2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第3章-第8课时.docx

[基础达标]
一、选择题
1．(2022·龙岩模拟)已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)
A．10 km　　　　　　　　　　 B．10 km
C．10 km D．10 km
解析：选D.

如图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，
∴AC＝10(km)．
2. 两座灯塔A和B与海岸观看站C的距离相等，灯塔A在观看站南偏西40°，灯塔B在观看站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D.由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
3．(2021·高考天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)
A. B.
C. D.
解析：选C.由余弦定理可得
AC＝
＝＝，于是由正弦定理可得＝，于是sin∠BAC＝＝.
4. 如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)(　　)

A．11.4 B．6.6
C．6.5 D．5.6
解析：选B.∵AB＝1 000×1 000×＝ m，
∴BC＝·sin 30°＝ m.
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 km.
∴山高为18－11.4＝6.6 km.
5．一艘海轮从A处动身，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观看灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观看灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．10海里 B．10海里
C．20海里 D．20海里
解析：选A.

如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，依据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
二、填空题
6. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，之后它连续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，且与它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h.

解析：设航速为v n mile/h，
在△ABS中AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45°，
由正弦定理得＝，则v＝32.
答案：32
7. (2021·高考福建卷)如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．

解析：∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
∴BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
∴BD＝.
答案：
8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
解析：

如图，OM＝AOtan 45°＝30(m)，
ON＝AOtan 30°＝×30＝10(m)，
在△MON中，由余弦定理得，
MN＝
＝＝10(m)．
答案：10
三、解答题
9．如图所示，某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观看对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m．求该河段的宽度．

解：∵∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝60°.
由正弦定理得＝，
∴BC＝.

如图，过点B作BD垂直于对岸，垂足为D，则BD的长就是该河段的宽度．在Rt△BDC中，
∵∠BCD＝∠CBA＝45°，sin∠BCD＝，
∴BD＝BCsin 45°＝·sin 45°＝×＝ m，
∴该河段的宽度为 m.
10. (2021·高考课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，
由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝，
故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，
化简得cos α＝4sin α，
所以tan α＝，
即tan ∠PBA＝.
[力气提升]
一、选择题
1．一个大型喷水池的中心有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
解析：选A.设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，依据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.
2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为(　　)
A. 海里/时 B．34 海里/时
C. 海里/时 D．34 海里/时
解析：选A.如图，由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.
在△PMN中，

由正弦定理，得＝，
∴MN＝68×＝34(海里)．
又由M到N所用时间为 14－10＝4(小时)，
∴船的航行速度v＝＝(海里/时)．
二、填空题
3．(2022·郑州模拟)在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________．

解析：如图，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°，∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.又AB＝200 m，∴AC＝ m.
在△ACD中，由余弦定理得，AC2＝2CD2－2CD2·cos 120°＝3CD2，
∴CD＝ AC＝ (m)．
答案： m
4．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km.

解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝60°，∠CBM＝15°，
∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°.
在△AMB中，由正弦定理，得＝，
解得BM＝30.
答案：30
三、解答题
5．在海岸A处，发觉北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃跑，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
解：

如图，设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，
BD＝10t.
在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°.
利用余弦定理可得BC＝.
由正弦定理，得
sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，
得∠ABC＝45°，
即BC与正北方向垂直．于是∠CBD＝120°.
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝
＝＝，
得∠BCD＝30°，
∴∠BDC＝30°.
又＝，
＝，得t＝.
所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船，最少要花小时．
6．(选做题)(2021·高考江苏卷) 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲动身2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.

(1)求索道AB的长．
(2)问：乙动身多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应把握在什么范围内？
解：(1)在△ABC中，由于cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝.
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，
得AB＝·sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙动身t min后，甲、乙两游客距离为d，
此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，
所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
由于0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，
得BC＝·sin A＝×＝500(m)．
乙从B动身时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，
由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处相互等待的时间不超过3 min，乙步行的速度应把握在[，](单位：m/min)范围内．