2021届高考理科数学-解析几何经典精讲(下)课后练习一.docx

解析几何经典精讲（下）
主讲老师：程敏 北京市重点中学数学高级老师

题一：若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2+4y2=4上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为-1．当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；

题二：如图，设A,B是椭圆的两个顶点，直线与相交于点D，与椭圆相交于两点，求四边形面积的最大值．
D
F
B
y
x
A
O
E

题三：问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与椭圆＋y2＝1有且只有一个交点？

题四：设椭圆＋＝1(m>0，n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为________．

题五：设A为椭圆＋y2＝1的右顶点，直线l是与椭圆交于M，N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

解析几何经典精讲（下）
课后练习参考答案
题一：
详解：直线BD：y=-1×(x-1)=-x+1，设AC：y=x+b，
由方程组，得到，
A（x1，y1），C（x2，y2）的中点坐标为，即，
ABCD是菱形，所以AC的中点在BD上，所以，
解得，满足△=5-b2＞0，所以AC的方程为．
题二：
详解：解法一：
D
F
B
y
x
A
O
E

依据点到直线的距离公式和①式知，[.Com]
点到的距离分别为
，
．
又，所以四边形的面积为

，
当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．答案：

解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为

，
当时，上式取等号．所以的最大值为．
题三：t＝3或2
详解：由于椭圆的方程为＋y2＝1(x≠±)．
由消去y得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.
①令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3，∵t>0，∴t＝3.
此时直线l与曲线C有且只有一个公共点．
②令Δ>0且直线2x－y＋t＝0恰好过点(－，0)时，t＝2.
此时直线与曲线C有且只有一个公共点．
综上所述，当t＝3或2时，直线l与曲线C有且只有一个公共点．
题四：＋＝1
详解：抛物线y2＝8x的焦点是(2,0)，∴椭圆的半焦距c＝2即m2－n2＝4，又e＝＝＝，∴m＝4，n2＝12.从而椭圆的方程为＋＝1
题五：
详解：①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y＝kx＋m，M(x1，y1)，N(x2， y2)，
由得x2＋4(k2x2＋2kmx＋m2)＝4，
化简得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝
－＋m2＝.
由于AM⊥AN，
所以·＝y1y2＋(x1－2)(x2－2)＝0，
所以y1y2＋x1x2－2(x1＋x2)＋4＝0，
所以＋＋＋4＝0，
去分母得m2－4k2＋4m2－4＋16km＋4＋16k2＝0，整理得
即12k2＋16km＋5m2＝0，整理得
(2k＋m)(6k＋5m)＝0，所以k＝－，或k＝－m，
当k＝－时，l：y＝－x＋m＝m过定点(2,0)，明显不满足题意；
当k＝－m时，l：y＝－x＋m＝m过定点.
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点(x0,0)，由椭圆的对称性可知△MNA为等腰直角三角形，
所以 ＝2－x0，化简得5x－16x0＋12＝0，
解得x0＝或2(舍)，即此时直线l也过定点.