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第9章 思考题
在下面思考题中A、B、C、D的备选答案中选择正确的答案。（选择题答案请参见附录）
9.1 若用积分法计算图示梁的挠度，则边界条件和连续条件为。
v
o
q
x
L
a

(A) x=0: v=0; x=a+L: v=0; x=a: v左=v右，v/左=v/右。
(B) x=0: v=0; x=a+L: v/=0; x=a: v左=v右，v/左=v/右。
(C) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v/=0; x=a: v左=v右。
(D) x=0: v=0; x=a+L: v=0，v/=0; x=a: v/左=v/右。
9.2梁的受力情况如图所示。该梁变形后的挠曲线为图示的四种曲线中的 （图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线）。
P
a
a
a
a

x
v
x
v
x
v
x
v
(A)
(B)
(C)
(D)

B
q
C
A
v
x
x
L
a
9.3等截面梁如图所示。若用积分法求解梁的转角和挠度，则以下结论中 是错误的。

(A) 该梁应分为AB和BC两段进行积分。
(B) 挠度的积分表达式中，会出现4个积分常数。
(C) 积分常数由边界条件和连续条件来确定。
(D) 边界条件和连续条件的表达式为：x=0:y=0; x=L,v左=v右=0,v/=0。
C
B
x
q
A
v
x
L
a
9.4等截面梁左端为铰支座，右端与拉杆BC相连，如图所示。以下结论中 是错误的。

(A) AB杆的弯矩表达式为M(x)=q(Lx-x2)/2。
(B) 挠度的积分表达式为：y(x)=q{∫[∫-(Lx-x2)dx]dx+Cx+D} /2EI。
(C) 对应的边解条件为：x=0: y=0; x=L: y=∆LCB(∆LCB=qLa/2EA)。
(D) 在梁的跨度中央，转角为零(即x=L/2: y/=0)。
C
B
A
P
M
L
L/3
9.5已知悬臂AB如图，自由端的挠度vB=-PL3/3EI –ML2/2EI,则截面C处的挠度应为。

(A) -P(2L/3)3/3EI –M(2L/3)2/2EI。
(B) -P(2L/3)3/3EI –1/3M(2L/3)2/2EI。
(C) -P(2L/3)3/3EI –(M+1/3 PL)(2L/3)2/2EI。
(D) -P(2L/3)3/3EI –(M-1/3 PL)(2L/3)2/2EI。

P
(3)
(2)
(1)
B
A
a
a
9.6 图示结构中，杆AB为刚性杆，设ΔL1,ΔL2, ΔL3分别表示杆（1），（2），（3）的伸长，则当分析各竖杆的内力时，相应的变形协调条件为。

(A) ΔL3=2ΔL1+ΔL2。 (B) ΔL2=ΔL3-ΔL1。
(C) 2ΔL2=ΔL1+ΔL3。 (D) ΔL3=ΔL1+2ΔL2。
x
P
A
v
9.7 一悬臂梁及其所在坐标系如图所示。其自由端的

(A) 挠度为正，转角为负； (B) 挠度为负，转角为正；
(C) 挠度和转角都为正； (D) 挠度和转角都为负。
R
A
B
9.8 图示悬臂梁AB，一端固定在半径为R的光滑刚性圆柱面上，另一端自由。梁AB变形后与圆柱面完全吻合，而无接触压力，则正确的加载方式是

(A) 在全梁上加向下的均布载荷；
(B) 在自由端B加向下的集中力；
(C) 在自由端B加顺时针方向的集中力偶；
(D) 在自由端B加逆时针方向的集中力偶。
F
B
A
9.9 一铸铁简支梁，如图所示．当其横截面分别按图示两种情况放置时，梁的

(A) 强度相同，刚度不同； (B) 强度不同，刚度相同；
(C) 强度和刚度都相同； (D) 强度和刚度都不同。
第9章 习题
积分法
9.1 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。
(1) 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状;
(2) 利用积分法计算梁的最大挠度与最大转角。
(b)
B
A
a
q
(a)
a
Me
B
A

