分表

解：权重矩阵设为W，则
三个位置的因素评分作为3行构成因素矩阵S。

可得综合加权矩阵E=S*W=。
可知E(A)> E(B)> E(C)。即选择A点。
14.一个玩具制造商在全国的五个地区生产玩具，原材料将从一个新的中心仓库运出，而此仓库的地点尚有待拟定。运至各地的原材料数量相同，已建立一个坐标城，各地的坐标位置如表2.9所示。请拟定中心仓库的坐标位置。
表2.9 各地的坐标位置

解：设仓库的坐标为（,仓库到各生产地的距离为,因运至各地的原材料数量相同，故可设
初始解：，即。
直线距离为
=
目的函数运送总费用H= ，其中

根据下列进行迭代：
=，，=
直到运费无法减小。
用MATLAB 进行编码：

运营结果得，迭代78次得到最优解。
其中选址坐标为（5.6235,4.9918），最小运费为H=13.4550。
或由EXCEL迭代得，结果如图

费用结果保存三位小数得最优解为X=5.5767，y=4.010,H=13.456
15.某物流公司拟建一仓库负责向四个工厂进行物料供应配送，各工厂的具体位置与年物料配送量见表2.10，设拟建物流公司仓库对各工厂的单位运送成本相等。运用重心法计算拟定物流公司的仓库坐标位置为多少。
表2.10 各工厂的具体位置与年物料配送量

解：设仓库的坐标为（,仓库到各生产地的距离为,目的函数运送总费用H=，为工厂年配送量，为单位运送成本，因单位运送成本相等，故令=1，于是有
初始解=37.5,=42.5
=,
此时=192249.4
令=,,=
==190400.4
由EXCEL迭代得，结果如图

结果保存整数得最优解为（42.22076，33.82437）,H=188709
或用MATLAB进行编码（文献见附件）：

运营结果得，迭代59次得到最优解。
其中选址坐标为（42.2865, 33.6732），最小运费为H= 188707.914。
16. 筹建一农副产品流通加工厂，可供选择的候选厂址有D、E、F三处，因地址不同各厂加工成本亦有区别，各厂址每年费用如表2.7所示。此外，为决定厂址还考虑了一些重要的非成本因素，如本地竞争能力、气候变化和周边环境是否适合农副产品流通加工等。对于竞争能力而言，F地最强，D、E两地相平；就气候来说，D比E好，F地最佳；至于环境，E地最优，另一方面为F地、D地。假如各主观因素的重要性指数a、b、c依次为0.6、0.3和0.1，规定用因次分析法评估最佳厂址在何处。
表2.11 各候选厂址每年加工成本费用

要点：P中值法分5个环节进行。
解:
（1）计算客观量度值 ，

同理可得：
（2）计算主观评选值（有3个不同的主观因素）
① 竞争能力（F>D=E） 注：D=E，比较记为0.5
两两相比
厂址
F
E
D
比重

D
0
0.5

0.5
0.167
E
0

0.5
0.5
0.167
F

1
1
2
0.666

② 气候（F>D>E）
两两相比
厂址
F
E
D
比重

D
0
1

1
0.33
E
0

0
0
F

1
1
2
0.67

③ 环境（E>F>D）
两两相比
厂址
F
E
D
比重

D
0
0

0
0
E
1

1
2
0.67
F

0
1
1
0.33

（3）计算主观量度值，，其中为各主观因素的重要性指数。

因素k
D
E
F
重要性指数

0.167
0.167
0.666
0.6

0.33
0
0.67
0.3

0
0.67
0.33
0.1

计算可得

（4）计算位置量度值，
由于题中没有给出主观因素与客观因素的互相比重，假设两者相等即同种重要，即主客观比重值。

（5）决策
根据各位置量度值的大小，F厂址所得位置量度值在3个候选地址中最高，故选F为建厂厂址。
17.在某区域需规划建设若干个农贸市场为将来该区9个重要居民点提供服务，除第6居民点外，其他各点均有建设市场的条件，如图2－6所示。已知市场的最大服务直径为3km，为保护该区域的环境，希望尽也许少地建造农贸市场。问应如何规划？
3

