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圆性质及基本概念

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圆性质及基本概念
一基本概念
1．定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点称为圆心，定长称为半径；圆O记作ʘO．
2．相关概念：
（1）弧：半圆、优弧、劣弧：（2）弦：直径（3）弦心距：
（4）圆心角：（5）圆周角： （在同圆或等圆中5要素知道一可推得其他都相等）
二重要定理
垂径定理：
垂直于弦的直径,平分弦并且平分弦所对的优弧和劣弧．
推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的优弧和劣弧．
垂径定理推论一：对于一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任何两个，那么也具有其它三个：①垂直于弦，②过圆心，③平分弦，④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧。（当以、②③为题设时，“弦”不能是直径。）

相关定理
圆周角定理：
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

圆周角定理推论：
1．直径所对的圆周角是90°，90°圆周角所对弦是直径.
2．同（等）弧所对的圆周角相等；
同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等；

三点定圆定理：
三点定圆定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.

三角形的外心与内心

一概念练习
1已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，则AB、CD之间的距离为（ ）
A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm
2下列四个命题：
①直径是弦；
②经过三个点一定可以作圆；
③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；
④半径相等的两个半圆是等弧．
其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
④ AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，
④∠AEO=∠C，⑤ =
正确结论的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5

二基础证明题
1如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．

2、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证： AC = BD。

⌒
⌒
3如图，已知，在□ABCD中，以A为圆心，AB为半径作圆，交AD于G， BA的

延长线交⊙O于E，求证：EF = FG。

4、如图，在⊙O中，点O是∠BAC的平分线上的一点，求证：AB = AC。

5 . 如图，在△ABC中，∠B = Rt∠，∠A = 600，以点B为圆心，AB为半径画圆，交AC于点D,交BC于点E．求证： (1) AD = 2ED: ( 2 ) D是AC的中点．

三垂径定理计算习题
1、 (南京市)如图2，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E， GB＝8cm，AG＝1cm，DE＝2cm，则EF＝ cm .

2、 矩形ABCD的边AB过⊙O的圆心，E、F分别为AB、CD与⊙O的交点，若AE=3cm，
AD=4cm，DF=5cm，则⊙O
的直径为多少？

3．如图AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB于O，交AC于D，OD=2，∠A=30°,求CD。
·
B
A
C
D
O

4.如图所示，⊙O的半径为，AB是⊙O的直径，半径CO⊥AB,P为CO的中点，则BD=

E
O
D
C
B
A
5．如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则＝（ ）
A、28 B、26
C、18 D、35

6、 如图，弦CD⊥AB于P，AB=8，CD=8，⊙O半径为5，则OP长为________。

7、如图15，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧BA等于弧AF，BF与AD交于E，求证：（1）AE＝BE，（2）若A，F把半圆三等分，BC＝12，求AE的长。

8如图，Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB、AD的长。

9、如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC的平分线交BC于D，交⊙O于E，且AC＝6，AB＝8，求CE的长。

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