排列数、组合数公式及二项式定理的应用说课讲解.doc

排列数、组合数公式及二项式定理的应用

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排列数、组合数及二项式定理整理
慈济中学全椒 刘

1、排列数公式
==.(，∈N*，且)．
2、排列恒等式
(1);(2);(3); (4);
(5).(6) .
3、组合数公式
===(∈N*，，且).
4、组合数的两个性质
(1)= ; (2) +=.
5、排列数与组合数的关系
.
6、二项式定理：

【注】：
1．基本概念：
①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。
②二项式系数:展开式中各项的系数.
③项数：共项，是关于与的齐次多项式
④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。
2．注意关键点：
①项数：展开式中总共有项。
②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。
③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.
④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。
3．常用的结论：
令
令
4．性质：
①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···
②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，
变形式。
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
在二项式定理中，令，则，
从而得到：
④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。
⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别
为，设第项系数最大，应有，从而解出来。

7、组合数公式的应用:
公式1 +++……+=
此公式可由下面方法推得
从个不同元素中取出个不同元素的组合数为先将其分为个元素中不含其中一个元素的和含元素的两类而这两类的组合数分别为与即得=+，依此再将组合数分为两类可得=+，不断将组合数上标为的项进行如此分类即得公式1。
公式2 .+.+.+……+= 此公式可由下面方法推得。
从放在一个盒中的m个不同黑球与n个不同白球中任取出k的球的方法种数为，将取出的k个球按所含白球数分类，分为含白球数为0个，1个，2个….k个共k+1类，取法种数分别为.，.，.，……，即得公式2。下面举例说明以上两个公式在数列求和方面的应用。
例1 =1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1) 求
解：1×2+2×3+3×4+….. +n×(n+1)= 2(+++…+)
∴=2=
例2 求=12+22+32+……+n2
解：∵= ∴2=n2+n
∴2（+++…+）=+
∴2=+ 得=+
整理得=
例3求=13+23+33+……+n3
解：∵= ∴6=n3+3n2+2n
6（+++…+）=+3+2
∴6=+3+2 解出并整理得
= 用类似的方法可求出an=n4，an=n5，…的和。
例4 一盒内有大小相同的黑球M个，白球N个，从中任取m个球（m≤M，m≤N），求含有白球的个数ξ的数学期望。
解：由题意ξ的所有可能取值为0，1，2，….，m。分布列为：
ξ
0
1
2
……
m-1
m
p

……

∴Eξ=（+2+…+（m-1）+m）
Eξ=（++…++）
Eξ=（++…++）(∵=)
∴Eξ===（此为超几何分布的数学期望）
8、二项式定理的应用：
题型一：二项式定理的逆用；
例：
解：与已知的有一些差距，

练：
解：设，则
题型二：利用通项公式求的系数；
例：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？
解：由条件知，即，，解得，由
，由题意，
则含有的项是第项,系数为。
练：求展开式中的系数？
解：，令,则
故的系数为。
题型三：利用通项公式求常数项；
例：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：求二项式的展开式中的常数项？
解：，令，得，所以
练：若的二项展开式中第项为常数项，则
解：，令，得.
题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
例：求二项式展开式中的有理项？
解：，令,()得，
所以当时，，，
当时，，。
题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
例：若展开式中偶数项系数和为，求.
解：设展开式中各项系数依次设为
,则有①，,则有②
将①-②得：
有题意得，，。
练：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。
解：，，解得
所以中间两个项分别为，，
题型六：最大系数，最大项；
例：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？
解：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。
练：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？
解：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。
练：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？
解：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于
例：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？
解：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。
例：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
解：由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有
例：在（的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，
故此答案为第4项，和第5项。
练：在的展开式中系数最大的项是多少？
解：假设项最大，
，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为
题型七：含有三项变两项；
例：求当的展开式中的一次项的系数？
解法①：，，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为
它的系数为。
解法②：
故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.
练：求式子的常数项？
解：，设第项为常数项，则，得,, .
题型八：两个二项式相乘；
例：
解：

.
练：
解：

.
练：
解：

题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；
例：
解：

题型十：赋值法；
例：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若
,则等于多少？
解：若，有，，
令得，又,即解得，.
练：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？
解：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.
例：
解：

练：
解：

题型十一：整除性；
例：（02潍坊模拟）求证：能被7整除。
证明：
=
=
=49P+（）
又
=（7+1）
=
=7Q（Q）

能被7整除。
例：证明：能被64整除
证：

由于各项均能被64整除
题型十二：利用二项式定理求近似值
例15．求的近似值，使误差小于；
分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。
解：==
，
且第3项以后的绝对值都小于，
从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
==
小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：。
作业：1、求的展开式；
解：原式==
=
=
=
2、计算；
解：原式=
3、（03全国）展开式中的系数是 ；
解：==
令则，从而可以得到的系数为：
，填
4、（02全国）的展开式中，项的系数是 ；
解：在展开式中，的来源有：
① 第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为
的系数应为：填。
5、（04安徽改编）的展开式中，常数项是 ；
解：
上述式子展开后常数项只有一项，即
6、（00京改编）求（的展开式的中间项；
解：展开式的中间项为
即：。
当为奇数时，的展开式的中间项是和；
当为偶数时，的展开式的中间项是。
7、（00京改编）求的展开式中有理项共有 项；
解：
当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
8、（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
解：
要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为
9、求展开式中系数最大的项；
解：记第项系数为，设第项系数最大，则有
又，那么有

即

解得，系数最大的项为第3项和第4项。
9、 （99全国）若，
则的值为 ；
解：
令，有，
令，有
故原式=
==
10、 （04天津）若，
则 ；
解：，
令，有
令，有
故原式==
11设，
则 ；
解：

==0

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