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条件资产定价模型及其检验

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条件资产定价模型及其检验

肖俊喜1 王庆石2
（辽宁大连 东北财经大学，1数量经济系，2国际商学院，116025）

摘要：本文在随机贴现因子框架下论述了条件资产定价理论模型及其检验方法，并证明了条件资产定价模型随机贴现因子表示法与贝塔表示法的等价性。条件资产定价模型检验关键是如何使用条件变量和工具变量将条件资产定价模型转化为无条件资产定价模型进行参数估计（GMM和Hansen-Jagannathan距离法）和非参数估计。

关键词：条件资产定价模型 随机贴现因子 （非）参数估计

一、引言

风险与收益之间关系一直是金融经济学家和投资界研究的热点和难点，经过他们不懈地努力已建立了大量资产定价模型，但至今仍旧未能完全解决这个难题。尽管夏普(Sharpe)(1964)、林特纳(Lintner)（1965）与莫辛(Mossin)(1965)形式的静态资本资产定价模型（CAPM）是战后金融经济学三个重要理论贡献之一，已成为金融经济学理论支柱，但是近来经验证据表明了CAPM模型并不能解释股票组合期望收益截面变化（Fama与French，1992）。对静态CAPM模型一个重要批判就是它的静态设定在计算资产风险时没有考虑到时变的投资机会集的作用。为此，金融经济学家提出了具有时变的贝塔和风险溢价的条件资产定价模型。本文在论述条件资产定价模型理论和检验方法基础上还展望了条件资产定价模型在我国股市应用前景。本文余下部分组织如下：在第二部分，在随机贴现因子框架下给出了条件资产定价理论。在第三部分，论述了估计和检验条件资产定价模型的方法——参数估计和非参数估计。在第四部分，展望了条件资产定价模型在我国股市应用前景。

二、条件资产定价理论

(一) 条件资产定价与无条件资产定价
1. 条件资产定价模型与无条件资产定价模型
Lucas(1978)与Breeden(1979)在具有同质的消费者的纯交换经济下推导出具有代表性投资者或消费者在跨期非线性预算约束下追求个人消费效用最大化的一阶条件或欧拉方程是
(1)
其中，与分别是资产或组合在时刻与的价格；是资产或组合从时刻到的红利；是代表性投资者或消费者在时刻的消费；可加的时间可分离的效用函数是消费连续的严格递增的二次可微凹函数；是效用函数关于消费的一阶倒数，即；()是时间贴现因子，较小的意味着代表性投资者或消费者给予未来消费效用较小的权重；表示该投资者或消费者在时刻所获得的信息集。
欧拉方程(1)表示了最优化问题充要条件：方程左边意味着如果代表性投资者在时刻放弃单位消费投资于资产或组合，那么该投资者边际消费效用损失为；方程右边意味着代表性投资者在时刻消费其所获得的总收益，那么该投资者边际消费效用增加为。代表性投资者或消费者买或卖资产直到边际消费效用增加等于边际消费效用损失。
由方程(1)，便有
(2)
和
(3)
其中，是在时刻所获得的信息的条件期望算子；被称为随机贴现因子、或市场定价核、或状态价格缩减因子、或跨期消费替代率；是资产或组合在时刻的总收益。
在金融经济学中，方程(2)和(3)被称为条件资产定价基本方程，因为由方程(2)和(3)在一定假设条件下可推导出任何资产（包括股票、债券、期权、期货及其其他衍生工具等）的定价公式(Cochrane，2001)。实际上，条件资产定价理论是根据条件矩描述资产价格的。如果将累期望法则作用于方程(2)和(3)，那么便得到无条件资产定价基本方程，即
(4)
和
(5)
条件资产定价模型与无条件资产定价模型根本区别在于投资者使用时刻的信息集形成预期的设定。无条件资产定价模型假定价格是根据未来收益联合分布无条件估价而设置的，简单地取历史收益平均值估计期望收益。相反，条件资产定价模型意味着投资者具有关于未来收益联合概率分布的时变预期，使用时刻的可获得的信息集，构造在时刻的已实现的收益条件估计值。当这两个方法都用来解释期望收益截面变化时，只有条件资产定价模型才能捕捉到期望收益的时间序列特征。无条件资产定价模型提出不同资产平均收益之差可用平均风险进行解释，假设期望收益不变，没有时间序列特征。条件资产定价模型预测条件风险之差决定了条件期望收益之差，但隐含着期望收益随条件风险以及时变的风险溢价而变化。

