平行线的性质与判定典型例题上课讲义.doc

平行线的性质与判定典型例题

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1．如图，CD平分∠ECF，∠B＝∠ACB，求证：AB∥CE．

证明：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF，
∵∠ACB＝∠DCF，
∴∠ECD＝∠ACB，
又∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ECD，
∴AB∥CE．
2．如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝15°，∠2＝15°，AE与BF平行吗？为什么？

解：AE∥BF．
理由如下：
因为AC⊥AE，BD⊥BF（已知），
所以∠EAC＝∠FBD＝90°（垂直的定义）．
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠EAC+∠1＝∠FBD+∠2（等式的性质），
即∠EAB＝∠FBG，
所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）．
3．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，F是BC延长线上一点，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF．

证明：∵∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，
∴∠DBC＝∠ECB．
∵∠DBC＝∠F，
∴∠ECB＝∠F，
∴EC∥DF．
4．如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，∠1＝∠2，求证：DC∥AB．

证明：∵DE、BF分别是∠ABC，∠ADC的角平分线，
∴∠3＝∠ADC，∠2＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DC∥AB．
5．如图所示，∠B＝25°，∠D＝42°，∠BCD＝67°，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．

解：AB∥ED，
理由：如图，过C作CF∥AB，

∵∠B＝25°，
∴∠BCF＝∠B＝25°，
∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°，
又∵∠D＝42°，
∴∠DCF＝∠D，
∴CF∥ED，
∴AB∥ED．
6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

解：BC∥AD．理由如下：
∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，
∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC．
7．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：EF∥CD．

证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义），
∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠DCA，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）①若∠DCB＝45°，则∠ACB的度数为　135°．
②若∠ACB＝140°，则∠DCE的度数为　40°　．
（2）由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．
（3）当∠ACE＜90°且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

解：（1）①∵∠DCE＝45°，∠ACD＝90°
∴∠ACE＝45°
∵∠BCE＝90°
∴∠ACB＝90°+45°＝135°
故答案为：135°；
②∵∠ACB＝140°，∠ECB＝90°
∴∠ACE＝140°﹣90°＝50°
∴∠DCE＝90°﹣∠ACE＝90°﹣50°＝40°
故答案为：40°；

（2）猜想：∠ACB+∠DCE＝180°
理由如下：∵∠ACE＝90°﹣∠DCE
又∵∠ACB＝∠ACE+90°
∴∠ACB＝90°﹣∠DCE+90°＝180°﹣∠DCE
即∠ACB+∠DCE＝180°；

（3）30°、45°．
理由：当CB∥AD时，∠ACE＝30°；
当EB∥AC时，∠ACE＝45°．

9．已知：DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：CF∥DO．

证明：∵DE⊥AO，BO⊥AO，
∴∠AED＝∠AOB＝90°，
∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），
∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等），
∵∠EDO＝∠CFB，
∴∠BOD＝∠CFB，
∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．
10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：AD∥BC．

证明：∵∠E＝∠F，
∴AE∥CF，
∴∠A＝∠ADF，
∵∠A＝∠C，
∴∠ADF＝∠C，
∴AD∥BC．
11．已知：如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：∠BEF+∠DFE＝180°．

解：∵EG∥HF
∴∠OEG＝∠OFH，
∵∠1＝∠2
∴∠AEF＝∠DFE
∴AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°．
12．如图，AB∥CD，∠B＝70°，∠BCE＝20°，∠CEF＝130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

解：AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠B＝70°，
∴∠BCD＝70°，（等量代换）
∵∠BCE＝20°，
∴∠ECD＝50°，
∵CEF＝130°，
∴∠E+∠DCE＝180°，
∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）
∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）

13．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．

证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC+∠ACB＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，
又∵∠EFC＝140°，
∴∠BCF+∠EFC＝180°，
∴EF∥BC，
∵AD∥BC，
∴EF∥AD．

14．完成下列推理过程：
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B
求证：∠EDG+∠DGC＝180°
证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）
∠1+∠DFE＝180°（　邻补角定义　）
∴∠2＝　∠DFE　（　同角的补角相等　）
∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　）
∴∠3＝　∠ADE　（　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴∠B＝∠ADE（　等量代换　）
∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠EDG+∠DGC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）

15．已知：如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°，求∠EDB的大小．
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：∵BE∥GF（已知）
∴∠2＝∠3（　两直线平行同位角相等　）
∵∠1＝∠3（　已知　）
∴∠1＝（　∠2　）（　等量代换　）
∴DE∥（　BC　）（　内错角相等两直线平行　）
∴∠EDB+∠DBC＝180°（　两直线平行同旁内角互补　）
∴∠EDB＝180°﹣∠DBC（等式性质）
∵∠DBC＝（　70°　）（已知）
∴∠EDB＝180°﹣70°＝110°

