2021高考数学(江苏专用-理科)二轮专题整合：1-1-4导数的简单应用.docx

第4讲导数的简洁应用一、填空题1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为_解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1答案(0,12(2022扬州质量检测)已知函数f(x)的导函数f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是_解析由于f(x)在xa处取到极大值，所以xa为f(x)的一个零点，且在xa的左边f(x)0，右边f(x)0，所以导函数f(x)的开口向下，且a1，即a的取值范围是(1,0)答案(1,0)3已知函数yf(x)(xR)的图象如图所示，则不等式xf(x)0的解集为_解析xf(x)0或当x时，f(x)单调递减，此时f(x)0.答案4已知函数f(x)x3ax2x2(a0)的极大值点和微小值点都在区间(1,1)内，则实数a的取值范围是_解析由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1，1)内由于f(x)3x22ax1，所以依据导函数图象可得又a0，解得a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_解析依题意知f(x)12x22ax2b，f(1)0，即122a2b0，ab6.又a0，b0，ab29，当且仅当ab3时取等号，ab的最大值为9.答案9二、解答题9已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)争辩f(x)的单调性，并求f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)，令f(x)0，得x2或ln ，列表：x(，2)2ln f(x)00f(x)极大值微小值yf(x)在(，2)，上单调递增；在上单调递减故f(x)极大值f(2)44e2.10(2022上饶模拟)已知f(x)2ax(2a)ln x(a0)(1)当a1时，求f(x)的极值；(2)当a0时，争辩f(x)的单调性解(1)当a1时，f(x)2x3ln x，f(x)2(x0)，令f(x)0，得x1，x21.当0x时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.可知f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，)上是增函数f(x)的极大值为f3ln 21，f(x)的微小值为f(1)1.(2)f(x)2ax(2a)ln xf(x)2a(2a).当0a2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数；当a2时，f(x)在(0，)上是增函数；当a2时，f(x)在和上是增函数，在上是减函数11(2022安徽卷)设函数f(x)1(1a)xx2x3，其中a0.(1)争辩f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x0,1时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值解(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)1a2x3x2.令f(x)0，得x1，x2，x1x2.所以f(x)3(xx1)(xx2)当xx2时，f(x)0；当x1x0.故f(x)在(，x1)和(x2，)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增(2)由于a0，所以x10.当a4时，x21，由(1)知，f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值当0a4时，x21，由(1)知，f(x)在0，x2上单调递增，在x2,1上单调递减，所以f(x)在xx2处取得最大值又f(0)1，f(1)a，所以当0a1时，f(x)在x1处取得最小值；当a1时，f(x)在x0处和x1处同时取得最小值；当1a4时，f(x)在x0处取得最小值