2. 均值-方差（有效）边界
条件均值-方差（有效）边界被定义为给定使最小的收益的集合；无条件均值-方差（有效）边界被定义为给定使最小的收益（包括管理组合的收益）的集合。如果收益在无条件均值-方差（有效）边界上，那么它也在条件均值-方差（有效）边界上；但是如果收益在条件均值-方差（有效）边界上，那么它未必在无条件均值-方差（有效）边界上。由此可知，条件均值-方差有效收益（条件资产定价模型）不必无条件地定价固定加权组合。经验上，检验无条件资产定价模型（例如，静态CAPM模型）就是检验无条件期望收益和贝塔敏感性；也就是说，无条件资产定价模型的经验检验是检验特定的组合是否是无条件均值-方差有效的。而条件资产定价模型的经验检验是检验条件期望收益、时变的风险溢价和时变的贝塔敏感性；也就是说，条件资产定价模型的经验检验是检验特定的组合是否是条件均值-方差有效的。

（二） 随机贴现因子模型和多贝塔条件资产定价模型
Cochrane(2001)已证明了随机贴现因子模型和贝塔定价模型是两个从不同角度表述同样一件事的模型。但现在许多学者喜欢在随机贴现因子框架下研究资产定价，这是因为随机贴现因子模型更一般，它（在一定假设条件下）包括了所有其他常见的资产定价公式。下文简单地研究随机贴现因子模型和多贝塔条件资产定价模型两者之间关系。
多贝塔条件资产定价模型
(6)
其中，系数是资产在时刻相对于第()个风险因子的贝塔。这些贝塔是资产期望收益对因子()多元条件回归系数。()是第()个风险因子的风险溢价，其表示单位第类型贝塔期望收益增量。这些风险溢价并不依赖于特定的资产。是零贝塔组合条件期望收益，它是与模型中每个因子都不相关的任意资产期望收益。如果存在无风险资产，那么就是无风险资产收益。
当因子捕捉了相关的系统风险时，将多贝塔条件资产定价模型作为随机贴现因子表示特例进行推导。这意味着收益对因子回归中扰动项未被定价；也就是说，扰动项与随机贴现因子条件无关，即。
假设是零贝塔组合在时刻收益，是该组合条件期望收益。由方程(3)，可得
(7)
将回归模型
(8)
代入方程(7)右边，并假设，则有
(9)
于是，单位第类型贝塔风险溢价。在这个特例中，如果因子是可交易的资产收益，那么方程(9)隐含着；期望风险溢价等于因子投资组合期望超额收益。
假设随机贴现因子是因子()线性组合，即，那么可由方程(9)逆推导到方程(6)。因此，存在这样的系数()，使得方程(6)成立。因而，实际上条件资产定价模型随机贴现因子表示与多贝塔表示是等价的。所以，我们可得到这样的一个定理：
定理1 随机贴现因子模型方程(3)与多贝塔条件资产定价模型方程(6)等价，这里，
(10)
(11)
， (12)
综述上文论述不难给出此命题证明，为了节省篇幅，详细的证明过程省略了。
为了更简洁地表示随机贴现因子模型和贝塔条件资产定价模型，我们使用向量形式表示。
随机贴现因子方程(10)向量表示形式为
(13)
多贝塔条件定价模型方程(6)向量表示形式为
(14)
这里，是个维列向量；是资产条件期望收益对因子的多元回归系数的维列向量。
由方程(13)、(14)以及定理1不难得到风险溢价为
(15)
这里，是个维列向量。

（三） 条件非线性资产定价模型
方程(10)与(13)中所设定的随机贴现因子是因子组合的线性函数，因此方程(2)与(3)就是条件线性资产定价模型。如果随机贴现因子是因子组合的非线性函数（但相对于待估计的参数而言是线性的），那么方程(2)与(3)就是条件非线性资产定价模型。假如非线性的随机贴现因子精确的设定形式是未知的，那么参数估计时必须要进行近似。由维尔斯特拉斯定理（Weierstrass Theorem）而知，任何连续函数在其定义域内都能被多项式无限逼近。假如因子组合中各个因子相互是正交的（即使不是正交的，也无关紧要，可进行施密特正交化，生成相互正交的因子组合），那么非线性的随机贴现因子的阶近似为
(16)
这里，，是个维的列向量。
于是，我们可以获得类似于上文中的结论，在此就不一一赘述了。有兴趣的读者，可自行推导。

