2022届高考数学(文科人教A版)大一轮课时作业：5.1-数列的概念与简单表示法-.docx

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调整合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)数列的概念与简洁表示法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列n+1n的第k项为1+1kD.数列0,2,4,6,可记为2n【解析】选C.由数列的定义可知,数列与集合不同.选项A错,数列中的数与挨次有关,选项B错,D应为2n-2,由于an=n+1n=1+1n,所以ak=1+1k,故选C.2.数列3,7,11,15,的一个通项公式是()A.an=4n+1B.an=2n+1C.an=2n+3D.an=4n-1【解析】选D.由于7-3=11-7=15-11=4.即an2-an2-1=4,所以an2=3+(n-1)4=4n-1,所以an=4n-1.故选D.3.已知数列an的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的()A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【解析】选C.令log2(n2+7)=5,则n2+7=25=32,所以n2=25,由nN*得n=5.4.(2021重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.2n-1B.n+1nn-1C.n2D.n【解析】选D.由于an=n(an+1-an),所以an+1an=n+1n,所以an=anan-1an-1an-2an-2an-3a3a2a2a1a1=nn-1n-1n-2n-2n-332211=n.5.(2021北京模拟)已知an=13n,把数列an的各项排列成如图的三角形外形.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.1393B.1392C.1394D.13112【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+17=(1+17)92=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又由于an=13n,所以A(10,12)=a93=1393.【加固训练】(2021盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826依据表中的规律,偶数2022应在第行第列.【解析】表中每一行4个数,由于都是偶数,所以202224=251余3,从表格可知奇数行从第2列开头,从小到大排列,偶数行从第一列开头,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2021临沂模拟)数列an中,已知an+1+an=2n-3,若a4=16,则a1=.【解析】由递推公式,得16+a3=23-3,a3=-13,-13+a2=22-3,a2=14,14+a1=21-3,a1=-15.答案:-15【加固训练】已知数列an对于任意p,qN*,有ap+aq=ap+q,若a1=19,则a36=()A.136B.19C.1D.4【解析】选D.由于ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.在数列an中,若a1=12,an= (n2,nN*),则a2021=.【解析】由于a1=12,an=(n2,nN*),所以a2=2,a3=-1,a4=12.所以an是以3为周期的数列.所以a2021=a6713+2=a2=2.答案:2【加固训练】(2021黄冈模拟)已知数列an,若a1=b(b0),an+1=-1an+1(nN*),则能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-1a1+1=-1b+1,a3=-1a2+1=-b+1b,a4=-1a3+1=b,a5=-1a4+1=-1b+1,a6=-1a5+1=-b+1b,所以数列an的周期为3,再依据a1=a4=b,观看选项可知a16=b,故选C.8.(2021郑州模拟)已知数列an的通项公式是an=则a3a4=.【解析】由已知得a3=23-5=1,a4=234-1=54,所以a3a4=154=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),求数列an的通项公式.【解析】a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得an=3n.当n=1时,符合上式.所以an=3n(nN*).10.若an=n2+n+3(其中为实常数),nN*,且数列an为单调递增数列,求实数的取值范围.【解析】由于an为单调递增数列,所以an+1an,即(n+1)2+(n+1)+3n2+n+3,化简为-2n-1对一切nN*都成立,所以-3.故实数的取值范围为(-3,+).【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必需对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是54,+),而通项公式是an=2n2-5n的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,确定要留意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.【加固训练】已知数列an的通项an=(n+1)(nN*).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解题提示】要想推断一个数列有无最大项,可以推断数列的单调性,假如数列的前n项是递增的,从n+1项开头是递减的,则an(an+1)即为数列的最大项,故我们可以推断数列an+1-an的表达式,然后进行分类争辩,给出最终的结论.【解析】由于an+1-an所以当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an;故a1a2a3a11a12.所以数列an有最大项a9或a10,其值为10,其项数为9或10.(20分钟40分)1.(5分)(2021哈尔滨模拟)数列an定义如下:a1=1,当n2时,an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,若an=14,则n的值等于()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.由于a1=1,当n2时an=1+an2,n为偶数,1an-1,n为奇数,所以a2=1+a1=2,a3=1a2=12,a4=1+a2=3,a5=1a4=13,a6=1+a3=32,a7=1a6=23,a8=1+a4=4,a9=1a8=14,又已知an=14,所以n=9.2.(5分)(2021郑州模拟)已知数列an的通项公式为an=n2-2n(nN*),则“0,即2n+12对任意的nN*都成立,于是有32,32.由1可得32,但反过来,由32不能得到1,因此“an,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又由于通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-k2-3.【加固训练】已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an0,an0,解得n6或n6(nN*)时,an0.令n2-n-300,解得0n6.所以当0n6(nN*)时,an0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=n-122-3014,(nN*)知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a9,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)(力气挑战题)在数列an中,a1=1,an+1=2anan+2(nN*).(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式.(2)推断它的单调性.【解析】(1)a1=1,a2=23,a3=12=24,a4=25,a5=13=26,归纳得an=2n+1.(2)方法一:由于an+1-an=2n+2-2n+1=-2(n+2)(n+1)0,所以数列an是递减数列.方法二:由于函数f(x)=2x+1在x1,+)上单调递减,所以数列an是递减数列.关闭Word文档返回原板块