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因动点产生的相似三角形问题 - 专题

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因动点产生的相似三角形问题
关键词：动点、相似三角形
动点：运动的点或者说是不确定的点，有时题目中会明确指出动点，有时题目中相关点的坐标含有参数，换言之就是在不同的条件下会有不同的位置，或者满足条件的位置有多个。
相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个或多个三角形，两个三角形相似的判定定理一般说来有3个，
定理1：两个角对应相等，两三角形相似 ‘AA”
定理2：两边对应成比例且夹角相等 “SAS”
定理3：三边对应成比例。 “SSS”
相似三角形的判定这3个定理，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．
应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．
判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．
如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分和两种情况列方程．
应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．
两个直角三角形相似的判定方法
（1） 有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．
（2）两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
（3）斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．
如果要讨论相似的两个三角形中有一个是直角三角形：如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．

由动点产生的相似三角形问题一般在函数和几何图中出现，其中以函数表现居多。
题型一般有是否存在点P，使得：
①△PDE∽△ABC
②以P、D、E为顶点的三角形与△ABC相似
或者通过动点产生相似解决有关问题
一般以大题为主，也有出现在填空后两题。
函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题过程 ：
① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角． 的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示 各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
涉及知识点： 全等相似的性质及判定，一元二次方程解法，直角三角形中锐角三角函数，勾股定理，求线段的长，要用到两点间的距离公式。

例1、 (2014·浙江湖州，24，12分)
已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N.点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E.设点F运动的时间是t秒(t>0)．
(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示)，求证：PE＝PF；
(3)作点F关于点M的对称点F′.经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连结QE.在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
(1)证明　连结PM，PN.
∵⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM＝PN，
∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°.
∵PE⊥PF，∴∠1＝∠2＝90°－∠3.
在△PMF和△PNE中，
图1
∴△PMF≌△PNE，∴PE＝PF.
(2)解　分两种情况：
①当t>1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，
由(1)得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t，PN＝PM＝1，
∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1.
∴b－a＝1＋t－(t－1)＝2，
图2
∴b＝2＋a.
②当0<t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴上或原点，同理可证△PMF≌△PNE，
∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝OE＝ON－NE＝1－t，
∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，
∴b＝2－a.
综上所述，当t>1时，b＝2＋a；
当0<t≤1时，b＝2－a.
(3)解　存在，t的值是t＝，t＝，t＝2±.
图3
如图3，(Ⅰ)当1＜t＜2时，
∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，
∴F′(1－t，0)．
∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q(1－t，0)∴OQ＝1－t，
由(1)得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t，∴OE＝t－1.
当△OEQ∽△MPF时，
∴＝，∴＝，
解得，t＝或t＝(舍去)，
当△OEQ∽△MFP时，＝，
图4
∴＝，解得，t＝或t＝－(舍去)．
(Ⅱ)如图4，当t＞2时，
∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，
∴F′(1－t，0)．
∵经过M，E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，∴Q(1－t，0)．
∴OQ＝t－1.
由(1)得△PMF≌△PNE
∴NE＝MF＝t，
∴OE＝t－1.
当△OEQ ∽△MPF，＝.
∴＝，无解．当△OEQ ∽△MFP时，＝，∴＝，
图5
解得，t＝2＋或t＝2－<2舍去．
(Ⅲ)如图5，当0<t≤1时，
∵F(1＋t，0)，F和F′关于点M对称，
∴F′(1－t，0)．
∵经过M，E，F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q，
∴OQ＝1－t.
由(1)得△PMF≌△PNE，
∴NE＝MF＝t， ∴OE＝1－t.
当△QOE∽△FMP时，＝，∴＝，
即2t2－3t＋2＝0，
此方程无解．
当△QOE∽△PMF时，＝，
∴＝， 即t2－4t＋2＝0，
解得t1＝2－，t2＝2＋>1(舍去)．
所以当t＝，t＝，t＝2±时，使得以点Q，O，E为顶点的三角形与以点P，M，F为顶点的三角形相似．

例 2 （2014年衡阳28）（隐含动点）
二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

图1 图2
3．讨论△ACD与△OBC相似，先确定△ACD是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．
4．直角三角形ACD存在两种情况．
（1）因为抛物线与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设y＝a(x＋3)(x－1)．
代入点C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得a＝m．
所以该二次函数的解析式为y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m．

图3 图4 图5
（3）如图4，过点D作y轴的垂线，垂足为E．过点A作x轴的垂线交DE于F．
由y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得D(－1,－4m)．
在Rt△OBC中，OB∶OC＝1∶3m．
如果△ADC与△OBC相似，那么△ADC是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m．
①如图4，当∠ACD＝90°时，．所以．解得m＝1．
此时，．所以．所以△CDA∽△OBC．
②如图5，当∠ADC＝90°时，．所以．解得．
此时，而．因此△DCA与△OBC不相似．
综上所述，当m＝1时，△CDA∽△OBC．

例3（2014益阳市21）（几何动点）
如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x．
（1）求AD的长；
（2）点P在运动过程中，是否存在以A、P、D为顶点的三角形与以P、C、B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
思路点拨
1．第（2）题先确定△PCB是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．
图文解析
（1）如图2，作CH⊥AB于H，那么AD＝CH．
在Rt△BCH中，∠B＝60°，BC＝4，所以BH＝2，CH＝．所以AD＝．
（2）因为△APD是直角三角形，如果△APD与△PCB相似，那么△PCB一定是直角三角形．
①如图3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8．
所以＝＝，而＝．此时△APD与△PCB不相似．

图2 图3 图4
②如图4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以AP＝2．
所以＝＝．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP．
综上所述，当x＝2时，△APD∽△CBP．

例4 （2015湘西市26）
如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连结PQ，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1
思路点拨
3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．
解析
（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．
将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得
所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝t．
分两种情况讨论直角三角形APQ：
①当∠PQA＝90°时，AP＝AQ．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．
②当∠QPA＝90°时，AQ＝AP．解方程t＝(3－t)，得t＝1.5（如图3）．

图4 图5
（4）由y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得M(1, 4)．
由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3．
由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝．
所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能：
①当时，．解得（如图5）．
②当时，．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根．

（2016•湖州）如图，已知二次函数y=-x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．

【分析】（3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标．
【解答】解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得，
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，
配方得y=﹣（x﹣1）2+5，
∴点M的坐标为（1，5）；
（3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，5）

∵MG=1，GC=5﹣4=1
∴MC==，
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1，则点N坐标为（﹣1，5），
∵NG=GC，GM=GC，
∴∠NCG=∠GCM=45°，
∴∠NCM=90°，
由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC，则有
∵BD=1，CD=3，
∴CP===，
∵CD=DA=3，
∴∠DCA=45°，
若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴，
∵∠PCH=45°，CP=
∴PH==
把x=代入y=﹣x+4，解得y=，
∴P1（）；
同理可得，若点P在y轴左侧，则把x=﹣代入y=﹣x+4，解得y=
∴P2（）；
②若有△PCM∽△CDB，则有
∴CP==3
∴PH=3÷=3，
若点P在y轴右侧，把x=3代入y=﹣x+4，解得y=1；
若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入y=﹣x+4，解得y=7
∴P3（3，1）；P4（﹣3，7）．
∴所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（），P2（），P3（3，1），P4（﹣3，7）．

（2017怀化24.）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是轴上的一点，且以为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

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