相似三角形练习题.doc

相似三角形经典练习题

一．选择题（共9小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1： D．1：2
3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
4．如图，▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ=4：3，则AP：PR=（　　）

A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
5．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（　　）

A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A． B． C． D．
7．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　）

A． B．10
C．或10 D．以上答案都不对
8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
9．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（　　）

A． B． C． D．

二．填空题（共11小题）
10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是　　．
11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法对的的有　　（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．

12．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=　　．

13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE=　　．

14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF=　　．

15．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=　　．

16．如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽　　，相应边的比例式是　　．

17．如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是　　，结论是　　．（注：填序号）

18．已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=　　．

19．如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于　　度．

20．一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第　　张．

三．解答题（共10小题）
21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．

22．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．

23．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2=GF•EF．

24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．

25．如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．
（1）求证：；
（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．

26．已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．
（1）求的值；
（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，
（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；
（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．

28．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．假如P、Q同时出发，用t（秒）表达移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为什么值时，△POQ与△AOB相似．

29．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究通过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）当t为什么值时，△EOP与△BOA相似．

相似三角形经典练习题20231115
参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理．菁优网版权所有
【分析】本题重要运用勾股定理和面积法求高即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，
∴斜边为5，
∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）
∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．
故选A．
【点评】此题考察了勾股定理和运用面积法求高，此题考察了学生对直角三角形的掌握限度．

2．如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，则AB：AC等于（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1： D．1：2
【考点】相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据已知及相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵∠ADC=∠ADB=90°，∠C=∠BAD
∴△ACD∽△BAD
∵S△CAD=3S△ABD，且这两三角形高相等
∴AB：AC=1：
故选C．
【点评】本题考察了三角形的面积公式，及相似三角形的鉴定及性质．

3．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1，S2，那么的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】三角形中位线定理；相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据已知可得到△ADE∽△ABC，从而可求得其面积比，则不难求得的值．
【解答】解：根据三角形的中位线定理，△ADE∽△ABC，DE：BC=1：2，所以它们的面积比是1：4，所以=，故选C．
【点评】本题考察了三角形的中位线定理和相似三角形的性质：（1）相似三角形周长的比等于相似比；（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形相应高的比、相应中线的比、相应角平分线的比都等于相似比．

4．（2023秋•桐城市校级月考）如图，▱ABCD中，Q是CD上的点，AQ交BD于点P，交BC的延长线于点R，若DQ：CQ=4：3，则AP：PR=（　　）

A．4：3 B．4：7 C．3：4 D．3：7
【考点】相似三角形的鉴定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】运用“平行线法”证得△ADQ∽△RCD，则相应边成比例：=；同理，证得△ADP∽△RBP，则=，即=．
【解答】解：如图，∵在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴△ADQ∽△RCD，
∴=，即=，
∴RC=AD．
同理，△ADP∽△RBP，则=，即=，
∴==，即AP：PR=4：7．
故选：B．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质，平行四边形的性质．平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．

5．如图，△ADE∽△ACB，其中∠AED=∠B，那么能成立的比例式是（　　）

A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】本题可根据相似三角形的性质求解，已知了∠AED和∠B相应相等，因此AD、AC是相应边，AE、AB是相应边，DE、BC是相应边，根据相似三角形的相应边的比例相等，即可判断哪个选项对的．
【解答】解：∵△ADE∽△ACB，且∠AED=∠B
∴AD、AE、DE的相应边分别是AC、AB、BC
因而有
故本题选A．
【点评】本题重要考察了相似三角形的性质，找准相似三角形的相应边是解题的关键．

6．（2023•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（　　）

A． B． C． D．
【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】连接AM，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM⊥BC，根据勾股定理求得AM的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN的长．
【解答】解：连接AM，
∵AB=AC，点M为BC中点，
∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BM=CM=3，
在Rt△ABM中，AB=5，BM=3，
∴根据勾股定理得：AM===4，
又S△AMC=MN•AC=AM•MC，
∴MN==．
故选：C．

【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理．特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．