16．如图，已知：E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：
（1）AF∥ED；
（2）∠BED＝∠A；
（3）∠1＝∠2

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠AFC，
∵∠A＝∠D，
∴∠AFC＝∠D，
∴AF∥ED；
（2）证明：∵AF∥ED，
∴∠BED＝∠A；
（3）证明：∵AF∥ED，
∴∠1＝∠CGD，
又∵∠2＝∠CGD，
∴∠1＝∠2．
17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．
求证∠A＝∠F
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠2＝∠DGF（　对顶角相等　）
∴∠1＝∠DGF（等量代换）
∴　BD　∥　CE　（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠3+∠　C　＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）
又∵∠3＝∠4（已知）
∴∠4+∠C＝180°（等量代换）
∴　AC　∥　DF　（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）

18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组，且CD∥EF，AC⊥AE．
（1）求∠α和∠β的度数．
（2）求∠C的度数．

解：（1）解方程组，
得．

（2）∵∠α+∠β＝55°+125°＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠C+∠CAB＝180°，
∵AC⊥AE，
∴∠CAE＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°﹣55°＝35°．

19．如图，直线a∥b，∠1＝45°，∠2＝30°，求∠P的度数．

解：
过P作PM∥直线a，
∵直线a∥b，
∴直线a∥b∥PM，
∵∠1＝45°，∠2＝30°，
∴∠EPM＝∠2＝30°，∠FPM＝∠1＝45°，
∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°+45°＝75°，
20．如图，AB∥CD，∠A＝60°，∠C＝∠E，求∠E．

解：∵AB∥CD，∠A＝60°，
∴∠DOE＝∠A＝60°，
又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，
∴∠E＝∠DOE＝30°．
21．如图，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？为什么？

解：∠BAC＝∠DCA，
理由：∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°，
∴∠CFE+∠1＝180°，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠B，
∵∠B＝∠3，
∴∠3＝∠AEF，
∴AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：∵∠1＝∠C，（已知）
∴　GD　∥　AC　，（　同位角相等，两直线平行　）
∴∠2＝　∠DAC　． （　两直线平行，内错角相等　）
又∵∠2+∠3＝180°，（已知）
∴∠3+　∠DAC　＝180°．（等量代换）
∴　AD　∥　EF　，（　同旁内角互补，两直线平行　）
∴∠ADC＝∠EFC． （　两直线平行，同位角相等　）
∵EF⊥BC，（已知）
∴∠EFC＝90°，∴∠ADC＝90°，
∴　AD　⊥　BC　．

23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AB∥DE；
（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？并说明理由．

解：（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠A+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
∴AB∥DE．

（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；
如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；
如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，
∴PG∥DE，
∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，
∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．
24．已知：如图，FE∥OC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．
（1）求证：AB∥DC；
（2）若∠B＝30°，∠1＝65°，求∠OFE的度数．

（1）证明：∵FE∥OC，
∴∠1＝∠C，
∵∠1＝∠A，
∴∠A＝∠C，
∴AB∥DC；

（2）解：∵AB∥DC，
∴∠D＝∠B，
∵∠B＝30°
∴∠D＝30°，
∵∠OFE是△DEF的外角，
∴∠OFE＝∠D+∠1，
∵∠1＝65°，
∴∠OFE＝30°+65°＝95°．
25．（2018秋•牡丹区期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．

证明：（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD＝∠1，
∵∠1+∠2＝180°，
∴∠2+∠BAD＝180°，
∴AD∥EF；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，
∴∠1＝30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC＝∠1＝30°，
∵AB∥DG，
∴∠B＝∠GDC＝30°．
26．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：AD平分∠BAC吗？若平分，请说明理由．

平分．
证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）
∴∠ADC＝∠EGC＝90°，（垂直的定义）
∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠3，（两直线平行，内错角相等）
∠E＝∠1，（两直线平行，同位角相等）
又∵∠E＝∠3（已知）
∴∠1＝∠2（等量代换）
∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．
27．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°，∠CBF＝20°，∠EFB＝130°．
（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系？并说明理由；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．

解：（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：
∵EF∥AB，∠EFB＝130°，
∴∠ABF＝180°﹣130°＝50°，
又∵∠CBF＝20°，
∴∠ABC＝70°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠DCB＝∠ABC，
∴CD∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB，
∴EF∥CD，
∵∠CEF＝70°，
∴∠ECD＝110°，
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，
∴∠ACB＝40°．

28．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：
证明：∵BD是∠ABC的平分线（已知）
∴∠1＝∠2（角平分线定义）
∵ED∥BC（已知）
∴∠5＝∠2（　两直线平行，内错角相等　）
∴∠1＝∠5（等量代换）
∵∠4＝∠5（已知）
∴EF∥　BD　（　内错角相等，两直线平行　）
∴∠3＝∠1（　两直线平行，同位角相等　）
∴∠3＝∠4（等量代换）
∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）

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