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第三章测试题
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是( )
A．7米/秒 B．5米/秒
C．6米/秒 D．4米/秒
答案 B
2．若二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导数y＝f′(x)的图象是经过第一、二、三象限的一条直线，则y＝f(x)的图象顶点在( )
A．第一象限 B．其次象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 设f(x)＝ax2＋bx＝a(x2＋x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)，f′(x)＝2ax＋b过第一、二、三象限的一条直线，∴b>0，a>0，∴－<0，－<0，∴顶点在第三象限．
答案 C
3．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析 y′＝3x2－2，∴y′|x＝1＝3×12－2＝1，
∴倾斜角为45°.
答案 B
4．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为，则a等于( )
A．－ B.
C．－ D．－或－
解析 f(x)＝－(x＋1)2＋4.
f(x)的开口向下，对称轴为x＝－1，
当x＝－1，f(－1)＝4>，∴a>－1.
∴f(x)在[a,2]是减函数．
∴f(a)＝，解得a＝－，或a＝－(舍去)．
答案 C
5．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则这样的切线( )
A．有1条 B．有2条
C．多于2条 D．不确定
解析 令f′(x)＝3x2＝3，得x＝±1，故应有2条．
答案 B
6．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析 f′(x)＝2x－2－＝>0，∵x>0，
∴2x2－2x－4>0，即x2－x－2>0.解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.
答案 C
7．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为( )
答案 D
8．定义在(0，＋∞)上的可导函数f(x)满足f′(x)·x<f(x)，且f(2)＝0，则>0的解集为( )
A．(0,2) B．(0,2)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．∅
解析 []′＝<0，
∴为减函数，∵f(2)＝0，∴＝0.
∴>0的解为0<x<2，故选A.
答案 A
9．下列图象中有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导数f′(x)的图象，则f(－1)＝( )
A. B．－
C. D．－或
解析 f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1＝(x＋a)2－1，∵a≠0，∴图象应为(3)．此时f′(0)＝a2－1＝0，又－a>0，∴a<0，∴a＝－1.∴f(－1)＝－.
答案 B
10．已知函数f(x)＝x－sinx，若x1，x2∈[－，]，且f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等式中正确的是( )
A．x1>x2 B．x1<x2
C．x1＋x2>0 D．x1＋x2<0
解析 易知函数f(x)为奇函数，
又f′(x)＝1－cosx≥0，所以函数f(x)为增函数，
由f(x1)＋f(x2)>0⇒f(x1)>－f(x2)
⇒f(x1)>f(－x2)⇒x1>－x2⇒x1＋x2>0.
答案 C
11．曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析 设B(x0，x)，由于y′＝3x2，
故切线l的方程为y－x＝3x(x－x0)，
令y＝0得点A(，0)，
由|OA|＝|AB|，得
()2＝(x0－)2＋(x－0)2，
当x0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x＝，
故x＝，直线l的斜率为3x＝，
故直线l的倾斜角为60°.
答案 C
12．若a，b在区间[0, ]上取值，则函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的概率是( )
A. B.
C. D．1－
解析 易得f′(x)＝3ax2＋2bx＋a，
函数f(x)＝ax3＋bx2＋ax在R上有两个相异极值点的充要条件是a≠0，且其导函数的判别式大于0，即a≠0，且4b2－12a2>0，
又a，b在区间[0，]上取值，则a>0，b>a，
点(a，b)满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为3，阴影部分的面积为，
故所求的概率是.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线相互平行，则x0的值为________．
解析 y＝x2－1的导数为y′＝2x，
y＝1－x3的导数为y′＝－3x2，
∴由题可知2x0＝－3x，∴x0＝0，或x0＝－.
答案 0或－
14．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
解析 f′(x)＝3x2＋a，由题可知f′(x)＝0有两个不等的根，∴a<0.
答案 (－∞，0)
15．若f′(x)＝3x2－6x，且f(0)＝4，则不等式f(x)>0的解集是________．
解析 由题可设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
∴∴
∴f(x)＝x3－3x2＋4＝x3＋x2－4(x2－1)．
＝x2(x＋1)－4(x－1)(x＋1)＝(x＋1)(x－2)2，
∴f(x)>0的解为x>－1，且x≠2.