7．（2023秋•杞县校级期末）如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（　　）

A． B．10
C．或10 D．以上答案都不对
【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也也许是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．
【解答】解：如图
（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC
则AE=AC=10

（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC
∴，即
AE=
综合（1），（2），故选C．

【点评】会运用相似三角形求解一些简朴的计算问题．

8．（2023•新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　）

A． B． C． D．
【考点】相似三角形的鉴定．菁优网版权所有
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，运用三边相应成比例的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2：=1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
【点评】此题考察了相似三角形的鉴定，纯熟掌握相似三角形的鉴定方法是解本题的关键．

9．（2023•大兴安岭）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（　　）

A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】先鉴定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．
【解答】解：设CD=x，
根据C′D∥BC，且有C′D=EC，
可得四边形C′DCE是菱形；
即Rt△ABC中，
AC==10，
，
EB=x；
故可得BC=x+x=8；
解得x=．
故选A．
【点评】本题通过折叠变换考察学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最佳实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

二．填空题（共11小题）
10．a=4，b=9，则a、b的比例中项是　±6　．
【考点】比例线段．菁优网版权所有
【分析】根据比例中项的概念，设a、b的比例中项是c，则c2=ab，再运用比例的基本性质计算得到c的值．
【解答】解；设a、b的比例中项是c，则c2=ab
∵a=4，b=9，
∴c2=ab=36，
解得：c=±6；
故填：﹣6或6．
【点评】此题考察了比例中项，关键是理解比例中项的概念，当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．

11．在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法对的的有　①③④　（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC2=AD•DB；③BC2=BD•BA；④CD2=AD•DB．

【考点】相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角相应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的相应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴AC•BC=AB•CD，
即∴AC•BC=AB•CD，故①对的；
∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴BC2=BD•BA，故③对的；
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴AC2=AD•AB，CD2=AD•DB，
故②错误，④对的．
故答案为：①③④．
【点评】此题考察了相似三角形的鉴定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意相应线段的相应关系与比例变形．

12．（2023春•武侯区校级期末）如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=8，BC=6，则AD=　6.4　．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；勾股定理．菁优网版权所有
【分析】由于AC⊥BC，CD⊥AB，可得一组相应角相等，再加上一对公共角，可证△ACD∽△ABC，运用比例线段可求AD．（可先运用勾股定理求出AB）
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ACB=90°，∠ADC=90°，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
又∵在Rt△ABC中，AB===10，
∴=，AD=6.4．
【点评】解答此题不仅用到相似三角形的性质，还要结合勾股定理求出相应的边长，方可进行计算．

13．如图，DE∥AC，BE：EC=2：1，AC=12，则DE=　8　．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；平行线的性质．菁优网版权所有
【分析】根据DE∥AC，证得△BED∽△BCA，再由相似三角形相应线段成比例可得出答案．
【解答】解：由DE∥AC可得△BED∽△BCA，∴==，
又AC=12，可得DE=8．
故填8．
【点评】本题考察平行线的知识，注意相似三角形相应线段成比例的性质．

14．如图，平行四边形ABCD中，E是BD上一点，AE的延长线与BC的延长线交于F，与CD交于G，若AE=4，EG=3，则EF=　　．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】由平行四边形的定义得出AB∥CD，再根据平行线的性质得到∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，然后根据两角相应相等的两三角形相似即可证明△ABE∽△FDE；根据相似三角形相应边成比例得出①，再证明△BEG∽△DEA，得出②，等量代换得到，于是得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠FDE，∠EAB=∠EFD，
∴△ABE∽△FDE，
∴①，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠GBE=∠ADE，∠G=∠DEA，
∴△BEG∽△DEA，
∴②，
由①②可得，，
∵AE=4，EG=3，
∴EF=．
故答案为：．
【点评】此题考察了相似三角形的鉴定和性质以及平行四边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

15．（2023•通州区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=　5：3：12　．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．
【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，
∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①
△ANQ∽△CDQ，
∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②
解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC，
∴AP：PQ：QC=5：3：12．
【点评】重要考察了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要纯熟掌握灵活运用．