三、条件资产定价模型估计方法和检验
理论上，我们得到了在时刻的信息集上的条件矩模型。如果收入与随机贴现因子是独立同分布的，那么条件资产定价模型方程(2)和(3)就是无条件资产定价模型方程(4)和(5)。于是，我们没有必要担心条件资产定价模型与无条件资产定价模型两者之间区别。实际上，收入与随机贴现因子并不是独立同分布的。因此，从经验分析的角度来看，不能将检验无条件资产定价模型的经济计量学方法直接应用于条件资产定价模型。因而，如何刻画条件信息建立条件矩模型是我们必须要解决的首要问题。

(一) 刻画条件信息——标度收益
1. HGT方法——非参数方法
一般地，投资者信息集是不可观察的。这种不可观察性构成了检验条件资产定价模型最重要的实际障碍：经济计量学家信息集至多是投资者信息集的子集，即。于是，在经济计量学家眼里，条件资产定价模型方程(3)应为
(17)
Hansen，Gallant与Tauchen(1990)引入非参数方法刻画方程(17)中的条件信息。他们设工具变量（是工具变量个数），存在可测函数，使得下列方程
(18)
成立。
这样，可将条件资产定价模型方程(3)或(17)转化为无条件资产定价模型方程(18)。通常，将方程(18)中称为管理组合总收益或动态组合总收益。方程(18)表明投资者根据所观察到信息进行积极动态投资，而不是采取“买而持有”消极投资策略。为了更准确地诠释方程(18)经济含义，将方程(18)等价地写为
(19)
方程(19)表明了投资者遵守线性规则：如果在时刻投资单位资本，那么在时刻可获得单位收入。
Hansen，Gallant与Tauchen的非参数方法要求经济计量学家设定和估计资产收益与随机贴现因子的联合条件分布的显性统计模型。但这种方法的缺陷就是假定知道真实的条件模型以及条件分布中待估计的参数个数。显然，这假设条件是比较严格的。

2. Cochrane方法
Cochrane(1996)提出了另一种更简单的方法刻画方程(17)中的条件信息。本文此处将此方法称为Cochrane方法。Cochrane采用克罗内克积（Kronecker Product）将工具变量直接作用于方程(17)和(2)两边并取无条件期望，便有
(20)
和
(21)
这里，“”表示克罗内克积算子（Kronecker Product Operator）。于是，同样可将方程(20)中称为管理组合总收益或动态组合总收益。方程(20)与(21)经济含义和方程(18)与(19)类似。与HGT方法相比，Cochrane方法简单又适用，得到了国外学者广泛认可和应用。
Hansen，Gallant与Tauchen的非参数方法和Cochrane方法给出了如何刻画条件信息非常简单的视角。正如Cochrane（2001，第136页）所指出：“增添管理组合收入（或管理组合总收益），使用无条件矩进行处理，仿佛不存在条件信息”。

(二) 标度因子
由随机贴现因子公式(10)、(13)以及(16)可知，随机贴现因子具有时变性。如何刻画随机贴现因子中条件信息也是我们必须要解决的问题。类似于刻画条件矩模型中条件信息——用工具变量标度总收益一样，Cochrane(1996)给出了刻画随机贴现因子中条件信息的一种简单方法——用当前信息集中能够概述条件信息的条件变量①这里用术语条件变量而不用工具变量，为了避免与前文中工具变量在概念上混淆。
标度因子。本文此处以条件线性资产定价模型为例说明如何使用条件变量标度因子。
维初始因子组合经维条件变量标度可获得。这里是维新的因子组合；“”表示克罗内克积算子（Kronecker Product Operator）。于是，公式(10)可写为
(22)
新增加的因子是初始因子标度形式，例如，因子（，）。具有时变系数的随机贴现因子公式(10)变为不变系数的随机贴现因子公式(22)。尤其，用一维条件变量标度单因子条件线性资产定价模型（例如，条件CAPM模型），那么可将单因子条件线性资产定价模型转化为二因子无条件资产定价模型。但这个多因子无条件资产定价模型与Ross(1976)所给出的多因子资产定价模型存在两个重要区别：第一，没有假设收益具有（非）线性因子资产定价模型所假定的（非）线性因子结构；第二，初始因子标度形式以及因子风险溢价都是先决变量，并不是通常意义下所理解的因子。

