2021-2022学年高二人教版数学必修5双基限时练1正弦定理-Word版含答案.docx

双基限时练(一)
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．4
解析　①②③不正确，④⑤正确．
答案　B
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4 B．2
C. D.
解析　由正弦定理，得＝，即AC＝＝＝2.
答案　B
3．在△ABC中，已知b＝，c＝1，B＝45°，则a等于(　　)
A. B.
C.＋1 D．3－
解析　由正弦定理，得sinC＝＝＝，又b>c，
∴C＝30°，从而A＝180°－(B＋C)＝105°，∴a＝，得a＝.
答案　B
4．在△ABC中，已知3b＝2asinB，cosB＝cosC，则△ABC的外形是(　　)
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析　利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝，A＝，或，但由其次个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．
答案　B
5．在△ABC中，若a＝2bsinA，则B等于(　　)
A．30°　　　　　　　 B． 60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析　∵a＝2bsinA，
∴sinA＝2sinBsinA.
∵sinA≠0，∴sinB＝，
又0°<B<180°，∴B＝60°，或120°.
答案　D
6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则＝________.
解析　设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，由正弦定理，得
＝＝1.
答案　1
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则边c＝________.
解析　由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，
由＝，得c＝＝＝2.
答案　2
8．在△ABC中，若tanA＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.
解析　∵tanA＝，∴sinA＝ .
在△ABC中，＝，
∴AB＝·sinC＝×＝.
答案　
9．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，则abc＝________.
解析　由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1:2:3，知A＝180°×＝30°，B＝180°×＝60°，C＝180°×＝90°.
∴a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝：：1＝1：：2.
答案　1：：2
10．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.
(1)求cos∠CBE的值；
(2)求AE.

解　(1)∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°.
∴cos∠CBE＝cos15°＝cos(45°－30°)＝.
(2)在△ABE中，AB＝2，
由正弦定理，得
＝，
故AE＝＝＝－.
11．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求的取值范围．
解　∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B.
∵2A,2B∈(0,2π)，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，
∴A＝B，或A＋B＝.
假如A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝.
∴＝＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA
＝sin.
∵a≠b，C＝，∴A∈，且A≠，
∴∈(1，)．
12．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝.
(1)求sinA；
(2)设AC＝，求△ABC的面积．
解　(1)∵sin(C－A)＝1，－π<C－A<π，
∴C－A＝.
∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋＝π，
∴B＝－2A，∴sinB＝sin＝cos2A＝.
∴1－2sin2A＝.
∴sin2A＝，∴sinA＝.
(2)由(1)知，A为锐角，∴cosA＝，
sinC＝sin＝cosA＝，
由正弦定理得AB＝＝＝6.
S△ABC＝AB·AC·sinA＝×6××＝3.