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课时提升作业(二十八)
数列的概念与简洁表示法
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列说法正确的是 ( )
A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列
C.数列{n+1n}的第k项为1+1k
D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}
【解析】选C.由数列的定义可知,数列与集合不同.选项A错,数列中的数与挨次有关,选项B错,D应为{2n-2},由于an=n+1n=1+1n,所以ak=1+1k,故选C.
2.数列3,7,11,15,…的一个通项公式是 ( )
A.an=4n+1 B.an=2n+1
C.an=2n+3 D.an=4n-1
【解析】选D.由于7-3=11-7=15-11=4.
即an2-an2-1=4,
所以an2=3+(n-1)×4=4n-1,
所以an=4n-1.
故选D.
3.已知数列{an}的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的 ( )
A.第3项 B.第4项
C.第5项 D.第6项
【解析】选C.令log2(n2+7)=5,则n2+7=25=32,所以n2=25,由n∈N*得n=5.
4.(2021·重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是
( )
A.2n-1 B.n+1nn-1
C.n2 D.n
【解析】选D.由于an=n(an+1-an),所以an+1an=n+1n,
所以an=anan-1×an-1an-2×an-2an-3×…×a3a2×a2a1×a1=nn-1×n-1n-2×n-2n-3×…×32×21×1=n.
5.(2021·北京模拟)已知an=13n,把数列{an}的各项排列成如图的三角形外形.
a1
a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
………………………
记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=( )
A.1393 B.1392
C.1394 D.13112
【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+…+17=(1+17)×92=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又由于an=13n,所以A(10,12)=a93=1393.
【加固训练】(2021·盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
第4行
32
30
28
26
…
…
…
…
…
…
依据表中的规律,偶数2022应在第 行第 列.
【解析】表中每一行4个数,由于都是偶数,所以2022÷2÷4=251余3,从表格可知奇数行从第2列开头,从小到大排列,偶数行从第一列开头,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.
答案:252 2
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2021·临沂模拟)数列{an}中,已知an+1+an=2n-3,若a4=16,则a1= .
【解析】由递推公式,得16+a3=2×3-3,
a3=-13,
-13+a2=2×2-3,
a2=14,
14+a1=2×1-3,
a1=-15.
答案:-15
【加固训练】已知数列{an}对于任意p,q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=19,则a36=( )
A.136 B.19 C.1 D.4
【解析】选D.由于ap+q=ap+aq,
所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4
=8a4+a4=18a2=36a1=4.
7.在数列{an}中,若a1=12,an= (n≥2,n∈N*),则a2021= .
【解析】由于a1=12,an=(n≥2,n∈N*),
所以a2=2,a3=-1,a4=12.所以{an}是以3为周期的数列.所以a2021=a671×3+2=a2=2.
答案:2
【加固训练】(2021·黄冈模拟)已知数列{an},若a1=b(b>0),an+1=-1an+1(n∈N*),则能使an=b成立的n的值可能是 ( )
A.14 B.15 C.16 D.17
【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-1a1+1=-1b+1,
a3=-1a2+1=-b+1b,a4=-1a3+1=b,
a5=-1a4+1=-1b+1,a6=-1a5+1=-b+1b,…,
所以数列{an}的周期为3,再依据a1=a4=b,
观看选项可知a16=b,故选C.
8.(2021·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式是an=则a3a4= .
【解析】由已知得a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54,
所以a3a4=1×54=54.
答案:54
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减得an=3n.当n=1时,符合上式.所以an=3n(n∈N*).
10.若an=n2+λn+3(其中λ为实常数),n∈N*,且数列{an}为单调递增数列,求实数λ的取值范围.
【解析】由于{an}为单调递增数列,所以an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化简为λ>-2n-1对一切n∈N*都成立,所以λ>-3.
故实数λ的取值范围为(-3,+∞).
【方法技巧】数列的性质的理解
(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必需对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是[54,+∞),而通项公式是an=2n2-5n的数列{an}对任意的正整数都满足单调递增的定义.
(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.
(3)在由特殊得出一般结论的时候,确定要留意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.
【加固训练】已知数列{an}的通项an=(n+1)(n∈N*).试问该数列{an}有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.
【解题提示】要想推断一个数列有无最大项,可以推断数列的单调性,假如数列的前n项是递增的,从n+1项开头是递减的,则an(an+1)即为数列的最大项,故我们可以推断数列{an+1-an}的表达式,然后进行分类争辩,给出最终的结论.
【解析】由于an+1-an
所以当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an;
故a1<a2<a3<a9=a10>a11>a12>….
所以数列{an}有最大项a9或a10,
其值为10·,其项数为9或10.
(20分钟 40分)
1.(5分)(2021·哈尔滨模拟)数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,若an=14,则n的值等于( )
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选C.由于a1=1,
当n≥2时an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,
所以a2=1+a1=2,a3=1a2=12,
a4=1+a2=3,a5=1a4=13,
a6=1+a3=32,a7=1a6=23,
a8=1+a4=4,a9=1a8=14,
又已知an=14,所以n=9.
2.(5分)(2021·郑州模拟)已知数列{an}的通项公式为an=n2-2λn(n∈N*),则
“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.若数列{an}为递增数列,则有an+1-an>0,即2n+1>2λ对任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<32.由λ<1可得λ<32,但反过来,由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件.
3.(5分)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种外形来争辩数,如图所示.
他们争辩过图中的1,5,12,22,…,由于这些数能够表示成五角形,将其称为五角形数,若按此规律连续下去,第n个五角形数an= .
【解析】观看图形,发觉a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜想当n≥2时,an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3 (n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=32n2-12n.
答案:32n2-12n
【加固训练】在如图所示的数阵中,第9行的第2个数为 .
1
【解析】由图可知,每行的其次个数构成一个数列{an},a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式两边同时相加得an-a2=(2n-3+3)×(n-2)2=n2-2n,故an=n2-2n+3(n≥2),所以a9=92-2×9+3=66.
答案:66
4.(12分)数列{an}的通项公式是an=n2+kn+4.
(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.
(2)对于n∈N*,都有an+1>an,求实数k的取值范围.
【解析】(1)由n2-5n+4<0,
解得1<n<4.
由于n∈N*,所以n=2,3,
所以数列中有两项是负数,即为a2,a3.
由于an=n2-5n+4=n-522-94,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an有最小值,其最小值为a2=a3=-2.
(2)由an+1>an知该数列是一个递增数列,又由于通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到n∈N*,所以-k2<32,即得k>-3.
【加固训练】已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-30.
(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?
(2)n为何值时,an=0,an>0,an<0?
(3)该数列前n项和Sn是否存在最值?说明理由.
【解析】(1)由an=n2-n-30,得
a1=12-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
设an=60,则60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
所以60是此数列的第10项.
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去).
所以a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
所以当n>6(n∈N*)时,an>0.
令n2-n-30<0,解得0<n<6.
所以当0<n<6(n∈N*)时,an<0.
(3)Sn存在最小值,不存在最大值.
由an=n2-n-30=n-122-3014,(n∈N*)
知{an}是递增数列,且
a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,
故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.
5.(13分)(力气挑战题)在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2(n∈N*).
(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式.
(2)推断它的单调性.
【解析】(1)a1=1,a2=23,a3=12=24,a4=25,a5=13=26,归纳得an=2n+1.
(2)方法一:由于an+1-an=2n+2-2n+1=-2(n+2)(n+1)<0,所以数列{an}是递减数列.
方法二:由于函数f(x)=2x+1在x∈[1,+∞)上单调递减,所以数列{an}是递减数列.
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