习题9.1图

Me
B
A
MA
x
解：（a）
（1）求约束反力

MA＝Me
（2）画剪力图和弯矩图
x
FS

x
M
Me
(+)

（3）画挠曲轴的大致形状
Me
B
A
MA

（4）列弯矩方程

（5）挠曲线近似微分方程

（6）直接积分两次

（7）确定积分常数
边界条件：

求解得积分常数

转角和挠曲线方程是
,
（7）最大转角与最大挠度。
,

（b）
(b)
B
A
a
q
x
（1）求约束反力

FA
B

FA＝F B＝q a/2
x
FS

（2）画剪力图和弯矩图

x
M
(+)

(b)
B
A
a
q
（3）画挠曲轴的大致形状

（4）列弯矩方程

（5）挠曲线近似微分方程

（6）直接积分两次

（7）确定积分常数
边界条件：

求解得积分常数

转角和挠曲线方程是

（8）最大转角与最大挠度。
,

9.2 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数。
(1) 试写出计算梁位移的边界条件与连续条件;
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2
(d)
C
B
A
q
l/2
l/2
F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
(c)
l/2
C
B
A
q
l/2
(2) 试根据梁的弯矩图与支持条件画出挠曲轴的大致形状。

习题9.2图

解：（a）
（1）边界条件：

（2）连续光滑条件：

(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2
FA
FB
（3）求约束反力

FA =FB＝Me/l
x
FS
(+)
Me/l
（4）画剪力图和弯矩图

x
M
Me
(+)
(-)
-Me

（5）画挠曲轴的大致形状
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2

（b）
（1）边界条件：

（2）连续光滑条件：

FA
FB
F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
（3）求约束反力

FA =F, FB＝2F
（4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
F
(-)

x
M
(-)
-F
-Fl/2

F
(b)
C
B
A
l/2
l/2
（5）画挠曲轴的大致形状

（c）
（1）边界条件：

（2）连续光滑条件：

(c)
l/2
C
B
A
q
l/2
FA
MA
（3）求约束反力

FA =ql/2, MA＝3ql2/8
（4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
ql/2
x
M
(-)
-ql2/8
-3ql2/8

(c)
l/2
C
B
A
q
l/2
（5）画挠曲轴的大致形状

（d）
（1）边界条件：

（2）连续条件：

q
FB
MB
FA
（3）求约束反力
A
C

MB
FA
B
FB
B
a
B

l/2
l/2

(d)

FA =ql/4 =FB, MB＝ql2/8
（4）画剪力图和弯矩图
x
FS
(+)
ql/4
-ql/4

x
M
(-)
-ql2/8
ql2/32

(d)
C
B
A
q
l/2
l/2
（5）画挠曲轴的大致形状

叠加法
9.3 图示各梁，弯曲刚度EI均为常数，试用叠加法计算截面B的转角与截面C的挠度。

(b)
l/2
C
B
A
l/2
F
F
F
(a)
Me
C
B
A
l/2
l/2

习题9.3图

F
(1)
+
C
B
A
l/2
l/2
(2)
Me
C
A
l/2
l/2
解：a）

（1）F单独作用时

（2）Me单独作用时

（3）P和Mo共同作用时

（b）
(1)
l/2
C
B
A
l/2
F
+
(2)
l/2
C
B
A
l/2
F

A
(2)
l/2
C
B
A
l/2
F
(2)
l/2
C
B
l/2
F
Me=Fl/2

+
(22)
l/2
C
B
A
l/2
Me=Fl/2
(21)
l/2
C
B
A
l/2
F

A
(1+2)
l/2
C
B
l/2
Me=Fl/2

9.4 图示外伸梁，两端承受载荷F作用，弯曲刚度EI为常数，试问：
(1) 当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度与自由端的挠度数值相等；
(2) 当x/l为何值时，梁跨度中点的挠度最大。
F
x
x
l
F

