第二章-期权定价说课材料.doc

第二章 期权定价

精品资料
第二章 期权定价
自从期权交易产生以来，尤其是股票期权交易产生以来，学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年，美国芝加哥大学教授 F. Black和M. Scholes发表《期权定价与公司负债》一文，提出了著名的Black-Scholes期权定价模型，在学术界和实务界引起强烈的反响，Scholes并由此获得1997年的诺贝尔经济学奖。在他们之后，其他各种期权定价模型也纷纷被提出，其中最著名的是1979年由J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人提出的二叉树模型。在本章中，我们将介绍以上这两个期权定价模型，并对其进行相应的分析和探讨。
第一节 二叉树与风险中性定价
对期权定价的研究而言，Black-Scholes模型的提出是具有开创性意义的。然而，由于该模型涉及到比较复杂的数学问题，对大多数人而言较难理解和操作。1979年，J. Cox、S. Ross和M. Rubinstein三人发表《期权定价：一种被简化的方法》一文，用一种比较浅显的方法导出了期权定价模型，这一模型被称为“二叉树定价模型（the Binomial Model）”，是期权数值定价方法的一种。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以加以应用。同时，它应用相当广泛，目前已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。
1.1 二叉树模型概述
二叉树（binomial tree）是指用来描述在期权存续期内股票价格变动的可能路径。二叉树定价模型假定股票价格服从随机漫步，股票价格的波动只有向上和向下两个方向，且在树形的每一步，股票价格向上或者向下波动的概率和幅度保持不变。
案例1.1 现有一只股票，当前价格为10元；我们还知道3个月后该只股票的价格变化仅有两种可能性，即可能涨至12元，也可能跌到8元。那么以该只股票为标的，行权价为11元，3个月后到期的看涨期权现在的价格应该是多少呢？也就是说，我们现在要对上面这个期权进行定价。

根据第一章我们学到的知识，不难得出： 3个月后，如果股票上涨至12元，则该股票期权的价格应为1元，如果股票下跌至8元，则该股票期权的价格应为0元。这些可以通过下图的二叉树来表示。
股票价格=10元
期权价格=？
股票价格=12元
期权价格=1元
股票价格=8元
期权价格=0元

图2-1
现在我们来考虑建立一个无风险投资组合，这个投资组合由两部分组成：买入只该股票，同时卖出一份以该股票为标的的看涨期权，即同时持有只股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸。我们假设市场上不存在套利机会，因此我们总能找到一个，使得该投资组合是无风险组合。
我们接下来计算出使得该组合无风险的。当股票价格由10元上涨为12元时，组合中股票头寸的价值为12，期权头寸的价值为-1元（我们持有的是空头头寸），该组合的整体价值则为12-1；当股票价格由10元下跌至8元时，组合中股票头寸的价值为8，期权头寸的价值为0，该组合的整体价值为8。只有当该投资组合在上述两种情况下的终端价值相等时，该组合才是无风险组合。即：
12-1=8
=0.25
因此，该无风险投资组合是由0.25只股票的多头持仓和1份看涨期权的空头持仓所构成。注意，在此我们假定了股票是无限可分割的，并且不存在佣金等交易税费。
无套利均衡定价是金融工程学中对金融工具进行定价的基本思路。其基本做法是，构建两个资产组合，若令其终值（期末的价值）相等，则其现值（当前的价值）也一定相等；否则就将产生套利机会，即我们可以卖出现值较高的资产组合，买入现值较低的资产组合，并持有到期，套利者就可以获取无风险收益。
在上例中，如果股票价格上涨为12元，该组合价值为
12×0.25-1=2 元
如果股票价格下跌至8元，则该组合的价值为
8×0.25=2 元
由于该投资组合是无风险的，因此其收益率一定等于无风险收益率。假设当前无风险收益率为4%，那么该组合的现值应为终值2元的贴现值；在此我们使用连续复利进行计算，即该组合的现值为
1.98 元
假定期权当前的价格为，已知股票当前价格为10元，那么该交易组合的现值为
10×0.25-f=2.5-f=1.98元 f=0.52 元
因此，本例中看涨期权当前的价格应为0.52元。
1.2 推广——单步二叉树期权定价
接下来，我们将上面例子得到的结论进行推广。假定股票的当前价格为，看涨期权当前的价格为，该期权的有效期为T；在这段时间内，股票价格或者会从上涨至，或者会从下跌至，其中u>1，0<d<1；相对应地，期权价格为或者。因此，若股票价格上涨，其涨幅为u-1；若股票价格下跌，其跌幅为1-d。如图2-2所示：

