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第五部分 学问点回放——再看一眼①
一、 集合与常用规律用语
1. 元素与集合的关系
xÎAÛxÏ∁UA, xÎ∁UAÛxÏA.
2. 集合的运算(略)
3. (1) 含n个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n-1,非空真子集数为2n-2;
(2) A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B.留意:争辩的时候不要遗忘了A=F的状况.
4. 四种命题的相互关系
5. 充要条件的推断
(1) 定义法——正、反方向推理;
(2) 利用集合间的包含关系,例如:若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.
6. 真值表
p
q
非p
p或q
p且q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
二、 函数与导数
1. 函数定义域的求法:①使函数解析式有意义(如:分母不为零,偶次根式被开方数大于等于零,对数真数大于0、底数大于0且不等于1,零指数幂的底数不为零等);②实际问题有意义.
2. 函数值域的求法:
①直接法;②配方法;③导数法;④利用函数单调性;⑤换元法;⑥利用均值不等式≤≤;⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、确定值的意义等);⑧利用函数有界性(ax、sinx、cosx等);⑨判别式法.
3. 函数的奇偶性
(1) 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件;
(2) f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1;
(3) f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1;
(4) 若奇函数f(x)在原点有定义,则f(0)=0.
4. 函数的单调性
(1) 单调性的定义:f(x)在区间M上是增(减)函数⇔∀x1,x2∈M,当x1<x2时,f(x1)-f(x2)<0(>0)⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔>0(<0);
(2) 单调性的判定方法:①定义法.留意:一般要将式子f(x1)-f(x2)化为几个因式作积或作商的形式,以利于推断符号;②导数法(见导数部分);③复合函数法;④图象法.
5. 函数的周期性
对定义域内的任意x,若有f(x+T)=f(x)(其中T为非零常数),则称函数f(x)为周期函数,T为它的一个周期.全部正周期中最小的称为函数的最小正周期.
6. 函数图象
(1) 图象作法:①描点法(留意三角函数的五点作图);②图象变换法;③导数法.
(2) 图象变换:①平移变换.(ⅰ)y=f(x)→y=f(x±a)(a>0)——左“+”右“-”;
(ⅱ)y=f(x)→y=f(x)±k(k>0)——上“+”下“-”.
②伸缩变换:(ⅰ)y=f(x)→y=f(ωx)(ω>0)——纵坐标不变,横坐标伸长为原来的倍;
(ⅱ)y=f(x)→y=Af(x)(A>0)——横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍.
③对称变换:(ⅰ)y=f(x)y=-f(-x);(ⅱ)y=f(x)y=-f(x);
(ⅲ)y=f(x)y=f(-x);(ⅳ)y=f(x)y=f-1(x).
④翻转变换:(ⅰ)y=f(x)→y=f(|x|)———右不动,右向左翻(删除f(x)在y轴左侧图象);
(ⅱ)y=f(x)→y=|f(x)|———上不动,下向上翻(|f(x)|在x轴下面无图象).
7. 函数y=F(x)=f(x)-g(x)的零点问题
(1) y=F(x)的零点(不是点而是数)⇔F(x)=0的根⇔y=F(x)与x轴的交点的横坐标⇔y=f(x),y=g(x)的交点问题.
(2) 留意争辩周期函数(特殊是三角函数)在某区间内零点个数问题.
(3) 零点存在定理:y=f(x)单调且区间端点值异号⇒∃x0∈(x1,x2)使f(x0)=0.
8. 导数
(1)导数定义:f(x)在点x0处的导数记作y'=f'(x0)=.
(2) 常见函数的导数公式:①C'=0;②(xn)'=nxn-1;③(sinx)'=cosx;④(cosx)'=-sinx; ⑤(ax)'=axlna;⑥(ex)'=ex;⑦(logax)'=;⑧(lnx)'=.
(3) 导数的四则运算法则:(u±v)'=u'±v';(uv)'=u'v+uv';'=.
(4) 导数的应用
①利用导数求切线.留意:(ⅰ)所给点是切点吗?(ⅱ)所求的是“在”还是“过”该点的切线?
②利用导数推断函数单调性.(ⅰ)f'(x)>0⇒f(x)是增函数;(ⅱ)f'(x)<0⇒f(x)为减函数;(ⅲ)f'(x)=0⇒f(x)为常数.
③用导数求极值.(ⅰ)求导函数f'(x);(ⅱ)求方程f'(x)=0的根;(ⅲ)列表得极值.
④用导数求最大值与最小值.(ⅰ)求极值;(ⅱ)求区间端点值(假如有);(ⅲ)比较,得最值.
9. 恒成立问题
恒成立的判定方法:分别参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.
a≥f(x)恒成立⇒a≥[f(x)]max;a≤f(x)恒成立⇒a≤[f(x)]min.
三、 三角函数与解三角形
1. 三角函数定义
设角α边上任意一点P(x,y),且OP=r,则sinα=,cosα=,tanα=.
2. 三角函数符号规律:一全正,二正弦,三两切,四余弦.
3. 诱导公式记忆规律:“函数名不(改)变,符号看象限”.
4. (1) y=Asin(ωx+φ)对称轴方程:x=;对称中心:(k∈Z).
(2) y=Acos(ωx+φ)对称轴方程:x=;对称中心:(k∈Z).
5. 同角三角函数的基本关系:sin2x+cos2x=1,=tanx.
6. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式:①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;
②cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;③tan(α±β)=.
④asinα+bcosα=sin(α+φ).
7. 二倍角公式:①sin2α=2sinαcosα;②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;③tan2α=.
8. 正、余弦定理.(1)正弦定理:===2R(2R是△ABC外接圆直径).
