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综合测评(三) 函数的应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下函数在区间(0，2)上必有零点的是( )
A．y＝x－3 B．y＝2x
C．y＝x3 D．y＝lgx
【解析】 画出A、B、C、D四个选项的函数图象可知，只有D选项中y＝lgx在区间(0，2)上有零点．
【答案】 D
2．已知函数f(x)＝ax－2(a＞0，a≠1)，f(x0)＝0且x0∈(0，1)，则( )
A．a＝2 B．1＜a＜2
C．a＞2 D．a≥2
【解析】 ∵x0∈(0，1)，∴f(0)·f(1)＜0，
即(1－2)(a－2)＜0，∴a＞2.
【答案】 C
3．用二分法求方程f(x)＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x0时，经计算得f(1)＝，f(2)＝－5，f＝9，则下列结论正确的是( )
A．x0∈
B．x0＝
C．x0∈
D．x0∈或x0∈
【解析】 ∵f(2)·f<0，∴x0∈.
【答案】 C
4．依据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1，0) B．(0，1)
C．(1，2) D．(2，3)
【解析】 设f(x)＝ex－(x＋2)，则由题设知f(1)＝－0.28＜0，f(2)＝3.39＞0，故有一个根在区间(1，2)内．故选C.
【答案】 C
图1
5．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满，在注水过程中，时刻t与水面高度y的函数关系如图1所示，图中PQ为一线段，则与之对应的容器的外形是图中的( )
【解析】 由函数图象知，水面高度y上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器外形知选B.
【答案】 B
6．(2022·桂林高一检测)已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( )
A．a<α<b<β B．a<α<β<b
C．α<a<b<β D．α<a<β<b
【解析】 ∵α，β是函数f(x)的两个零点，
∴f(α)＝f(β)＝0.
又f(a)＝f(b)＝－2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a，b必在α，β之间．
故选C.
【答案】 C
7．函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，得x＝－3；当x>0时，令－2＋lnx＝0，得x＝e2.所以函数有两个零点．故选C.
【答案】 C
8．函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是( )
A．(0，1) B．(1，10)
C．(10，100) D．(100，＋∞)
【解析】 ∵f(1)＝－1＜0，f(10)＝1－＝＞0，
∴f(1)·f(10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f(x)＝lg x－的零点所在的区间是(1，10)，故选B.
【答案】 B
9．已知a是函数f(x)的一个零点，且x1＜a＜x2，则( )
A．f(x1)·f(x2)＞0 B．f(x1)·f(x2)＜0
C．f(x1)·f(x2)≥0 D．以上都不对
【解析】 定理的逆定理不成立，故f(x1)f(x2)的值不确定．
【答案】 D
图2
10．如图2，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的( )
【解析】 设AB＝a，则y＝a2－x2＝－x2＋a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.
【答案】 C
11．函数f(x)＝|x|＋k有两个零点，则( )
A．k＝0 B．k＞0
C．0≤k＜1 D．k＜0
【解析】 在同一平面直角坐标系中画出y1＝|x|和y2＝－k的图象，如图所示．若f(x)有两个零点，则必有－k＞0，即k＜0.
【答案】 D
12．已知0<a<1，则方程a|x|＝|logax|的实根个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．与a的值有关
【解析】
设y1＝a|x|，y2＝|logax|，分别做出它们的图象如右图所示，
由图可知，有两个交点，故方程a|x|＝|logax|有两个根．故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分共20分，将答案填在题中的横线上)
13．函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点个数是________．
【解析】 分别作出y1＝ln(x＋1)和y2＝的图象，观看两函数图象交点的个数即得答案．
【答案】 2
14．已知函数y＝logx与y＝kx的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，那么k的值为________．
【解析】 当x＝2时，y＝log2＝－，
∴点在y＝kx上，
∴k＝－.
【答案】 －
15．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2，4)上的实数根的近似值时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
【解析】 设f(x)＝x3－2x－5，则f(2)＜0，f(3)＞0，f(4)＞0，故f(2)·f(3)＜0，则下一个有根区间是(2，3)．
【答案】 (2，3)
16．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km.
