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阶段回扣练5 数 列
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题
1．(2021·北京海淀区一模)在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－5，则a1－a2－a3－a4＝
( )
A．－14 B．－9 C．11 D．16
解析 在等差数列中，a3＝a1＋2d，即－5＝1＋2d，故d＝－3，则a2＝－2，a4＝－8，所以a1－a2－a3－a4＝16.
答案 D
2．在等比数列{an}中，a1＋a3＝5，a2＋a4＝10，则a7＝
( )
A．64 B．32 C．16 D．128
解析 由已知得
解得故a7＝a1q6＝26＝64.
答案 A
3．(2021·合肥一模)以Sn表示等差数列{an}的前n项和，若a2＋a7－a5＝6，则S7＝
( )
A．42 B．28 C．21 D．14
解析 依题意得a2＋a7－a5＝(a5＋a4)－a5＝a4＝6，S7＝＝7a4＝42，故选A.
答案 A
4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于
( )
A．15 B．12 C．－12 D．－15
解析 由题意知，a1＋a2＋…＋a10
＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10×(3×10－2)
＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.
答案 A
5．(2021·合肥质量检测)已知数列{an}的前n项和为Sn，并满足：an＋2＝2an＋1－an，a5＝4－a3，则S7＝
( )
A．7 B．12 C．14 D．21
解析 依题意，数列{an}是等差数列，且a3＋a5＝4，S7＝＝＝14，故选C.
答案 C
6．(2022·海口调研)已知等差数列{an}，前n项和用Sn表示，若2a5＋3a7＋2a9＝14，则S13等于
( )
A．26 B．28 C．52 D．13
解析 依题意得7a7＝14，a7＝2，S13＝＝13a7＝26，故选A.
答案 A
7．设{an}是等比数列，函数y＝x2－x－2 013的两个零点是a2，a3，则a1a4＝
( )
A．2 013 B．1 C．－1 D．－2 013
解析 由题意可知，a2，a3是x2－x－2 013＝0的两根，由根与系数的关系可得，a2a3＝－2 013，依据等比数列的性质可知a1a4＝a2a3＝－2 013.
答案 D
8．(2022·荆州质检)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20＝
( )
A．80 B．160 C．320 D．640
解析 由题意可知，a＝a3a7，由于{an}是等差数列，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋6d)，解得a1＝－d(d＝0舍去)，又S10＝10a1＋d＝60，所以a1＋d＝6，从而d＝2，a1＝－3.所以S20＝20a1＋d＝－60＋20×19＝320.
答案 C
二、填空题
9．(2022·深圳调研)数列{an}满足a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，则a6＝________.
解析 由题意得a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝3，a5＝a4＋a3＝5，a6＝a5＋a4＝8.
答案 8
10．(2021·惠州调研)在等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若{an}的前n项和Sn＝127，则n的值为________．
解析 由题意知Sn＝＝2n－1＝127，解得n＝7.
答案 7
11．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则的值为________．
解析 设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，
∴a1q2＝a1＋2a1q.∴q2－2q－1＝0.∴q＝1±.
∵各项都是正数，∴q＞0.
∴q＝1＋.
∴＝q2＝(1＋)2＝3＋2.
答案 3＋2
12．已知数列{an}满足an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，则{an}的前n项和Sn＝________.
解析 ∵an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
答案 2n＋1－2－n
13．(2021·南通模拟)在数列{an}中，若a－a＝p(n≥1，n∈N*，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的推断：
①若{an}是等方差数列，则{a}是等差数列；
②{(－1)n}是等方差数列；
③若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
其中真命题的序号为________．
解析 ①正确，由于a－a＝p，所以a－a＝－p，于是数列{a}为等差数列．②正确，由于(－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n}为等方差数列．③正确，由于a－a＝(a－a)＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)＝kp，则{akn}(k∈N*，k为常数)也是等方差数列．
答案 ①②③
14．(2022·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.
解析 由BC＝2得AB＝a1＝2⇒AA1＝a2＝⇒A1A2＝a3＝×＝1，由此可归纳出{an}是以a1＝2为首项，为公比的等比数列，因此a7＝a1×q6＝2×6＝.
答案
15．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
………………
依据以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
解析 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
答案
三、解答题
16．(2022·重庆卷)已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
(1)求an及Sn；
(2)设{bn}是首项为2的等比数列，公比q满足q2－(a4＋1)q＋S4＝0.求{bn}的通项公式及其前n项和Tn.
解 (1)由于{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－1.
故Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＝＝＝n2.
(2)由(1)得a4＝7，S4＝16.由于q2－(a4＋1)q＋S4＝0，即q2－8q＋16＝0，所以(q－4)2＝0，从而q＝4.
又由于b1＝2，{bn}是公比q＝4的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝2×4n－1＝22n－1.
从而{bn}的前n项和Tn＝＝(4n－1)．
17．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
解 (1)∵S＝an，
an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，①
由题意得Sn－1·Sn≠0，
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，
∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
(2)∵bn＝＝
＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
18．直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N*.数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由题意，知圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，
半径rn＝，
所以an＋1＝2＝r－d＝(2an＋n)－n＝2an.
又a1＝1，所以an＝2n－1.
(2)当n为偶数时，Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)
＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)
＝＋＝＋(2n－1)．
当n为奇数时，n＋1为偶数，
Tn＋1＝＋(2n＋1－1)
＝＋(2n＋1－1)．
19．(2022·广州综测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋pn＋q(p，q∈R)，且a2，a3，a5成等比数列．
(1)求p，q的值；
(2)若数列{bn}满足an＋log2n＝log2bn，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)当n＝1时，a1＝S1＝1＋p＋q，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝n2＋pn＋q－[(n－1)2＋p(n－1)＋q]
＝2n－1＋p.
∵{an}是等差数列，
∴1＋p＋q＝2×1－1＋p，得q＝0.
又a2＝3＋p，a3＝5＋p，a5＝9＋p，
∵a2，a3，a5成等比数列，
∴a＝a2a5，即(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p)，
解得p＝－1.
(2)由(1)得an＝2n－2.
∵an＋log2n＝log2bn，
∴bn＝n·2an＝n·22n－2＝n·4n－1.
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn
＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n－1)·4n－2＋n·4n－1，①
4Tn＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，②
①－②得－3Tn＝40＋41＋42＋…＋4n－1－n·4n
＝－n·4n＝.
∴Tn＝[(3n－1)·4n＋1]．
20．已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立．
解 (1)由已知，得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1，
所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)．
又a2－a1＝1，
所以数列{an}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列．
所以an＝n＋1.
又bn＋1＋2＝4(bn＋2)，
所以{bn＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列．
所以bn＝4n－2.
(2)由于an＝n＋1，bn＝4n－2，
所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1>cn成立，
需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋1>0恒成立，
所以3·4n－3λ(－1)n－12n＋1>0恒成立．
所以(－1)n－1λ<2n－1恒成立．
①当n为奇数时，即λ<2n－1恒成立，
当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ<1；
②当n为偶数时，即λ>－2n－1恒成立，
当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2.
所以λ>－2，即－2<λ<1.又λ为非零整数，则λ＝－1.
综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1>cn成立.
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