图2-2
与上面的例子相同，我们考虑构建一个由只股票的多头持仓和一份期权的空头持仓多组成的无风险投资组合。若股票价格上涨，在期权到期时该组合的价值为

若股票价格下跌，在期权到期时该组合的价值为

令以上两式相等，即
=
可以求出
（式2-1）
由于投资组合是无风险的，其收益率必须等于无风险利率。假定无风险利率为r，那么该投资组合的贴现值为

而该组合的当前价值为

因此有
=
将式2-1中的带入并化简，即可求得期权的价格
（式2-2）
其中
（式2-3）
综上所述，当股票价格的变动路径可由一步二叉树给出时，我们可以用式2-2及式2-3对期权进行定价。当然，用二叉树方法对期权进行定价是建立在一些基本假设上的，如不存在套利机会、不存在交易税费、股票是无限可分割的等。
1.3 风险中性定价
现在我们将式2-2中的p定义为股票价格上涨的概率，看看会得到什么意想不到的收获。
既然p为股票价格上涨的概率，相应地，1-p也就是股票价格下跌的概率；而则为期权价格的数学期望，这样式2-2表达的意思就是：期权的价格等于其期望的贴现。
我们知道，T时刻股票价格的期望为

将式2-3中的p代入后可得
（式2-4）
上式说明：股票价格是按无风险利率增长。这就是说，股票价格上涨的概率为p的假设等价于股票的收益率为无风险利率。
在这里我们引入风险中性定价（risk-neutral valuation）的概念。在一个风险中性世界（risk-neutral world）中，投资者对风险都秉持中性的态度，也就是说投资者对风险不要求任何形式的补偿，因而在这样的世界里，所有证券的期望收益率均等于无风险利率。因此，式2-4同时说明：股票价格上涨的概率为p的假设等价于世界为风险中性世界的假设，P也被称为风险中性概率。式2-2说明：在风险中性世界里，期权的价格等于其数学期望按无风险利率进行贴现所得数值。这就是风险中性定价原理在期权定价领域的重要应用。用上述思想来对资产进行定价就叫做风险中性定价。
案例1.2 现在我们回到本章开头的那个例子，股票当前价格为10元，3个月后股票的价格可能涨至12元，也可能跌至8元。以该只股票为标的，行权价为11元，3个月后到期的看涨期权现在的价格是多少？前面用无套利均衡定价方法进行了计算。现在再用风险中性定价方法进行计算。

首先，我们定义p为风险中性概率。由于在风险中性世界里，股票的期望收益率等于无风险利率，这就意味着p必须要满足

计算可得=0.525，1-=0.475。
因而，3个月后，看涨期权价格为1的概率为0.525，价格为0的概率为0.475，期权价格的数学期望为
0.525×1+0.475×0=0.525
在风险中性世界中，期权的当前价格应等于其期望值以无风险利率进行贴现，因此期权的当前价格为，即0.52元。这与前面的计算结果相同，说明用无套利均衡定价方法与风险中性定价方法计算所得到的结果是一致的。
事实上，我们可以证明，在对期权进行定价时可以放心地假设世界是风险中性的，由此得到的结果不仅在风险中性世界里是正确的，在现实世界也是成立的。
利用风险中性定价原理可以大大简化问题的分析。因为在风险中性世界里，所有资产都要求同的收益率，即无风险利率；而且所有资产的定价都可以运用风险中性概率计算出未来收益的预期值，再以无风险利率贴现得到。最后再将所得到结果放回到现实世界中，就获得了有实际意义的结果。利用风险中性定价方法对金融资产进行定价，其核心环节是构造出风险中性概率。
第二节 两步二叉树期权定价模型
我们可以将以上单步二叉树的分析推广到如图2-3所示的两步二叉树情形。
10
12
8
14.4
9.6
6.4

图2-3
案例2.1 本节仍然沿用上文那个例子，只不过将价格变动由一步扩展到两步，时间周期在原先3个月的基础上延长3个月。股票当前价格为10元，以3个月为一期（即步长为3个月）；在每一步，股票价格均可能上涨20%或者下跌20%，且无风险利率均为4%。那么，以该只股票为标的，行权价为11元，6个月后到期的看涨期权的初始价格是多少？

