基本不等式经典例题(学生用)复习课程.doc

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基本不等式
知识点：
1. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
2. (1)若，则 (2)若，则 （当且仅当时取“=”）
(3)若，则 (当且仅当时取“=”）
3.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
4.若，则 (当且仅当时取“=”）若，则 (当且仅当时取“=”）
5.若，则（当且仅当时取“=”）
注意：
(1) 当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，
当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用
应用一：求最值
例：求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋

技巧一：凑项
例 已知，求函数的最大值。

技巧二：凑系数
例： 当时，求的最大值。

变式：设，求函数的最大值。

技巧三： 分离换元
例：求的值域。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数的单调性。
例：求函数的值域。

技巧六：整体代换（“1”的应用）
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。
例：已知，且，求的最小值。

技巧七
例：已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

技巧八：
已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

技巧九、取平方
例: 求函数的最大值。
应用二：利用均值不等式证明不等式
例：已知a、b、c，且。求证：

应用三：均值不等式与恒成立问题
例：已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：
例：若
，则的大小关系是 .

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