16．（2023秋•肥西县期末）如图，若∠B=∠DAC，则△ABC∽　△DAC　，相应边的比例式是　==　．

【考点】相似三角形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据两角相应相等的两个三角形相似可解，再根据相似三角形的性质写出相应边的比例式．
【解答】解：在△ABC和△DAC中，
∵∠C=∠C，∠B=∠DAC；
∴△ABC∽△DAC；
∴==
【点评】考察相似三角形的鉴定定理：
（1）两角相应相等的两个三角形相似．
（2）两边相应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
（3）三边相应成比例的两个三角形相似．

17．（2023•牡丹江模拟）如图，将①∠BAD=∠C；②∠ADB=∠CAB；③AB2=BD•BC；④；⑤；⑥中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是　①　，结论是　③或④　．（注：填序号）

【考点】命题与定理．菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形的鉴定和性质进行分析．
【解答】解：由于若∠BAD=∠C，则△ABC∽△DBA，故=，=，
条件是①，结论是③或④．
【点评】解答此题的关键是要熟知真命题与假命题的概念．
真命题：判断对的的命题叫真命题；
假命题：判断错误的命题叫假命题．

18．（2023春•江都市期末）已知：AM：MD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC=　8：5　．

【考点】平行线分线段成比例．菁优网版权所有
【分析】过点D作DF∥BE，再根据平行线分线段成比例，而为公共线段，作为中间联系，整理即可得出结论．
【解答】解：过点D作DF∥BE交AC于F，
∵DF∥BE，
∴△AME∽△ADF，
∴AM：MD=AE：EF=4：1=8：2
∵DF∥BE，
∴△CDF∽△CBE，
∴BD：DC=EF：FC=2：3
∴AE：EC=AE：（EF+FC）=8：（2+3）
∴AE：EC=8：5．

【点评】本题重要考察平行线分线段成比例定理的应用，作出辅助线，运用中间量EF即可得出结论．

19．（2023秋•桐城市校级月考）如图，将三个全等的正方形拼成一个矩形ADHE，则：∠ABE+∠ACE+∠ADE等于　90　度．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】设正方形的边长为1，根据正方形的性质得到∠ABE=45°，BE=，再运用勾股定理计算出CE=，则BE：BD=BC：BE=：2，加上公共角，于是可判断△CBE∽△EBD，则∠BDE=∠BEC，再运用三角形外角性质得∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，然后计算∠ABE+∠ACE+∠ADE．
【解答】解：设正方形的边长为1，
∵四边形AEFB为正方形，
∴∠ABE=45°，BE=，
在Rt△AEC中，AC=2
∴CE==，
∴BE：BD=：2，BC：BE=1：=：2，
∴BE：BD=BC：BE，
而∠CBE=∠EBD，
∴△CBE∽△EBD，
∴∠BDE=∠BEC，
∵∠ABE=∠BEC+∠BCE=45°，
∴∠ABE+∠ACE+∠ADE=45°+45°=90°．
故答案为90．
【点评】本题考察了相似三角形得鉴定与性质：假如两个三角形的两条相应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形相应角相等，相应边的比相等．也考察了勾股定理以及正方形的性质．

20．（2023•连云港一模）一张等腰三角形纸片，底边长为15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第　6　张．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】设第x张为正方形，如图，△ADE∽△ABC，则=，从而计算出x的值即可．
【解答】解：如图，设第x张为正方形，
则DE=3，AM=22.5﹣3x，
∵△ADE∽△ABC，
∴=，
即=，
解得x=6．
故答案为：6．

【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质，等腰三角形的性质以及正方形的性质，注：相似三角形的相应边之比等于相应边上的高之比．

三．解答题（共10小题）
21．如图，D，E分别是AC，AB上的点，．已知△ABC的面积为60cm2，求四边形BCDE的面积．

【考点】相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形的鉴定证△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求出△ADE的面积，相减即可求出答案．
【解答】解：∵，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴=，
∵△ABC的面积为60cm2，
∴△ADE的面积是×60cm2=cm2，
∴四边形BCDE的面积是60cm2﹣cm2=cm2，
答：四边形BCDE的面积是cm2．
【点评】本题重要考核对相似三角形的性质和鉴定的理解和掌握，能纯熟地运用性质进行推理是解此题的关键．