习题9.4图

(2)
M＝Fx
C
B
A
F
x
x
l
F
M＝Fx
D
(1)
+
B
A
F
FB
MB
解：

（1）自由端的挠度

（2）中点的挠度

（3）中点的挠度与自由端的挠度数值相等时

x(1)=0.705l（舍去）， x(2)=0.152l
（4）跨度中点的最大挠度

x(1)= l/2（舍去）， x(2)= l /6

9.5 试计算图示刚架截面A的水平与铅垂位移。设弯曲刚度EI为常数。
C
a
A
B
h
F

习题9.5图
解：
C
B
hD
F
MA=Fa
（1）水平位移δx
分析CB杆，由B点水平位移引起

（2）铅垂位移δx
C
a
A
B
h
F
θB
分析AB、CB杆，由AB杆A点铅垂位移与CB杆B点转角引起A点铅垂位移

9.6 试用叠加法计算图示各阶梯梁的最大挠度。设惯性矩I2＝2I1。
(a)
a
l1
a
F
l2
a
F
(b)
B
A
a
a
C
a
l1
l2
l1

习题9.6图
B
(1)
a
A
F
l2
(2)
a
a
F
MA=Fa
A
+

解：（a）

(22)
a
a
F
A
(21)
a
a
MB=Fa
A
B
+

F
(b)
B
A
a
a
C
a
l1
L2
l1
a
a
FB=F/2
B
+
（b）

由梁的对称性，其右半端的变形与图中悬臂梁的变形相同。
由上题结论得：

9.7 一跨度l=4m的简支梁如图所示，受集度q＝10 kN/m的均布载荷和P＝20kN的集中载荷作用。梁由两槽钢组成。设材料的许用应力[σ]=160MPa，梁的许用挠度[ f ]=l/400。试选定槽钢的型号，并校核其刚度。梁的自重忽略不计。
B
A
l
q
P

习题9.7图

解：(1)求约束反力

(2)画出剪力图和弯矩图
M (kNm)
40
x
(+)
Fs (kN)
-30
x
(-)
10
-10
30
(+)

(3)按正应力强度条件计算

查槽钢表，选用18号，其抗弯截面系数是W=152 cm3，I＝1370 cm4；
(4) 按刚度进行校核：
用叠加法求梁的最大挠度

刚度校核
∵[ f ]=l/400=4/400＝0.01m ∴
轴的刚度不够。
(5) 按刚度条件计算

查槽钢表，应选用20a号，其抗弯截面系数是W=178 cm3，I＝1780 cm4；
(6) 结论：强度与刚度都足够；

q
C
B
A
a
a
9.8 试求图示梁的支反力，并画剪力图和弯矩图。设弯曲刚度EI为常数。

习题9.8图

解：(1)确定静不定梁的基本结构：取B为多余约束
FB
FC
FA
q
C
B
A
a
a

A
FB
q
C
B
A
x
C
B
+
(1)
(2)
dx

2)求变形几何关系

(3)求物理关系

(4)补充方程

(5)求约束力FA、FB；
由平衡方程

(6)画剪力图和弯矩图
Fs
x
(+)
(-)
(-)
-qa/16
9qa/16
-7qa/16
M
x
(-)
(+)
qa2/16
49qa2/518

9.9 图示结构，悬臂梁AB与简支梁DG均用No18工字钢制成，BC为圆截面钢杠，直径d=20mm，梁与杆的弹性模量均为E＝200GPa。若载荷F＝30kN，试计算梁与杆内的最大应力，以及横截面C的铅垂位移。
B
F
2m
G
1.4m
D
A
C
2m
2m

习题9.9图

解：(1)确定静不定梁的基本结构：取C为多余约束

(2)
F
G
D
C
F C’
B
FC
(1)
C
A

(2)求变形几何关系

(3)求物理关系

(4)补充方程

(5)求约束力Fc；
查表IAB＝IDG=1660×10-8m4，ABC＝A=πd2/4=π×10-4。
FC=10kN
(1)
C
B
A
F A
MA

(6)计算梁的最大应力
受力分析，分析(1)、(2)求约束力
∴ FD=FG=10kN
∴ Mmax(1) =10×2=20kNm
(2)
F=30kN
G
D
C
F C’ =10kN
F D
F G
∴ Mmax(2) =10×2=20kNm
∴ Mmax) =20kNm
查表W＝185×10-6m3。