(三) 估计
第二部分设定随机贴现因子是因子组合或的线性函数，并且假定了其具体的函数形式，因而可以进行参数估计。如果不知道随机贴现因子具体的函数形式，那么可以进行非参数估计，避免随机贴现因子关于因子组合或的函数形式误定。
1. 参数估计
(1) 广义矩法(GMM)
将随机贴现因子用向量的形式表示为，这里或。将累期望法则作用于方程(3)，可得到无条件资产定价模型
(23)
其中，是个资产或组合收益组合列向量；是在时刻投资者已知的个工具变量的列向量，即；是个每个元素都为1的维列向量。如果对所有的工具变量，方程(23)都成立，那么方程(3)也成立。
由方程(23)可知，方程(23)两边都是无条件一阶矩形式，自然而然让人想起用Hansen(1982)的GMM估计和检验无条件资产定价模型方程(23)。设表示样本均值，是样本观察期数。定义组合定价误差维列向量样本矩为
(24)
GMM估计的目的是选择使定价误差加权平方和达到最小。设表示阶加权矩阵。GMM样本目标函数可写为
(25)
于是，方程(25)最小化的一阶条件为
(26)
这里，是的估计值。为了简化符号，定义定价误差关于参数的样本矩的梯度为
(27)
将方程(24)和(27)代入方程(26)，可得到参数估计值的解析解：
(28)
的估计值渐近服从正态分布(Hansen，1982)，其方差为
(29)
其中，是模型定价误差协方差阵一致估计值。
于是，定价误差的协方差阵为
(30)
其中，是个阶的单位阵。
由上文可知，在用GMM估计无条件资产定价模型方程(23)的整个过程中，加权矩阵起了至关重要作用，因而，如何设定加权矩阵是经济计量学家面临的新问题。如果，那么方程(28)中的系数估计是最优的（具有最小的渐近协方差），其协方差阵变为
(31)
这里，表示最优加权。

(2)Hansen-Jagannathan距离法(HJD)
尽管使用定价误差的协方差矩阵的逆作为加权矩阵，得到了有效的参数估计，但由于不同模型设定中的加权矩阵都是不相同的，因此不能够使用二次型(25)的值比较不同模型定价误差相对大小。如果某个模型包含的噪声越多，即定价误差方差越大，那么二次型(25)的值越小。在这种情形下，会得到这样让人误解的结论：模型噪声越大，该模型就表现得越好。因而，无法拒绝某个定价模型不是由于定价能力的改善，而是定价模型噪声增加的缘故。
Hansen与Jagannathan(1997)提出使用收益样本二阶矩的逆作为加权矩阵。对本文此处所使用的GMM而言，应该使用工具变量所标度的总收益样本二阶矩的逆作为加权矩阵，即
(32)
于是，总收益加权的参数估计值的解析解为
(33)
总收益加权的定价误差的协方差阵为

(34)
在工具变量所标度的总收益样本二阶矩的逆作为加权矩阵下，Hansen与Jagannathan证明了二次型(25)的值就是既定模型的候选随机贴现因子与所有正确定价资产的随机贴现因子集距离的平方。在金融经济学中，一般地称此情形下所计算的二次型值的平方根为Hansen-Jagannathan距离。于是，将此方法称为Hansen-Jagannathan距离法，简称为HJD。
利用模型定价误差协方差阵的逆和工具变量所标度的总收益样本二阶矩的逆分别作为加权矩阵，检验所有定价误差都等于零的零假设所对应的统计量为
(35)
(36)
其中，表示收益加权的定价误差的协方差矩阵广义逆；定价误差正交方程的个数是，待估计的参数的个数是，于是，统计量的自由度是。
虽然GMM估计量是有效的，Hansen-Jagannathan距离法的估计量通常并不是有效的，但是估计无条件资产定价模型方程(23)一般都使用Hansen-Jagannathan距离法，而不使用GMM。主要基于以下两点：
第一，Hansen-Jagannathan距离法避免了过于波动的定价误差所引起的无法拒绝定价模型的缺陷。加权矩阵是工具变量所标度的总收益样本二阶矩的逆，而不是模型定价误差二阶矩的逆。因此，只要到可接受的定价核的最小平方距离减少，那么Hansen-Jagannathan距离就会下降，但是如果随机贴现因子生成了波动的定价误差，那么Hansen-Jagannathan距离就不会下降。因此，使用Hansen-Jagannathan距离法无法拒绝资产定价模型，是由于模型定价能力改善，而不是定价模型噪声增加的缘故。
第二，Hansen-Jagannathan距离法的结果比GMM更稳健。因为收益加权矩阵——工具变量所标度的总收益样本二阶矩的逆不是待估计的参数的函数。