图2－6 社区居民点位置图
解：N＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,2,3,4,5,7,8,9}，由图2－6两点间的最短距离，根据最大服务半径为3km的约束及第6居民点不适合建市场的规定，可拟定集合A(j)和B(i)。如表2－3所示。
表2－3 候选点服务范围

由于A(4)={1,3,4,5,6,7}，A(3)={1,2,3,4,5,6},|A(4)|= |A(3)|=6为最大,随机选取j’＝4。由于无容量约束故依次指派5,7,1,6,3,4点归节点4服务。此时，N＝{2,8,9},M＝{1,2,3,5,7,8,9},更新集合A(j)和集合B(i)后如表2－4所示。
表2－4 候选点服务范围

由于A(8)＝{8,9}，|A(8)|＝|A(9)|=2为最大，故选取j’＝8或j’＝9，并且8，9两点归节点8或9服务。同理，再迭代一次，得j’＝2，居民点2归节点2服务。 因此，计算结果为（4,8,2）或（4,9,2）。
若选择j’＝3，故依次指派1,2,3,4,5,6点归节点3服务。此时，N＝{7,8,9},M＝{1,2,4,5,7,8,9},更新集合A(j)和集合B(i)后如表2－5所示。
表2－5 候选点服务范围

由于|A(8)|＝3最大，选择j’＝8。因此计算结果为（3,8）。
第三章 设施规划
11. 某生产线共有8项作业，其工作周期为8分钟。已知各项作业的装配顺序和时间如表3.30所示。请根据周期时间和作业顺序限制，拟定最少工作站数和各项作业的安排，并算出此安排下生产线的效率。
表3.30 周期时间和作业顺序表

解：由题意得网络活动图（Job on nodes）：
A
B
C
D
E
F
G
H

由题意各作业所需时间之和=5+3+4+3+6+1+4+2=28
最小工作数=28/8=3.5,因此需要4个工作台
根据作业的相关情况进行安排，结果如下表
工作站序号
作业单元
工作时间
空闲时间
1
H,G,F
7
1
2
E
6
2
3
D，C
7
1
4
B，A
8
0
生产线效率=完毕作业所需时间总和/(实际工作站总数*时间周期)=
12.某流水线有17项作业需要平衡，其中最长的作业为2.4分钟，所有作业的总时间为18分钟。该流水线天天工作450分钟。试求：
（1）最大和最小的周期时间各是多少？
（2）该流水线理论上也许达成的每日产能是多少？
（3）按最大产能来算，最少需要几个工作站？
（4）若天天产能为125分钟，则周期时间应为多长？
（5）若周期时间分别是9分钟和15分钟，则产能分别是多少？
解：（1）当17项作业只能串行依次进行时，可得最大周期为18min。
当17项作业均并行进行时，可得最小周期为2.4min。
（2）产能为单位时间生产的产品数量。
以最大周期计算，得最小产能为1/18min=0.056/min；
以最小周期计算，得最大产能为1/2.4min=0.417/min；
综上所述，每日也许产能为[25,187.5]。
（3）依题意有需要18/2.4=7.5，所以最少需要8个工作站。
（4）周期时间为450/125=3.6min。
（5）当周期时间为9min时，产能为450/9=50/天；
当周期时间为15min，产能为450/15=30/天。
13. 某学院注册有四道手续：领取表格、征询、领取班级卡和确认交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻的同样大小的房间，由于同时有新老学生，假如450名新学生领表后去征询，550名老学生领表后直接去领班级卡，而毕业班学生已经注册过，领表后直接去缴费，具体学生流向如表3.31所示。试问已有布置是否可以改善，若能，该如何改善？
表3.31 学生流向表
要点：1.解题思绪：单向物流从至表双向物流从至表 作业对按双向物流从至表中强度值排序，划分物流等级拟定物流路线比例 参考相关图得接近限度排序表 按接近限度得作业单位位置相关图 按接近限度排序得作业单位面积相关图
2.参考相关图：
物流强度等级
A
E
I
O
U
X
物流路线比例
10%
20%
30%
40%
0
0
承担的物流量比例
40%
30%
20%
10%
0
0
接近限度
4
3
2
1
0
0
3.路线比例设计=线路条数/总线路条数
解：由学生流向表得到双向物流表如下：
双向物流表