【解析】 设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：
f(x)＝
令f(x)＝22.6，明显9＋5×2.15＋(x－8)×2.85＝22.6(x>8)，解得x＝9.
【答案】 9
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2022·福州高一检测)若二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，求实数a的取值范围．
【解】 由于二次函数f(x)＝－x2＋2ax＋4a＋1的图象开口向下，且在区间(－∞，－1)，(3，＋∞)内各有一个零点，所以
即
即解得a>.
18．(本小题满分12分)(2022·宿迁高一检测)已知函数f(x)＝2|x－1|－x＋1.
(1)请在所给的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象．
(2)依据函数f(x)的图象回答下列问题：
①求函数f(x)的单调区间；
②求函数f(x)的值域；
③求关于x的方程f(x)＝2在区间[0，2]上解的个数．
(回答上述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤)
图3
【解】 (1)当x－1≥0时，f(x)＝2(x－1)－x＋1＝x－1，
当x－1＜0时，f(x)＝2(1－x)－x＋1＝3－3x.
(2)①函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)；
函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1]；
②函数f(x)的值域为[0；＋∞)；
③方程f(x)＝2在区间[0，2]上解的个数为1.
19．(本小题满分12分)旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则赐予优待，每多1人，每张机票的价格削减10元，但旅游团的人数最多有75人．
(1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式；
(2)旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
【解】 (1)设旅游团人数为x，飞机票价格为y元．当30＜x≤75时，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200.故所求函数为y＝
(2)设利润函数为f(x)，则f(x)＝y·x－15000＝
当1≤x≤30时，f(x)max＝f(30)＝12000；
当30＜x≤75时，f(x)max＝f(60)＝21000＞12000.
故旅游团的人数为60时，旅游社可获得最大利润．
20．(本小题满分12分)某公司制定了一个激励销售人员的嘉奖方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行嘉奖；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行嘉奖．记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出资金y关于销售利润x的关系式；
(2)假如业务员老江获得5.5万元的资金，那么他的销售利润是多少万元？
【解】 (1)由题意知y＝
(2)由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
2log5(x－9)＝4，
log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，
解得x＝34.
所以，老江的销售利润是34万元．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2.
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0，1]时，求函数f(x)的值域．
【解】 (1)∵f(x)的两个零点是－3和2，
∴函数图象过点(－3，0)，(2，0)，
∴有9a－3(b－8)－a－ab＝0，①
4a＋2(b－8)－a－ab＝0.②
①－②得b＝a＋8.③
③代入②得4a＋2a－a－a(a＋8)＝0，
即a2＋3a＝0.
∵a≠0，∴a＝－3，
∴b＝a＋8＝5.
∴f(x)＝－3x2－3x＋18.
(2)由(1)得f(x)＝－3x2－3x＋18
＝－3＋＋18，
图象的对称轴方程是x＝－，又0≤x≤1，
∴f(x)min＝f(1)＝12，f(x)max＝f(0)＝18，
∴函数f(x)的值域是[12，18]．
22．(本小题满分12分)(2022·成都高一检测)今年冬季，我国大部分地区患病雾霾天气，给人们的健康、交通平安等带来了严峻影响．经争辩，发觉工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P(t)＝P0e－kt(P0，t均为非零常数，e为自然对数的底数)，其中P0为t＝0时的污染物数量．若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k的值．
(2)试计算污染物削减到40%至少需要多少时间．(精确到1小时，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4＝－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)
【解】 (1)由已知，当t＝0时，P＝P0；
当t＝5时，P＝90%P0.
于是有90%P0＝P0e－5k，
解得k＝－ln 0.9(或0.022)．
(2)由(1)，知P＝P0et，当P＝40%P0时，
有0.4P0＝P0et，
解得t＝≈＝≈42.
故污染物削减到40%至少需要42小时．
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