22．（2023春•苏州校级期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高AB．

【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】先鉴定△DEF和△DBC相似，然后根据相似三角形相应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
【解答】解：在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴=，
即=，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m，
即树高5.5m．
【点评】本题考察了相似三角形的应用，重要运用了相似三角形相应边成比例的性质，比较简朴，鉴定出△DEF和△DBC相似是解题的关键．

23．（2023秋•北京校级期中）已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．
求证：CF2=GF•EF．

【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，运用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴=，=，
∴=，
即CF2=GF•EF．
【点评】本题考察了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的相应线段成比例．也考察了平行四边形的性质．

24．平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N．求AM、CN的长．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【分析】根据已知条件，先证明△AEM∽△CED，然后运用相似三角形的相应边成比例这一性质求得AM=AB；再来证明△AFM∽△CFN，依据相似三角形的性质求的CN的长度．
【解答】解：在△AEM和△CED中，
∠CAB=∠DCA（内错角相等），
∠AEM=∠CED，
∴△AEM∽△CED，
∴，
∵AE=EF=FC，
∴=，
∴AM=CD；
∵AB=CD，
∴AM=AB=14，①；
在△AFM和△CFN中，
∠FAM=∠FCN（内错角相等），∠AFM=∠CFN（对顶角相等），
∴△AFM∽△CFN，
∴=2，
∴CN=AM②；
∵AB=28 ③
由①②③解得，CN=7．
【点评】本题重要考察了相似三角形的鉴定定理：两个三角形中，两个相应角相等，则这两个三角形相似，以及相似三角形的性质：相应边成比例．

25．（2023•长沙）如图，A，B，D，E四点在⊙O上，AE，BD的延长线相交于点C，直径AE为8，OC=12，∠EDC=∠BAO．
（1）求证：；
（2）计算CD•CB的值，并指出CB的取值范围．

【考点】切割线定理；相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）证△CDE∽△CAB，再根据相似三角形的性质得到所求的比例式；
（2）根据割线定理即可求得CD•CB的值．根据三角形的三边关系求得BC的取值范围．
【解答】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，
∴∠EDC=∠BAO，∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAB，
∴；

（2）解：
∵直径AE=8，OC=12，
∴AC=12+4=16，CE=12﹣4=8．
又∵=，
∴CD•CB=AC•CE=16×8=128．
连接OB，在△OBC中，OB=AE=4，OC=12，
∴故BC的范围是：8≤BC＜16．

【点评】本题重要考察圆、相似三角形等初中几何的重点知识，考察学生的几何论证能力，属于中档难度题．

26．（2023•潍坊）已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC．取AB的中点F，连接FD交AC于点E．
（1）求的值；
（2）若AB=a，FB=EC，求AC的长．

【考点】三角形中位线定理；平行线分线段成比例；相似三角形的鉴定与性质．菁优网版权所有
【分析】（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到AE，CE与FM之间的关系，得到它们的比值；
（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解．
【解答】解：（1）过点F作FM∥AC，交BC于点M，
∵F为AB的中点，
∴M为BC的中点，FM=AC．
∵FM∥AC，
∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．
∴△FMD∽△ECD．
∴．
∴EC=FM=×AC=AC．
∴．

（2）∵AB=a，
∴FB=AB=a．
∵FB=EC，
∴EC=a．
∵EC=AC，
∴AC=3EC=a．

【点评】此类题要注意作平行线，可以根据平行线分线段成比例定理和相似三角形相应边成比例即可求得线段的比．

27．如图△ABC中，边BC=60，高AD=40，EFGH是内接矩形，HG交AD于P，设HE=x，
（1）求矩形EFGH的周长y与x的函数关系式；
（2）求矩形EFGH的面积S与x的函数关系式．

