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高速变焦液体透镜理论建模与分析

摘要：本文针对固着液滴进行了理论建模分析，通过利用Rayleigh液滴模型进行理论建模，并且应用Matlab软件对理论建模方程进行拟合求解，得出了凸出球冠的高度对透镜固有频率影响关系以及液滴透镜的质心运动规律。通过对液体透镜理论建模和拟合分析结果，为进一步分析液体透镜的动力学特性提供了詳细的理论指导。
关键词：液体透镜；Rayleigh液滴模型；动力学分析；Matlab拟合
1.介绍
随着社会的发展，通过改变液滴表面曲率或多种液体的交界面曲率达到改变焦距的液体变焦透镜[1]逐渐走入了人们的视野之中，其中利用声学激发液滴自振来改变液滴表面曲率的方式更是成为大大提高液体透镜拍摄速度的最具有前景的方法之一[2]。因此，研究液体透镜的理论建模及其工艺方法具有至关重要的工程应用意义。
本文对基于高频声波驱动的高速变焦液体透镜进行研究，主要研究了高速变焦液体透镜的理论建模过程，结合Matlab软件对理论建模方程进行仿真拟合，研究液体透镜的质心振荡规律和工艺影响参数。
2.高速变焦液体透镜理论建模
2.1 液滴固有频率理论方程
目前，研究液滴的振动在流体力学中成为热门的研究方向，其中Lord Rayleigh在1879推导出非黏性液滴子在无束缚的情况下，微小振幅振动时的固有频率和振型[3]。液滴固有频率公式为：
（2.1）
公式中， 表示表面张力系数， 分别表示液滴内外侧的液滴密度，表示球形液滴曲率半径。勒让德多项式（ ）可以用来表示液滴在径向方向的变形。
假定凸出球冠表面曲率半径是R、液体内部为无旋流动、同时液体具有非黏性以及不可压缩。由于液体透镜可注入液体体积量极其微小，重力对液体初始和工作状态的影响很小，在理论分析中做忽略考虑，同时液体透镜为对称结构。
2.2液滴动力学方程
圆柱管道内液滴上下对称振动过程中，球冠曲率变化趋势呈线性变化，假定f为球冠表面曲率，则f与液滴在径向方向的速度可表示：
（2.2）
假定透镜圆形孔周围为 。因为透镜基板的材料选用聚四氟乙烯，因此在孔的周围具有好的疏水特性，即透镜周围区域速度是零，其方程为：
（2.3）
2.3液滴的边界条件
球冠液滴里面、外面的压力的差值以及表面张力使液体透镜处于稳定状态，另外，pi、pe的差值和球冠的表面半径为反比。则球冠的pi、pe可用伯努利方程表示：
其中， 表示球冠表面局部的变形曲率[4]：
由于液体的体积不变和液体不可压缩，因此球冠的振动可用方程（2.11）表示：
（2.6）
3.高速变焦液体透镜的理论模拟分析
通过以上公式推导及计算，可以求解出液体透镜的质心变化量、共振频率的大小、振幅大小等参数的关系，并拟合参数变化曲线。由液滴固有频率公式2.1可以看出，由液体体积不变以及平移不变性能够得出，当n=1时，即液体1阶共振频率是0。Strani和Sabetta通过理论推导及实验分析，验证了当n=1时，液体透镜呈现质心的简谐运动，并通过假设求出固有频率。本文中，假设透镜上下球冠与基板的接触面为一个点时，液体透镜固有频率基本符合瑞利理论模型。图2.3即为运用MATLAB软件对式（2.6）拟合后的曲线。
上图直线是相对应每一阶的瑞利固有频率，并用R表示，如图2.3所示。根据图2.3所示，可以看出时，呈现完全不同的规律，并且具有明显的周期规律。其中在n=2、n=3阶可以发现固有频率最大值出现在附近；在n=4阶可以发现液体透镜在μ=0.4和μ=0.7附近时会出现两个不同的固有频率。另外从图2.3可以发现液体透镜理论模型最大变焦速率可达275Hz。但从图可知，在五阶模态时候，振动剧烈，球冠表面会出现多个顶点[5]-[6]，对后续的成像检测没有研究意义，因此后面把研究重点放在分析1-4阶模态上。
4.结论
通过建立的高速变焦液体透镜理论数学模型，并提出采用计算质心改变量以及液体球冠的振幅变化量的和对球冠表面顶点的位移改变量的公式进行推导。本章采用此方法把高速变焦液体透镜的共振频率和声源激励频率结合起来，模拟凸出球冠的高度与液滴固有频率之间的关系曲线。得出采用增大球冠高速或者减小圆孔直径的方法提高变焦液体透镜的固有频率，通过采用外界声源激励可以达到高速变焦液体透镜的固有频率，并基于共振原理进行液滴动力学实验。由于本章理论分析中简化了一定的参数，在高阶次会存在较大的偏差，本文对于液体透镜的理论建模方法仅局限于低阶次模态分析，在高阶次模态中液体面形振动将比较剧烈。
参考文献
[1] Gan Yu， Xiaolin Chen， and Jie Xu .Acoustophoresis in Variously Shaped Liquid Droplets[J].Mechanical Engineering， Washington State University， Vancouver， WA， 98686， USA.
[2] L. Rayleigh， On the capillary phenomenon of jets[J] Proc. R. Soc. London. 1879， 29， 71.
[3] Bostwick J B，Steen P H.Coupled oscillations of deformable spherical-cap droplets. Part 1. Inviscid motions[J].Journal of Fluid Mechanics，2013，714：312～335
[4] 鄢振麟，解文军，沈昌乐等.声悬浮液滴的表面毛细波及八阶扇谐振荡[J].物理学报，2011，06：414～420

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