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圆的相关定理

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圆幂定理
定义
　　圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）
　　所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。
相交弦定理
　　圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）
相交弦说明
　　几何语言：
　　若弦AB、CD交于点P
　　则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）
　　推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项
　　几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P， 则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）

切割线定理
定义
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
几何语言：
　　∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
　　∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：
　　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
　　几何语言：
　　∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线
　　∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
　　由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD
证明
　　切割线定理证明:
　　设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB
　　证明：连接AT, BT
　　∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
　　∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
　　则PB：PT=PT：AP
即：PT^2=PB·PA
割线定理
定义
　　从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
从圆外一点L引两条割线与圆分别交于A.B.C.D 则有 LA·LB=LC·LD。如下图所示。(LT是切线）
证明
　　如图直线ABP和CDP是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD
　　证明:连接AD、BC

∵∠A和∠C都对弧BD
　　∴由圆周角定理，得 ∠A=∠C
　　又∵∠APD=∠CPB
　　∴△ADP∽△CBP
∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP
切线的判定定理
　　经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
几何语言： ∵l ⊥OA，点A在⊙O上
　　∴直线l是⊙O的切线（切线判定定理）
切线的性质定理
　　圆的切线垂直于经过切点半径
　　几何语言： ∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A
　　∴l ⊥OA（切线性质定理）
　　推论1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点
推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
切线长定理
　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
　　几何语言： ∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
　　∴PA=PB，∠APO=∠BPO（切线长定理）
　　证明：连结OA、OB
　　∵直线PA、PB分别切⊙O于A、B两点
　　∴OA⊥AP、OB⊥PB
　　∴∠OAP=∠OBP=90°
　　在△OPA和△OPB中：
　　∠OAP=∠OBP
　　OP=OP
　　OA=OB=r
　　∴△OPA≌△OPB（HL）
∴PA=PB，∠APO=∠BPO
弦切角定理
　　弦切角（即图中∠ACD)等于它所夹的弧(弧AC)对的圆周角等于所夹的弧的读数的一半等于1/2所夹的弧的圆心角 [注，由于网上找得的图不是很完整，图中没有连结OC]
　　几何语言：∵∠ACD所夹的是弧AC ∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数(弦切角定理）
　　推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等
　　　几何语言：∵∠1所夹的是弧MN ，∠2所夹的是PQ ，弧MN = 弧PQ
　　∴∠1=∠2
　　证明：作AD⊥EC
　　∵∠ADC=90°
　　∴∠ACD+∠CAD=90°
　　∵ED与⊙O切于点C
　　∴OC⊥ED
　　∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=90°
　　∴∠OCA=∠CAD
　　∵OC=OA=r
　　∴∠OCA=∠OAC
　　∴∠COA=180°-∠OCA-∠OAC=180°-2∠CAD
　　又∵∠ACD=90°-∠CAD
　　∴∠ACDC=1/2∠COA
∴∠ACD=∠ABC=1/2∠COA=1/2弧AC的度数
弦切角概念
　　顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：
　　（1）顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；
　　（2）角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；
　　（3）角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线．
　　它们是判断一个角是否为弦切角的标准，三者缺一不可。
（4）弦切角可以认为是圆周角的一个特例，即圆周角的一边绕顶点旋转到与圆相切时所成的角．正因为如此，弦切角具有与圆周角类似的性质．

相关公式

弧长计算公式：L=n兀R／180 
扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2 
内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 
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