2. 非参数估计
为了简便起见，本文根据Wang(2003)思想以条件CAPM模型为例说明如何使用非参数估计方法估计和检验条件资产定价模型方程(3)。
由于方程(3)对一切资产都成立，将其作用于无风险资产并进行整理，可得
(37)
其中，是无风险资产在时刻总收益。
条件CAPM模型假定市场组合是条件均值-方差有效的，当且仅当
(38)
由方程(38)，可得
(39)
设维条件变量，使得
(40)
(41)
如果方程(40)和(41)都成立，那么条件CAPM模型定价误差能被表示为
(42)
其中，随机贴现因子，这里，，。这样方程(38)和方程(37)是等价的，在此又一次以条件CAPM模型证明了第二部分中的定理1。
因此，能够非参数估计随机贴现因子，即
(43)
其中，，
(44)
(45)
(46)
这里，估计量是具有核函数为和窗宽为的Rosenblatt-Parzen核密度估计量；是条件变量的维数；和是Nadaraya-Watson核回归函数估计量。
正如GMM中过度识别检验一样，下面研究非参数估计中定价误差统计推断。设，于是方程(37)变为
(47)
方程(47)意味着不能被中已知的维列向量（中包括常数1）进行预测。于是，进行这样回归
， (48)
以检验维回归系数是否等于维零向量。这里具有条件零均值，且独立同分布的；()是维列向量。
用方程(43)中所定义的非参数随机贴现因子代替方程(37)中随机贴现因子，得到回归系数的估计值，即
(49)
其中，；是权重函数，渐近服从于正态分布（Wang，2003）。

(四) 结构稳定性检验
尽管使用GMM进行过度识别检验，无法拒绝模型设定，但是这种检验并不能诊断模型是否给出了收益和条件变量之间稳定的时间不变关系。也就是说，可能出现这样一种情形：方程(35)中的统计量以及方程(36)中的统计量都无法拒绝模型过度识别约束条件，但式(28)和(33)中的估计值却可能随时间而发生变化。Ghysels(1998)提出使用Andrews(1993)的上确界拉氏乘数（Supremum Lagrange Multiplier，简写为）统计量检验GMM和HJD所估计的系数是否发生结构性突变。
为了避免与方程(13)和(16)中的混淆，重新设定GMM和HJD所估计的系数为。假设GMM和HJD所估计的系数在时刻发生结构性突变，这里是最大的整数部分，且是未知的。这样，就可以得到检验在未知时点是否发生结构性突变的零假设和备择假设：
：，对；
：
其中，，和是具有相同维数的常数向量。如果是开区间中某个确定的数值，那么上述检验就是邹检验。
在常数是未知的情形下，拉氏乘数统计量为
(50)
这里, ，当加权矩阵时，；当加权矩阵时，。
上确界拉氏乘数统计量为
(51)
这里，。上确界拉氏乘数统计量的5％显著性水平的临界值可参见Andrews(1993)的表1。