【考点】相似三角形的鉴定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【分析】（1）根据矩形的性质得到HG∥BC，PD=x，AP=AD﹣x=40﹣x，再三角形三角形相似的鉴定得到△AHG∽△ABC，运用相似比可表达出HG=（40﹣x），然后根据矩形的周长拟定y与x的关系；
（2）根据矩形的面积公式求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，四边形EFGH是矩形，
∴HG∥BC，PD=x，AP=AD﹣x=40﹣x，
∴△AHG∽△ABC，
∴=，即=
∴HG=（40﹣x），
∴y=2HE+2HG=2x+2×（40﹣x）=2x+120﹣3x=120﹣x（0＜x＜40）；

（2）S=HE•HG=x•（40﹣x）=﹣x2+60x（0＜x＜40）．
【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形相应角相等，相应边的比相等．也考察了矩形得性质．

28．（2023•丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．假如P、Q同时出发，用t（秒）表达移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为什么值时，△POQ与△AOB相似．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）根据P、Q的速度，用时间t表达出OQ和OP的长，即可通过三角形的面积公式得出y，t的函数关系式；
（2）先根据（1）的函数式求出y最大时，x的值，即可得出OQ和OP的长，然后求出C点的坐标和直线AB的解析式，将C点坐标代入直线AB的解析式中即可判断出C是否在AB上；
（3）本题要分△OPQ∽△OAB和△OPQ∽△OBA两种情况进行求解，可根据各自得出的相应成比例相等求出t的值．
【解答】解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6﹣t．
∴y=×OP×OQ=×t（6﹣t）=﹣t2+3t（0≤t≤6）；

（2）∵y=﹣t2+3t，
∴当y有最大值时，t=3
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．
∴点C的坐标为（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6
当x=3时，y=≠3，
∴点C不落在直线AB上；
（3）
①若△POQ∽△AOB时，，即，12﹣2t=t，∴t=4．
②若△POQ∽△BOA时，，即，6﹣t=2t，∴t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合题意，
∴当t=4或t=2时，△POQ与△AOB相似．
【点评】本题重要考察了直角三角形的性质、图形的翻折变换、相似三角形的鉴定和性质等知识点．要注意（3）题要根据不同的相似三角形分类进行讨论．

29．（2023秋•安岳县期末）如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．若Q、P分别同时从B、C出发，试探究通过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？

【考点】相似三角形的鉴定．菁优网版权所有
【分析】此题要根据相似三角形的性质设出未知数，即通过x秒后，两三角形相似，然后根据速度公式求出他们移动的长度，再根据相似三角形的性质列出分式方程求解．
【解答】解：设通过x秒后，两三角形相似，则CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）
∵∠C=∠C=90°，
∴当或时，两三角形相似．（3分）
（1）当时，，∴x=；（4分）
（2）当时，，∴x=．（5分）
所以，通过秒或秒后，两三角形相似．（6分）
【点评】本题综合考察了路程问题，相似三角形的性质及一元一次方程的解法．

30．如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）当t为什么值时，△EOP与△BOA相似．

【考点】相似形综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）先根据A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30）得出OA及OB的长，再由EF∥x轴得出EF是△BOA的中位线，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）用t表达出OE及OP的长，再分△EOP∽△BOA与△EOP∽△AOB两种情况进行讨论．
【解答】解：（1）∵A、B两点的坐标分别为（40，0），（0，30），
∴OA=40，OB=30．
∵动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴t=15时，BE=30﹣15=15，
∵EF∥x轴，
∴EF是△BOA的中位线，
∴EF=OA=20，
∴S△PEF=EF•OE=×20×15=150；

（2）∵动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平行移动（即EF∥x轴），
∴OE=t，OP=40﹣2t，
∴当△EOP∽△BOA时，=，即=，解得t=12（秒）；
当△EOP∽△AOB时，=，即=．解得t=（秒）．
综上所述，当t=12秒或t=秒时，△EOP与△BOA相似．
【点评】本题考察的是相似形综合题，涉及到三角形中位线定理、三角形的面积公式及相似三角形的鉴定与性质等知识，在解答（2）时要注意进行分类讨论．
　单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达成内容的完善
教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。