(7)计算杆的最大应力

(8)计算截面C的铅垂位移

思考题参考答案
9.1 (C) 9.2 (D) 9.3 (D) 9.4 (D) 9.5 (C) 9.6 (C) 9.7 (D) 9.8 (C) 9.9 (B)

第11章 思考题
在下面思考题中A、B、C、D的备选答案中选择正确的答案。（选择题答案请参见附录）
F
l

A
B
11.1细长杆AB受轴向压力F作用，如图示。设杆的临界力为Pcr，则下列结论中 是正确的。

(A) 仅当F<Fcr时，杆AB的轴线才保持直线，杆件只产生压缩变形；
(B) 当F＝Fcr时，杆AB的轴线仍保持直线，杆件不出现弯曲变形；
(C) 当F＞Fcr时，杆AB不可能保持平衡；
(D) 为保证杆AB处于稳定平衡状态，应使FFcr。
F
l

11.2 压杆上端自由，下端固接于弹性地基上，如图所示，试判断该杆长度系数μ的值。

(A) μ<0.7 (B)0.7<μ<1 (C)1<μ<2 (D) μ>2
F
l

11.3 压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图所示。试判断该杆长度系数μ值的范围。

(A) μ<0.5 (B)0.5<μ<0.7 (C)0.7<μ<2 (D) μ>2
F′
①
F″
②
11.4 两根细长压杆如图示，杆①为正方形截面，杆②为圆截面，两者材料相同，长度相同，且横截面积相同，若其临界荷载分别用P'lj和P''lj表示，则下列结论中 是正确的。

(A) F'cr>F''cr (B) F'cr<F''cr (C) F'cr=F''cr (D) 压杆采用圆截面最为经济合理
11.5 图示两种构架中，横杆均视为刚性，各竖杆的横截面和长度均相同，材料均为A3钢。设P和P'分别表示这两种构架的最大许可荷载，则下列结论中哪些是正确的?
G
a
a
a
B
F
D
A
C
E
G′
a
a
a
B
F′
D′
A
C′
E′

(1) F>F’；
(2) F<F’
(3) F值完全取决于杆EG的稳定性；
(4) F’值完全取决于杆C’D’的稳定性。
(A) (1)、(3) (B) (2)、 (4) (C) (1) 、(4) (D) (2)、(3)
11.6 在横截面积等其他条件均相同的条件下，压扦采用图示哪个截面形状，其稳定性最好？
(A)
(B)
(C)
(D)

11.7 采取什么措施，并不能提高细长压杆的稳定性。
(A) 增大压杆的横截面面积； (B) 增加压杆的表面光洁度；
(C) 减小压杆的柔度； (D) 选用弹性模量E值较大的材料。
11.8 图示钢桁架中各杆的横截面及材料相同，在节点A承受竖直向下的集中力P。若力的方向改为向上，其它条件不变，则结构的稳定性
F
A
B
C
α

(A) 提高； (B) 不变； (C) 降低； (D) 变化情况不确定。

第11章 习题
11.1 图示两端球形铰支细长压杆，弹性模量E＝200Gpa，试用欧拉公式计算其临界载荷。
(1) 圆形截面，d=25mm,l=1.0m；
(2) 矩形截面，h＝2b＝40mm，l＝1.0m；
z

y

F
d

b

l

h

z

y

(3) No16工字钢，l＝2.0m。

习题11.1图

解：(1) 圆形截面杆：
两端球铰： μ=1，

(2) 矩形截面杆：
两端球铰：μ=1， Iy<Iz
(3) No16工字钢杆：
两端球铰：μ=1， Iy<Iz
查表Iy＝93.1×10-8 m4

11.2 图示桁架，由两根弯曲刚度EI相同的等截面细长压杆组成。，设载荷F与杆AB的轴线的夹角为q，且0<q<p/2，试求载荷F的极限值。
600
a
F
A
B
C
θ
l1
12