在此，我们反复使用风险中性定价方法来对这个期权进行定价。在下图中的各个节点，上面的数字代表股票价格，下面的数字代表期权价格。
10
0.919
12
1.768
8
0
14.4
3.4
9.6
0
6.4
0
A
B
C
D
E
F

图2-4
图2-4中最右边节点上的期权价格不难求出：在节点D，股票的价格为，期权价格则为14.4-11=3.4；在节点E和F，期权价格显然为0。由于节点C的价值来自于节点E和F，因此在节点C上期权的价格为也0。
为求节点B上的期权价格，我们将u=1.2，d=0.8，r=4%，和T=0.25代入式2-2，因此节点B上的期权价格为

我们的目的是要计算出节点A上的期权价格。我们现已知期权在节点B上的价格为1.768，在节点C上的价格为0，代入式2-2便可算出期权的初始价格为

假定无风险利率为r，股票的初始价格为，二叉树的步长为T，看涨期权的初始价格为，该期权的有效期为2T；在二叉树的每一步，股票价格或者上涨至初始价格的u倍，或者下跌至初始价格的d倍，其中u>1，0<d<1。根据上面的分析过程，我们很容易得出两步二叉树期权定价模型的一般公式，如图2-5所示：

A
B
C
D
E
F

图2-5
通过反复应用式2-2，我们不难得出：
（式2-5）
（式2-6）
（式2-7）
将式2-5、式2-6代入式2-7，我们得到：
（式2-8）
式2-8完全可以用中性定价理论进行解释。式中、、分别对应于股票价格取上、中、下三个节点上值的概率，期权价格仍然等于其在风险中性世界里的期望收益以无风险利率进行贴现所得数值。
第三节 Black-Scholes期权定价模型
期权定价方面最经典的文献之一是F. Black和M. Scholes于1973年发表的一篇论文，该文提出了经典的Black-Scholes期权定价公式。Black-Scholes期权定价模型的诞生，标志着现代期权理论的建立。这个模型回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的限定性假设，发展了期权定价的均衡模型。
3.1 Black-Scholes期权定价模型的假设条件
Black-Scholes期权定价模型的假设条件如下：
1) 标的资产（以下简称为股票）遵循“几何布朗运动”随机过程，其中（股票价格在单位时间内的期望收益率）和（股票价格的波动率）为常数；
2) 在期权有效期内，标的资产（股票）没有现金收益支付；
3) 证券交易是连续进行的，允许卖空，且所有证券均无限可分割；
4) 无交易税费，不考虑保证金问题；
5) 无风险利率为常数，并对所有期限都是相同的，投资者可以此利率无限制地进行借贷；
6) 不存在无风险套利机会。
3.2 Black-Scholes期权定价公式
在上述假设条件的基础上，Black和Scholes得到了如下欧式看涨期权的一个微分方程：
（式2-9）
其中为无风险利率，S为当前时刻股票价格，为期权价格。
通过解这个微分方程，Black和Scholes得到了如下适用于欧式看涨期权的定价公式：
（式2-10）
其中，

这就是著名的Black-Scholes期权定价公式。其中，c为欧式看涨期权价格，其行权价为；当前时刻为，到期时刻为；为股票价格的波动率，即收益率的标准差；为标准正态分布变量的累计概率分布函数，根据标准正态分布函数特性，我们有。
对于欧式看跌期权，我们可以应用类似的推导而得出Black-Scholes的理论价格是：
（式2-11）
有兴趣的读者可以自行推导，加以验证。
3.3 Black-Scholes期权定价公式的计算
仔细观察式2-10，我们不难发现，Black-Scholes期权定价模型中的期权价格主要取决于以下五个参数：期权行权价、到期期限、股票价格、股票价格波动率和无风险利率。这些参数中，前面三个都是很容易获取的确定数值，只有无风险利率和股票价格波动率需要通过一定的计算求得估计值。
在发达金融市场上，我们很容易获得对无风险利率的估计值。比如在美国，人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值。然而，估计股票价格的波动率比估计无风险利率要困难得多，也更为重要。估计股票价格波动率方法通常有两种：历史波动率法和隐含波动率法。所谓历史波动率就是从标的资产价格的历史数据中计算出价格收益率的标准差。事实上，只要掌握一些统计学中计算样本均值和标准差的基本方法，个人投资者也可以利用股票每天的收盘价信息来简单计算股票价格波动率。
为使读者进一步理解Black-Scholes期权定价模型，我们下面用一个简单的例子，来说明该模型的计算过程。
案例3.1 假设某种不支付红利股票的市价为42元，无风险利率为10%，经估计得到该股票的年波动率为20%，求以该股票为标的资产、行权价为40元、期限为半年的欧式看涨期权和看跌期权价格。

