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突破练(四)
1．已知函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)图象上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变得到函数h(x)的图象，再将h(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的解析式，并求g(x)在[0，π]上的值域．
解 (1)∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x，
∴f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵f(x)＝2sin (2x＋)＋1h(x)＝2sin ＋1，
∵x∈[0，π]，
∴x－∈[－，]．
∴sin (x－)∈[－，1]．
∴g(x)在[0，π]上的值域为[0,3]．
2．某出租车公司为了解本公司出租车司机对新法规的知晓状况，随机对100名出租车司机进行调查．调查问卷共10道题，答题状况如下表：
答对题目数
[0,8)
8
9
10
女
2
13
12
8
男
3
37
16
9
(1)假如出租车司机答对题目数大于等于9，就认为该司机对新法规的知晓状况比较好，试估量该公司的出租车司机对新法规知晓状况比较好的概率；
(2)从答对题目数少于8的出租车司机中任选出2人做进一步的调查，求选出的2人中至少有一名女出租车司机的概率．
解 (1)答对题目数小于9的人数为55，记“答对题目数大于等于9”为大事A，
P(A)＝1－＝0.45.
(2)设答对题目数小于8的司机为A、B、C、D、E，其中A、B为女司机，任选出2人包含AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种状况，至少有一名女出租车司机的大事为AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE，共7种．
记“选出的2人中至少有一名女出租车司机”为大事M，则P(M)＝＝0.7.
3．已知四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝2，且底面ABCD是边长为1的正方形．E是最短的侧棱PC上的动点．
(1)求证：P、A、B、C、D五点在同一个球面上，并求该球的体积；
(2)假如点F在线段BD上，DF＝3BF，且EF∥平面PAB，求的值．
(1)证明 设PA的中点为M，连接AC，CM，则△PAC为直角三角形，
∴CM＝PM＝AM＝.
设正方形ABCD的中心为点O，连接OM，则OM∥PC，OM＝1，∵PC⊥底面ABCD，
∴OM⊥底面ABCD，又O为BD的中点，连接BM，DM，
则BM＝DM＝＝，∴CM＝PM＝AM＝BM＝DM，故点P、A、B、C、D在以M为球心，半径为的球上，且V球M＝π()3＝π.
(2)解 连接CF并延长交AB于K，连接PK.
∵EF∥平面PAB，EF⊂平面PCK，
平面PCK∩平面PAB＝PK，
∴EF∥PK，∵DF＝3BF，又AB∥CD，∴CF＝3KF.
∵EF∥PK，∴CE＝3PE，∴＝.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3n·bn＋1＝(n＋1)an＋1－nan，且b1＝3.
(1)求an，bn；
(2)设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn.
解 (1)当n≥2时，Sn＝an＋n2－1，Sn－1＝an－1＋(n－1)2－1，
两式相减，得an＝an－an－1＋2n－1，∴an－1＝2n－1，
∴an＝2n＋1，
∴3n·bn＋1＝(n＋1)(2n＋3)－n(2n＋1)＝4n＋3，
∴bn＋1＝.
∴当n≥2时，bn＝，又b1＝3适合上式，
∴bn＝.
(2)由(1)知，bn＝，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝3＋＋＋…＋－
＝3＋4×－＝5－，
∴Tn＝－.
5．已知点M(－1,0)，N(1,0)，动点P(x，y)满足：|PM|＋|PN|＝2.
(1)求P的轨迹C的方程；
(2)是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C上存在点Q，使四边形OAQB为平行四边形？若存在，求出直线l的方程．
解 (1)由|PM|＋|PN|＝2知道曲线C是以M，N为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，b＝，所以曲线C的方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由题意知l的斜率肯定不为0，故不妨设l：x＝my＋1，代入椭圆方程整理得
(2m2＋3)y2＋4my－4＝0，
明显Δ＞0，则①
假设存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，其充要条件为＝＋，则点Q的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．由点Q在椭圆上，即＋＝1.
整理得2x＋3y＋2x＋3y＋4xx21＋6y1y2＝6.
又A、B在椭圆上，即2x＋3y＝6,2x＋3y＝6.
故2x1x2＋3y1y2＝－3，②
所以x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1，
将①②代入上式解得m＝±.
即直线l的方程是：x＝±y＋1，即2x±y－2＝0.
6．已知f(x)＝ex＋ax－1(e为自然对数)
(1)当a＝1时，求过点(1，f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x－1，f(1)＝e，
f′(x)＝ex＋1，f′(1)＝e＋1，
∴函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为
y－e＝(e＋1)(x－1)，
即y＝(e＋1)x－1，
设切线与x、y轴的交点分别为A，B，
令x＝0，得y＝－1；令y＝0，得x＝.
∴A(，0)，B(0，－1)．
∴S△OAB＝××1＝.
(2)由f(x)≥x2得
a≥，
令h(x)＝＝＋x－，
则h′(x)＝1－－＝，
令k(x)＝x＋1－ex，k′(x)＝1－ex，∵x∈(0,1)，∴k′(x)＝1－ex＜0，k(x)在x∈(0,1)为减函数，∴k(x)＜k(0)＝0，又∵x－1＜0，x2＞0，
∴h′(x)＝>0，
∴h(x)在x∈(0,1)为增函数，h(x)＜h(1)＝2－e，因此只需a≥2－e.
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