领表（A）
征询(B)
领班级卡(C)
缴费(D)
领表（A）

700（2）
550（3）
50（5）
征询(B)

200（4）

领班级卡(C)

750（1）
缴费(D)

根据学生流量划分物流等级拟定物流路线比例如下：
序号
作业单位对
强度值
路线比例设计
路线条数
物流强度比例
强度等级
1
C-D
750
20%
1
33.3%
E
2
A-B
700
20%
1
31.1%
E
3
A-C
550
20%
1
24.4%
E
4
B-C
200
40%
2
11.1%
O
5
A-D
50
O

合计
2250

由以上关系图得接近限度排序表

领表A
征询B
领班级卡C
缴费D
领表A

3/E
3/E
1/O
征询B
3/E

1/O
0/U
领班级卡C
3/E
1/O

3/E
缴费D
1/O
0/U
3/E

合计
7
4
7
4
排序
2
4
1
3
作业单位位置相关图和作业单位面积相关图
领 表
缴 费
领班级卡
咨 询
领班级卡
缴 费
领 表
咨 询

现四道手续：领取表格、征询、领取班级卡和确认交费，分别安排在A、B、C、D四个连续相邻的同样大小的房间，即位置为下图关系
领班级卡
缴 费
领表
征询

该布置可得到改善，改善方案为
领班级卡
缴 费
领 表
咨 询

14. 根据作业相关图，绘制作业单位位置相关图。

图3.28 习题14作业相关图
解：由该作业相关图可得接近限度排序表如下：

A
B
C
D
E
A

4/A
2/I
0/U
0/U
B
4/A

2/I
3/E
3/E
C
2/I
2/I

0/U
0/U
D
0/U
3/E
0/U

1/O
E
0/U
3/E
0/U
1/O

合计
6
12
4
4
4
排序
2
1
5
3
4
可得作业单位位置相关图如下：
B
A
D
E
C

15. 某工厂有ABCDE五个车间，布置图如下，其中＋为各车间距心。该厂生产四种产品，各产品的工艺路线和每月产量如表3.4所示，并且每种产品的生产批量为50件。
（1）试以直角距离计算两两车间的距离从至表；
（2）计算物流搬运量从至表F；
（3）计算搬运工作量，并以之作为物流强度表达从至表。假设每批次搬运移动1米的成本是2元/米·批，试将上述物流强度从至表转化为物流成本从至表。

解：（1）车间直角距离从至表

A
B
C
D
E
A

27
54
75
39
B
27

27
48
66
C
54
27

39
69
D
75
48
39

48
E
39
66
69
48

(2) 物流搬运量从至表

A
B
C
D
E
A

600
650
900
0
B

600
0
0
C

850
400
D

1750
E

(3)物流强度从至表（物流强度=距离*物流量）

A
B
C
D
E
A

16200
35100
67500
0
B

16200
0
0
C

33150
27600
D

84000
E

由于每批次搬运移动1米的成本是2元/米·批，所以每件搬运成本为2/50=0.04元/米*件，得到物流成本从至表如图。
物流成本从至表

A
B
C
D
E
A

648
1404
2700
0
B

648
0
0
C

1326
1104
D

3360
E

16. 已知某工厂的各作业单位原始数据如表3.23、表3.24所示。试用作业单位关系图法布置平面图。
表3.23 各作业单位及面积

表3.24 作业单位关系

要点：1.选出的第一个作业至少有三面被其它作业包围；
2.不带面积的平面图与带面积的平面图没有完全的相应关系。
3.此题多解。
解：第一阶段，拟定各作业单位的相对位置。画出样板，涉及作业单位的名称
代码及相关代码。

选出A级关系最多的样板Y，将Y布置在平面图中部，其它按AEIOU级关系从多到少的顺序依次放到平面图中，可得放置顺序为YXZUWTV,在布置的过程中应保持关系强度大的样板尽量靠近放。

第二阶段，据各作业单位面积，以20为一个面积单位得带面积的平面图如下：