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双基限时练(十九)
1．已知logb<loga<logc，则( )
A．2a>2b>2c B．2b>2a>2c
C．2c>2b>2a D．2c>2a>2b
解析 由于函数y＝logx为减函数，因此由logb<loga<logc可得b>a>c，又由于函数y＝2x为增函数，所以2b>2a>2c.
答案 B
2．函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象如下图所示，则a，b，c，d的大小挨次是( )
A．1<d<c<a<b B．c<d<1<a<b
C．c<d<1<b<a D．d<c<1<a<b
解析 由对数函数的性质及图象可知，b>a>1，c<d<1.∴b>a>1>d>c，故选B.
答案 B
3．函数y＝log2的图象( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
解析 ∵f(x)＝log2，
∴f(－x)＝log2＝－log2
＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称．
答案 A
4．下列推断不正确的是( )
A．log23.4<log24.3 B．log67>log76
C．log0.23>log0.33 D．log3π<log0.3π
答案 D
5．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是( )
A. B．(0,1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
解析 f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．
答案 D
6．已知函数f(x)＝ax＋logax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )
A. B.
C．2 D．4
解析 当a>1时，函数y＝ax和y＝logax在[1,2]都是增函数，所以f(x)＝ax＋logax在[1,2]是增函数，
当0<a<1时，函数y＝ax和y＝logax在[1,2]都是减函数，所以f(x)＝ax＋logax在[1,2]是减函数，
由题意得f(1)＋f(2)＝a＋a2＋loga2＝6＋loga2，
即a＋a2＝6，解得a＝2或a＝－3(舍去)．
答案 C
7．已知f(x)＝lnx，x∈(e，e2]，其中e≈2.718 28…，则f(x)的值域为________．
解析 由于f(x)＝lnx在(e，e2]上是增函数．
所以ln e<lnx≤ln e2，即1<lnx≤2，
即f(x)的值域为(1,2]．
答案 (1,2]
8．函数y＝loga(x＋)是奇函数，则a＝______.
解析 ∵定义域为R，又是奇函数，∴f(0)＝0.
即loga＝0，∴＝1，∴a＝.
答案
9．已知实数a，b满足loga＝logb，下列五个关系式：
①a>b>1，②0<b<a<1，③b>a>1，④0<a<b<1，⑤a＝b.其中可能成立的关系式有________(填序号)．
解析 当a＝b＝1；或a＝，b＝；或a＝2，b＝3时，都有loga＝logb.故②③⑤均可能成立．
答案 ②③⑤
10．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝(lnx)3，试比较a，b，c的大小．
解 ∵<x<1，∴－1<lnx<0.
令t＝lnx，则a－b＝t－2t＝－t>0，∴a>b.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
∵－1<t<0，∴0<t＋1<1，t－1<0.
∴t(t＋1)(t－1)>0，即c>a.∴c>a>b.
11．已知函数f(x)＝log2(2＋x2)．
(1)推断f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的值域．
解 (1)由于 2＋x2>0对任意x∈R都成立，
所以函数f(x)＝log2(2＋x2)的定义域是R.
由于f(－x)＝log2[2＋(－x)2]
＝log2(2＋x2)＝f(x)，
所以函数f(x)是偶函数．
(2)由x∈R得2＋x2≥2，
∴log2(2＋x2)≥log22＝1，
即函数y＝log2(2＋x2)的值域为[1，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)其中(0<a<1)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解 (1)要使函数有意义，
则有解之得：－3<x<1，
所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]
＝loga(－x2－2x＋3)
＝loga[－(x＋1)2＋4]，
∵－3<x<1，∴0<－(x＋1)2＋4≤4.
∵0<a<1，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4；
由loga4＝－4，得a－4＝4，∴a＝4＝.
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