四、条件资产定价模型在我国股市应用展望

条件资产定价模型在发达的资本市场得以成功应用归因于条件变量和工具变量的选择。正因为用工具变量标度总收益和用条件变量标度因子组合，使得条件资产定价模型转化为无条件资产定价模型，使得将已有的经济计量理论更便于应用于条件资产定价模型。所选择的条件变量必须对股票收益具有很强的预测能力以及对股票期望收益截面变化具有很好的解释能力。根据现有的国外文献，经验上发现对数消费-总财富比（——对数消费和对数资产财富与对数人力资本适当的加权平均之差）（Lettau与Ludvigson，2001）和期限价差（——10年期债券收益率与1年期国库券收益率之差）（Burke，2001）这两个变量具备这两个能力，它们都是有用的条件变量。
工具变量将矩条件扩展包括了基于工具变量预测信息的管理组合定价误差，从而使过度识别约束检验统计量自由度增加。这增强了模型的检验能力。所选择的工具变量不仅对宏观经济增长具有一定的预测能力，而且对股票收益和固定收益债券收益也有一定的预测能力。根据现有的国外文献，一般地，选择信用价差（——穆迪投资服务公司所构造的BAA级债券收益率和AAA级债券收益率之差）、S&P500股票综合指数红利率（）和工业生成指数增长率（）作为工具变量。这是因为经验上已证明了它们具备那样的预测能力。此外，这三个工具变量“反映了债券市场、股票市场和真实经济变化”（Chapman，1997）。
条件资产定价模型在我国股票市场应用成功与否和能否挖掘到所要求的条件变量和工具变量休戚相关。我国未实行利率市场化，因此期限价差（）根本不可能作为条件变量。但我国银行间同业拆借利率可能可作为条件变量，可这有待于我们进一步地进行经验分析（银行间同业拆借利率是否能够预测投资者预期超额收益）。另一方面，我们从我国现实国情出发，挖掘宏观经济变量消费、金融资产价值以及劳动力收入，构造对数消费-总财富比（）作为条件变量。但是根据我国现有的文献，发现我国股市上证综合指数以及深证成指与经济增长背道而驰。这说明我们还有很长的一段路要走（提高上市公司的整体质量，为投资者提供分享经济增长成果、增加财富的机会）使得上证综合指数以及深证成指与经济增长拥有共同的随机趋势。
由于我国极少数企业才有资格发行企业债券，相对于贷款数量而言，其规模微乎其微，而且缺乏像穆迪和标准普尔投资服务公司那样的评级体系评价现有发行企业债券的等级。但可用企债指数或国债指数替代信用价差（）作为工具变量。我国股市上股票很少派发红利，因此用上证综合指数或深证成指红利率（）作为工具变量缺乏一定的说服力。
由此可见，用我国宏观经济和股市数据，检验条件资产定价模型在我国股市适用性，在现阶段可能并不支持条件资产定价模型。但我们不能就此否定条件资产定价模型，一是因为条件资产定价模型提供了一种新的范式——贝塔和风险溢价是时变的；二是因为我国股市刚度过十余个春秋，发展还很不完善。
同时，如果经验上不支持条件资产定价模型是由数据质量所造成的，那么这不仅对我国宏观经济数据发布提出新的要求——希望我国政府有关部门发布高质量更齐全的数据，而且这也要求我国加快金融改革步伐，例如尽快实行利率市场化。总之，条件资产定价模型在我国股市应用前景是广阔的，但可能还有很长的一段路要走，希望我国学术界以及投资界就条件资产定价模型在我国股市适用性进行广泛地理论探讨和经验研究。

主要参考文献
[1] Andrews D.W.K, 1993, Tests for Parameter Instability and Structural Change with Unknown Change Point, Econometrica, 61, 821-856；
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[10] Ravi Jagannathan and Zhenyu Wang, 1996, The Conditional CAPM and the Cross-Section of Expected Returns, Journal of Finance, 51, 3-53；
[11] Stephen D. Burke, 2001, Conditional Nonlinear Asset Pricing Kernels and the Size and Book-to-Market Effects, The University of British Columbia Faculty of Commerce and Business Administration, Working paper.

作者简介：
肖俊喜，男，1975年生，安徽无为人，东北财经大学数量经济学专业博士生。
王庆石，男，1961年生，辽宁辽阳人，东北财经大学国际商学院院长，教授，经济学博士，博士生导师。

联系方式：
通信地址：辽宁大连东北财经大学国际商学院，王庆石
邮编：116025
E-mail：wwxjx@ ，wqingshi@
电话：[phone]
Conditional Asset Pricing Models and Tests

Junxi Xiao 1 Qingshi Wang 2
(1 Department of Quantitative Economics, 2 School of International Business, DongBei University of Finance & Economics, Dalian, LiaoNing, 116025)

Abstract: In the stochastic discount factor framework, this paper discusses the conditional asset pricing models and the methods of tests, and documents that the stochastic discount factor representation of the conditional asset pricing models is equivalent to the multi-beta representation. The key to test the conditional asset pricing models is how to use the known conditioning variables and instrument variables to convert the conditional asset pricing models to the unconditional asset pricing models. Thus, the unconditional asset pricing models is estimated by the parametric methods----the generalized method of moments (GMM) and the method of Hansen-Jagannathan distance (HJD), and estimated by the nonparametric methods.

Keywords: Conditional Asset Pricing Models Stochastic Discount Factor (Non)parametric Estimation

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