在本例中，可以将式2-10中的相关参数表达如下：S＝42，K＝40，r=0.01，σ=0.2，T=0.5.
计算过程可分为三步：
第一步，先计算出和。

第二步，计算和。由标准正态分布表可查的

则可得

第三步，将上述结果及已知条件代入公式（2-10），这样，欧式看涨期权价格为：

欧式看涨期权价格为：

在Black-Scholes期权公式的实际运用中，人们通常利用Matlab、甚至是Exel等计算机软件来进行计算的。
从实证结果来看，尽管Black-Scholes期权定价公式存在一定偏差，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳模型之一。通常认为，计算错误、参数估计偏差、期权市场价格偏离均衡以及模型本身众多的假设等，都是造成用Black-Scholes期权定价公式估计的期权价格与市场价格存在差异的主要原因。
3.4 涨跌期权平价关系（Put Call Parity）
在上一节中，用Black-Scholes公式得到的欧式看涨和看跌期权的理论价格有一定的对称性。如果用看涨期权的价格减去看跌期权的价格，可以得到下面的关系式：
（式2-12）
这就是欧式涨跌期权在无分红情况下的平价关系。通过这个关系式，如果我们知道看涨或看跌期权的价格，就可以很容易的算出相应的看跌或看涨期权的价格。
我们也可以用更简单的方法，无须公式推导而直接得出这个关系式。在到期日T，不论股价是高于还是低于行权价K的情况，下面的公式都必须成立

这是因为公式的两边在到期日的所得不论在任何股价下都是相同的。如果股价高于行权价：
左边：看涨期权行权，以行权价K换得股票S(T)
右边：看跌期权过期作废，留得股票S(T)
如果股价低于行权价：
左边：看涨期权过期作废，留得现金K元
右边：看跌期权行权，以股票S(T)换得现金K元
有了这个看涨和看跌期权在到期日的关系，在公式两边同时进行无风险折价就马上得到了在零时的平价关系。

本章问答：
欧式看跌期权也可以用二叉树方法进行定价吗？
当然可以。二叉树定价方法既可以用于看涨期权的定价，也可以用于看跌期权的定价，而且分析过程基本相同。
考虑一个两年期的欧式看跌期权，行权价为52元，股票当前价格为50元，步长1年；在每一步，股票价格均可能上涨20%或者下跌20%，且无风险利率均为5%。请读者自行画一画二叉树图求解该看跌期权价格，这里仅给出参考答案：该欧式看跌期权的价格为4.192元。
到目前为止，我们一直讨论的是欧式期权。那么，对于美式期权，如何用二叉树模型进行定价呢？
利用二叉树方法同样可以对美式期权进行定价，但应注意的是，在二叉树的每一个节点上我们均需考虑是否应提前行权。在二叉树的最后节点上，期权的价格与欧式期权的价格是相等的，但对于之前节点上的期权价格，则应取值于下面两个数目中之大者：由式2-2所计算的值；提前行权的收益。
美式期权的定价公式是怎样的呢？
在标的资产无收益情况下，无收益资产美式期权价格与欧式期权价格相等，因此式（2-10）也给出了无收益资产美式看涨期权的价格。
由于美式看跌期权与看涨期权之间不存在严密的平价关系，目前还没有找到一个精确的解析公式来对美式看跌期权进行定价，但可以用其他数值方法进行求解。
对于有收益资产期权应如何进行定价？
实际上，对于有收益资产，如果收益是已知的，或者可以准确地进行预测，那么有收益资产的欧式期权定价并不复杂。
在收益已知情况下，我们可以把股票价格分解成两个部分：期权有效期内已知股息的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于股票支付股息而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格，表示风险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式（2-9）和（2-10）分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
当股票已知收益的现值为I时，我们只要用（S－I）代替式（2-9）和（2-10）中的S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。
当股票收益率为按连续复利计算的固定收益率q时，我们只要将代替式（2-9）和（2-10）中的S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。
对于有收益资产的美式期权，由于有提前执行的可能，我们无法得到精确的解析解，但仍可以用其他数值方法进行求解。

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢15