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用列表法、树状图法求概率

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用列表法、树状图法求概率有招
刘琛
概率问题是中考中的热点问题，与概率有关的题目形式多样,但其中最主要的是考查利用列表法或树状图法求随即事件的概率.而利用列表法或树状图法求随即事件的概率,关键要注意以下三点：
（1）注意各种情况出现的可能性务必相同；（2）其中某一事件发生的概率=；（3）在考察各种情况出现的次数和某一事件发生的次数时不能重复也不能遗漏．(4)用列表法或树状图法求得概率是理论概率，而实验估计值是频率，它通常受到实验次数的影响而产生波动，因此两者不一定一致，实验次数较多时，频率稳定于概率，但并不完全等于概率．
例1 田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌各有上、中、下三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强．有一天，齐王要与田忌赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强.
(1). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？
(2). 如果齐王将马按上中下的顺序出阵，而田忌的马随机出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写出双方对阵的所有情况）
分析：正确理解题意，将齐王和田忌的马正确排列，而后恰当列表．
解：（1）由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，当齐王的马按上、中、下顺序出阵时，田忌的马按下、上、中的顺序出阵，田忌才能取胜．
(2).当田忌的马随机出阵时，双方马的对阵情况如下表：

齐王的马
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
上中下
田忌的马
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上

双方马的对阵中，只有一种对阵情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率 P=．
例2 “石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时甲、乙双方每次出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势中一种，规定“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、“布”胜“石头”，同样手势不分胜负，假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树状图或列表的方法分别求出一次游戏中两人同种手势的概率和甲获胜的概率．（提示：为书写方便，解答时可以用S表示“石头”，用J表示“剪刀”，用B表示“布”）
解析：解法一：一次游戏、甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下图：

所有可能出的结果：（S，S）（S，J）（S，B）（J，S）（J，J）（J，B）（B，S）（B，J）（B，B）
从上面的树状图可以看出，一次游戏可能出现的结果共有9种，而且每种结果出现的可能性相同．
所以，P（出同种手势）==
P（甲获胜）==
解法二：一次游戏，甲、乙两人随机出手势的所有可能的结果如下表：
乙出的手势

甲出的手势

S
J
B
S
（S，S）
（S，J）
（S，B）
J
（J，S）
（J，J）
（J，B）
B
（B，S）
（B，J）
（B，B）

以下同解法一
评注：（1）利用列表法、树状图法求概率必须是等可能事件.
（2）对各种可能出现的情况不能遗漏或重复某种可能.
例3.有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：
1
2
3
4
5
6
A
B

①分别转动转盘A、B；
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停止在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
(1).用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和数字之积为5的倍数的概率；
(2).小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分，这个游戏对双方公平吗？请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏对双方公平．
解析：（1）每次游戏可能出现的所有结果列表如下：
转盘B的数字

积

转盘A的数字

4
5
6
1
4
5
6
2
8
10
12
3
12
15
18

表格中共有9种等可能的结果，其中数字之积为3的倍数的有五种，数字之积为5的倍数的有三种，所以P（3的倍数）=；P（5的倍数）．
（2）这个游戏对双方不公平
∵小亮平均每次得分为2×=（分），
小芸平均每次得分为3×==1（分）．
∵≠1，∴游戏对双方不公平．
修改得分规定为：若数字之积为3的倍数时，小亮得3分；若数字之积为5的倍数时，小芸得5分即可．

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