答案 {x|x>－1，且x≠2}
16．已知函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
解析 由题可知，函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，所以其导函数f′(x)＝＝在(－2，＋∞)上小于零，解得a>6.
答案 (6，＋∞)
三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．
解 f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)
＝3(x－1)2＋3>0，
∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
∴f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)min＝－12；
x＝1时，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值为－12，最大值为2.
18．(12分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8(a∈R)，若f(x)在区间(－∞，0)上是增函数，求a的取值范围．
解 f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－a)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x1＝a，x2＝1.
(1)当a<1时，则x<a或x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(－∞，a)和(1，＋∞)上是增函数．
故当0≤a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．
(2)当a≥1时，则x<1或x>a时，f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，1)和(a，＋∞)上是增函数．
从而f(x)在(－∞，0)上是增函数．
综上可知，当a∈[0，＋∞)时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．
19．(12分)已知函数f(x)＝x3－4x＋m在区间(－∞，＋∞)上有极大值.
(1)求实数m的值；
(2)求函数f(x)在区间(－∞，＋∞)的微小值．
解 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0得，x＝－2，或x＝2.
故f(x)的增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，
减区间为(－2,2)．
(1)当x＝－2时，f(x)取得极大值，
故f(－2)＝－＋8＋m＝，∴m＝4.
(2)由(1)得f(x)＝x3－4x＋4
又当x＝2时，f(x)有微小值f(2)＝－.
20．(12分)已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25 000＋200x＋x2(元)．
(1)要使平均成本最低应生产多少件产品？
(2)若产品以每件500元出售，要使利润最大，应生产多少件产品？
解 (1)设平均成本为y，则y＝＝＋＋200，y′＝－＋.令y′＝0，得x＝1 000.
当x<1 000时，y′<0；
当x>1 000时，y′>0.
∴当x＝1 000时，y取得微小值，也是最小值．
因此，要使平均成本最低，应生产1 000件产品．
(2)设利润为L(x)，则
L(x)＝500x－＝300x－25 000－，
L′(x)＝300－.
令L′(x)＝0，得x＝6 000.
当x<6 000时，L′(x)>0；当x>6 000时，L′(x)<0，
∴当x＝6 000时，L(x)取得极大值，也是最大值．
因此，要使利润最大，应生产6 000件产品．
21．(12分)已知函数f(x)＝x3＋x2－2ax－3，g(a)＝a3＋5a－7.
(1)a＝1时，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，且x∈[－2,0]时，不等式f(x)<g(a)恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2－2x－3，
定义域为R，
f′(x)＝x2－x－2＝(x－2)(x＋1)．
令f′(x)>0，得x<－1，或x>2.
所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)f′(x)＝x2＋(a－2)x－2a＝(x＋a)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2，或x＝－a.
∵函数f(x)在区间[－2,0]上不单调，
∴－a∈(－2,0)，即0<a<2.
又∵在(－2，－a)上，f′(x)>0，
在(－a,0)上，f′(x)<0，
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状况如下表：
x
－2
(－2，－a)
－a
(－a,0)
0
f′(x)
＋
0
－
f(x)
f(－2)
单调递增
极大值
单调递减
f(0)
∴f(x)在[－2,0]上有唯一的极大值点x＝－a.
∴f(x)在[－2,0]上的最大值为f(－a)．
∴当x∈[－2,0]时，不等式f(x)<g(a)恒成立，等价于f(－a)<g(a)．
∴－a3＋×a2＋2a2－3<g(a)．
∴a3＋a2－3<a3＋5a－7.
∴a2－5a＋4<0，解得1<a<4.
综上所述，a的取值范围是(1,2)．
22．(12分)已知函数f(x)＝x2－alnx(a∈R)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，x2＋lnx<x3是否恒成立，并说明理由．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由题意得f′(x)＝x－(x>0)，
∴当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝
＝.
∴当0<x<时，f′(x)<0，
当x>时，f′(x)>0.
∴当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)，单调递减区间为(0，)．
(2)设g(x)＝x3－x2－lnx(x>1)
则g′(x)＝2x2－x－.
∵当x>1时，g′(x)＝>0，
∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
∴g(x)>g(1)＝>0.
即x3－x2－lnx>0，
∴x2＋lnx<x3，
故当x>1时，x2＋lnx<x3恒成立．
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