【全国百强校】江苏省清江中学-2021届高三下学期周练数学试题(4.18)(扫描版).docx

江苏省清江中学2021届高三数学B系列(11)
一、填空题
二、解答题
15．（1）证明：，
，
，
，①
，
若，则由①与冲突，，
①两边同除以得：；
（2）解：由（1）得，，
，，
，，从而．
16． 解：（1）由于∥平面，（第16题图）

E
A
B
C
D
F
易得平面，
平面平面，
所以，
又点是的中点，点在线段上，
所以点为的中点，
由得；
（2）由于，点E是BC的中点，
所以，，
又，平面，
所以平面，
而平面，
所以平面平面AED．

17．解：（1）由题设：投放的药剂质量为，
自来水达到有效净化

或
或，即，
亦即，假如投放的药剂质量为，自来水达到有效净化一共可持续天；
（2）由题设，，，
，
，且，
且，
，， 亦即，投放的药剂质量的取值范围为.
18．解：（1）由已知，，且，所以，，所以，
所以，，.
（2）①由⑴，，，设．
设圆的方程为，将点的坐标代入，得
解得
所以圆的方程为，
即，
由于，当且仅当时，圆的半径最小，
故所求圆的方程为．
②由对称性不妨设直线的方程为．
由得，
，，
，
化简，得，
解得，或，即，或，
此时总有，所以的面积为．
19．解：（1），

由表知道：
①时，时，，
函数的单调增区间为；
②时，时，，时，，
函数的单调增区间为，单调减区间为；
（2）证明：
，

由表知：时，，
时，，
时，，即；
（3），
，
时，，
在上是增函数，
函数存在“保值区间”
关于的方程在有两个不相等的实数根，
令，
则，

时，，
在上是增函数，
，且在图象不间断，
使得，
时，，时，，
函数在上是减函数，在上是增函数，
，，
函数在至多有一个零点，
即关于的方程在至多有一个实数根，
函数是不存在“保值区间”．
20．解：（1）由于数列为等比数列，所以（为常数），
所以为常数，所以数列为等比数列；
（2）由于数列是等比数列，所以（为常数），
所以．则．
所以，即．
由于，所以，则．
所以；．
所以，即．
由于数列是等比数列，所以，即，
把代入化简得，所以数列为等比数列．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21.
B．解：（1）依题意,得，
即，解得，；
（2）设曲线上一点在矩阵的作用下得到曲线上一点，
则，即，
，，
整理得曲线的方程为．
C. 解：已知椭圆的参数方程为.
由题设,可令，其中.
所以，
.
所以，当时，四边形的面积的最大值为.
22. 解: （1）设至少一张中奖为大事，
则顾客中奖的概率；
（2）设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为元，
则可以取，的分布列为：

（3）由（2）的期望为
，
福彩中心能够筹得资金，即，
所以当时，福彩中心可以猎取资金资助福利事业.
23. 解：（1）设，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
故函数有最小值，则恒成立；
（2）取进行验算：
，
，
，
，
猜想：①，，
②存在，使得恒成立．
证明一：对，且，
有

．
又因，故，
从而有成立，即．
所以存在，使得恒成立．
证明二：由（1）知：当时，，
设，，
则，所以，，，
当时，再由二项式定理得：
，
即对任意大于的自然数恒成立，
从而有成立，即．
所以存在，使得恒成立．