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2逻辑代数入门基础

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第2章 逻辑代数基础
2.1 概述
一、算术运算和逻辑运算
在数字电路中, 二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。
当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。
二、几个基本概念
1、 逻辑状态表示法
一种状态 高电位 有 真 是 美 生 1 0
另一种状态 低电位 无 假 非 丑 死 0 1
2、两种逻辑体制
1 高电位 低电位
0 低电位 高电位
正逻辑 负逻辑
3、高低电平的规定
正逻辑 负逻辑
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)
与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为：
Ｙ＝ＡＢＣ
开关A，B串联控制灯泡Y
A、B都断开，灯不亮 A断开、B接通，灯不亮。

A接通、B断开，灯不亮。 A、B都接通，灯亮。

两个开关必须同时接通，灯才亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝ＡＢ

功能表

将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：

真 值 表

这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。N个变量,有 种取值组合。

有0出0 全1出1
实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号：
Ｙ＝ＡＢ
逻辑符号

2、或逻辑（或运算）
或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B，C，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…
开关A，B并联控制灯泡Y
A、B都断开，灯不亮。 A断开、B接通，灯亮。
A接通、B断开，灯亮。 A、B都接通，灯亮。
两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：
Ｙ＝Ａ+Ｂ
功能表
真 值 表
有1出1 全0出0

实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：
Y=A+B

3、非逻辑（非运算）
非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A）满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：
Ｙ＝Ａ

开关A控制灯泡Y
A断开，灯亮。 A接通，灯灭。
功 能 表
真 值 表
A
Y
0
1
1
0
有1出0 有0出1

Y=A
实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：
4、复合逻辑运算
（1）与非运算：逻辑表达式为：
有0出1 全1出0

（2）或非运算：逻辑表达式为：
有1出0 全0出1

（3） 与或非运算：逻辑表达式为：
（4）异或运算：逻辑表达式为：
相同出0 不同出1

（5）同或运算：逻辑表达式为：
2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式
一. 定理
割断总非
变* 为 +
变 +为 *

利用真值表很容易证明这些公式的正确性
二 .常用恒等式
2.4 逻辑运算的基本定理
1、代入定理：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入定理。
例如，已知等式 　　　　　　 ，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演定理。例如：
（3）对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶定理。例如：
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。
2.5 逻辑函数极其表示方法
2.5.1 逻辑函数
•Y=F(A,B,C,······)
------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。输入/输出之间是一种函数关系。
注：在二值逻辑中，
输入/输出都只有两种取值0/1。
逻辑函数常用真值表,表达式,卡诺图, 逻辑图和波形图来表示。
一.逻辑函数一般式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。借助于摩根定律和分配律,可以实现它们之间的相互转换。
一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。
二. 逻辑函数标准式
1. 标准与或式
任何逻辑函数利用互补律和分配律都可表示成标准与或式,例
（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。
3个变量A、B、C可组成8个最小项：
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。
3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
最小项的性质：
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。
②任意两个不同的最小项的乘积必为0。
③全部最小项的和必为1。
任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式
对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1 和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。
如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。
将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。
2. 标准或与式
三、卡诺图
把一组变量的全部最小项,分别以平面图上的小方格表示,使几何上相邻的小方格所代表的最小项,在逻辑上也相邻,这样得到的图形叫做卡诺图
1、 卡诺图的形成
（1）、卡诺图的画法
确保行或列变量取值的顺序要按照循环码排列
2. 卡诺图的特点
卡诺图使最小项的逻辑相邻变成了几何相邻。（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）,所以,由图可直接观察相邻项,这就是卡诺图的重要特点。
3、逻辑函数的卡诺图
逻辑函数的卡诺图表示法
（1)、己知逻辑函数表达式画卡诺图
与每一个最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。
（2)、己知真值表画卡诺图
己知逻辑函数真值表, 对应于变量取值的每种组合,函数值为1或为0,则在相同变量卡诺图的对应的方格内填1或填0,就得该逻辑函数的卡诺图。
3）、由函数卡诺图列真值表和写标准与或式
由于真值表, 标准与或式, 卡诺图是逻辑函数的不同表达方式,它们之间有着一一对应的关系,相互转换比较简单。
2.6 逻辑函数的化简方法
与或表达式最简的含义是:
(1)乘积项的个数最少;
(2)在满足乘积项个数最少的条件下,每个乘积项中因子的个数也最少。
2.6.1 公式化简法
公式法化简,就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。求最简与或表达式。
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。
　　若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。
2、吸收法
１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。
如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。
（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。
　如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。
３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。
（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。
４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。
例：化简函数
解：①先求出Y的对偶函数Y＇，并对其进行化简。　
②求Y＇的对偶函数，便得Ｙ的最简或与表达式。
2.6.2 卡诺图化简法
图形化简法是将逻辑函数用卡诺图来表示，利用卡诺图来化简逻辑函数。
一. 化简的依据
在卡诺图上,凡几何上相邻的小方格所代表的最小项,在逻辑上也相邻,因而求和时,可反复应用A+A=1的关系进行合并, 相邻2个方格合并,消去不同的一个因子, 相邻4个方格合并,消去不同的2个因子, 相邻8个方格合并,消去不同的3个因子。一般地讲,相邻2个方格合并,消去不同的n个因子。
二. 化简的步骤
1.以卡诺图表示逻辑函数。
2. 合并相邻的2个小方格,
(1)把逻辑为1的相邻小方格最大限度地画成一个包围圈(方格群);
(2)圈子可重复包围,但每个圈都要有新的方格;
(3)不能漏掉一个方格,如某方格不能与任何方格合并,要单独画一个圈。
3.把每个圈的表达式相加,就得简化后的与或表达式。
例
2.7 具有无关项的逻辑函数极其化简
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
一. 约束项
某些逻辑函数,输入变量的取值存在一定制约关系,这种输入变量的取值所受到的限制,叫做约束
二. 任意项
函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为任意项，也叫做约束项或无关项。
约束项与统称为无关项,是否写入函数式无关紧要,在真值表,卡诺图中,用符号“φ”、“×”或“d”表示。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取1。具体地讲，如果无关项对化简有利，则取1；如果无关项对化简不利，则取0。
不利用随意项的化简结果为：
利用随意项的化简结果为：
本节小结
　　逻辑函数的化简有公式法和图形法等。公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。
真值表

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