习题11.2图

解：(1) 分析铰B的受力，画受力图和封闭的力三角形：
90o
F
F1
F2
θ
F2
F1
F
θ

(2) 两杆的临界压力：

AB和BC皆为细长压杆，则有：

(3) 两杆同时达到临界压力值， F为最大值；

由铰B的平衡得：

F
(b)
l

(c)

F
l

F
l

(a)

A A
b
h

z

y

A–A
11.3图示矩形截面压杆，有三种支持方式。杆长l＝300mm，截面宽度b＝20mm，高度h＝12mm，弹性模量E＝70Gpa，λ1＝50,λ2＝0，中柔度杆的临界应力公式为σcr＝382MPa – (2.18 MPa)λ。试计算它们的临界载荷，并进行比较。

习题11.3图

解：(a)
(1) 比较压杆弯曲平面的柔度：

长度系数： μ=2

(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

(b)
(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

(2) 压杆仍是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

(c)
(1) 长度系数和失稳平面的柔度：

(2) 压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力

三种情况的临界压力的大小排序：

11.4图示压杆，截面有四种形式。但其面积均为A＝3.2×10mm2， 试计算它们的临界载荷，并进行比较。材料的力学性质见上题。
D

(d)
b

3m

(a)

2b

(c)
d

a

(b)

0.7D

F
a

z

y

z

y

习题11.4图

解：(a)
(1) 比较压杆弯曲平面的柔度：

矩形截面的高与宽：

长度系数：μ=0.5

(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

(b)
(1) 计算压杆的柔度：
正方形的边长：
长度系数：μ=0.5

(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

(c)
(1) 计算压杆的柔度：
圆截面的直径：

长度系数：μ=0.5

(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力：

(d)
(1)计算压杆的柔度：
空心圆截面的内径和外径：

长度系数：μ=0.5

(2) 压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；

四种情况的临界压力的大小排序：

11.5图示压杆，横截面为b×h的矩形， 试从稳定性方面考虑，确定h/b的最佳值。当压杆在x–y平面内失稳时，可取μy＝0.7。
x
y
x
z
h
l
b

习题11.5图

解：(1) 在x–z平面内弯曲时的柔度；

(2) 在x–y平面内弯曲时的柔度；

(3) 考虑两个平面内弯曲的等稳定性；

11.6图示结构AB为圆截面杆，直径d=80 mm，A端固定，B端与BC直杆球铰连接。BC为正方形截面，边长a=70 mm，C端也是球铰。两杆材料相同，弹性模量E＝70Gpa，比例极限σp＝200MPa，长度l＝3m。求该结构的临界力。
A
B
C
P
1.5l
l

习题11.6图

解：(1)计算AB和BC杆的柔度：

(2)比较和确定计算的压杆：因为，所以AB杆的稳定性比BC杆差，选AB杆计算；
(3) 判别压杆的性质并计算临界力：

，AB是细长压杆；

11.7图示托架中AB的直径d＝4cm，长度l＝80cm，两端可视为铰支，材料是Q235钢。
(1)试按杆AB的稳定条件求托架的临界力Qcr；
(2)若已知实际载荷Q＝70kN，稳定安全系数[nst]=2，问此托架是否安全？
A
Q
D
C
B
0.6m
0.3m
0.8m

习题11.7图

解：（1）受力分析
以梁CD为研究对象，由静力平衡方程可求得

（2）AB压杆的柔度

（3）判别压杆的性质并计算临界力：
由Q235钢，E＝210 GPa，比例极限σp=200MPa，屈服极限σs=240Mpa，a=310 Mpa，b＝1.14 MPa。

AB杆为中长杆
（4）计算临界压力

（5）稳定性校核

不满足稳定要求。

思考题参考答案
11.1 (A) 11.2 (D) 11.3 (C) 11.4 (A) 11.5 (D) 11.6 (D) 11.7 (B) 11.8 (C)

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