留意:①a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;②a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;③===.
(2) 余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC.
9. 三角变换
(1) 角的“配”与“凑”:把握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后,还应留意一些配凑变形技巧,例如:2α=α+α,α=2×;α+β=2·等.
(2) “降幂”与“升幂”(次的变化):利用二倍角公式cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α和二倍角公式的等价变形sin2α=,cos2α=,可以进行“升”与“降”的变换,即“二次”与“一次”的互化.
(3) 切化弦(名的变化):利用同角三角函数的基本关系,将不同名的三角函数化成同名的三角函数,以便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
(4) 引入挂念角:asinα+bcosα==sin(α+φ),其中cosφ=,sinφ=,tanφ=.特殊地,sinA+cosA=sin,sinx+cosx=2sin,
sinx+cosx=2sin等.
10. 已知a,b和A时,判定三角形解的个数.
其中h=bsinA,(1) A为锐角时:①a<h时,无解;②a=h时,一解(直角);③h<a<b时,两解(一锐角,一钝角);④a≥b时,一解(一锐角).
(2) A为直角或钝角时:①a≤b时,无解;②a>b时,一解(锐角).
提示:本专题C级要求包括:两角和(差)的正弦、余弦及正切.
四、 平面对量
1. 平面对量基本定理
假如e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内全部向量的一组基底.
留意:P,A,B三点共线⇔=x+y,且x+y=1.
2. a与b的数量积(或内积):a·b=|a||b|cosθ.
3. a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
4. 向量的平行与垂直
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b≠0,则a∥b⇔b=λa⇔x1y2-x2y1=0.
a⊥b(a≠0)⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
5. 平面对量的坐标运算
(1) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2);
(2) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a-b=(x1-x2,y1-y2);
(3) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则=-=(x2-x1,y2-y1);
(4) 设a=(x,y),λ∈R,则λa=(λx,λy);
(5) 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
6. 两向量的夹角公式
cosθ=(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).
提示:本专题C级要求包括:平面对量的数量积.
五、 立体几何
1. 常用定理:
①线面平行:⇒a∥α;⇒a∥α;⇒a∥α.
②线线平行:⇒a∥b;⇒a∥b;⇒a∥b;⇒c∥b.
③面面平行:⇒α∥β;⇒α∥β;⇒α∥γ.
④线线垂直:⇒a⊥b;所成角为90°;⇒a⊥PA.
⑤线面垂直:⇒l⊥α;⇒a⊥β.
⑥面面垂直:二面角的平面角为90°;⇒α⊥β;⇒α⊥β.
2. 位置关系的证明(主要方法):
立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即:
3. 表面积与体积公式:
(1) 柱体:①表面积:S=S侧+2S底;②体积:V=S底h.
(2) 锥体:①表面积:S=S侧+S底;②体积:V=S底h.
(3) 台体:①表面积:S=S侧+S上底+S下底;②体积:V=(S++S')h.
(4) 球体:①表面积:S=4πR2;②体积:V=πR3.
六、 直线与圆
1. 直线方程
(1)点斜式:y-y0=k(x-x0);(2) 斜截式:y=kx+b;(3) 截距式:+=1;
(4) 两点式:=;(5) 一般式:Ax+By+C=0(A,B不全为0).
2. 求解线性规划问题的步骤:
(1) 列约束条件;(2) 作可行域,写目标函数;(3) 确定目标函数的最优解.
3. 两条直线的位置关系:
直线方程
平行的充要条件
垂直的充要条件
备注
l1:y=k1x+b1,
l2:y=k2x+b2
k1=k2,b1≠b2
k1·k2=-1
l1,l2有斜率
l1:A1x+B1y+C1=0,
l2:A2x+B2y+C2=0
A1B2=A2B1,且
B1C2≠B2C1(验证)
A1A2+B1B2=0
不行写成分式
4. 重要公式
(1) 设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G:;
(2) 点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:d=;
(3) 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离:d=.
5. 圆的方程
(1) 标准方程:①(x-a)2+(y-b)2=r2;②x2+y2=r2.
(2) 一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0).
留意:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆⇔A=C≠0且B=0且D2+E2-4F>0.
6. 点、直线与圆的位置关系(主要把握几何法)
(1) 点与圆的位置关系
点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种.
若d=,则d>r⇔点P在圆外;d=r⇔点P在圆上;d<r⇔点P在圆内.
(2) 直线与圆的位置关系
直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系有三种:
d>r⇔相离⇔Δ<0;d=r⇔相切⇔Δ=0;
d<r⇔相交⇔Δ>0.其中d=.
(3) 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O1,O2,半径分别为r1,r2,O1O2=d.
d>r1+r2⇔外离⇔4条公切线;d=r1+r2⇔外切⇔3条公切线;
|r1-r2|<d<r1+r2⇔相交⇔2条公切线;d=|r1-r2|⇔内切⇔1条公切线;
0<d<|r1-r2|⇔内含⇔无公切线.
提示:本专题C级要求包括:直线方程、圆的方程.
七、 圆锥曲线
1. 定义
(1) 椭圆:MF1+MF2=2a(2a>F1F2);
(2) 双曲线:|MF1-MF2|=2a(2a<F1F2);(3)抛物线:略.
2. 直线与圆锥曲线问题解法
(1) 直接法:联立直线与圆锥曲线方程,构造一元二次方程求解.
留意:
①联立的是关于“x”还是关于“y”的一元二次方程?
②直线斜率不存在时考虑了吗?
③判别式验证了吗?
(2) 设而不求(代点相减法),处理弦中点问题.
步骤如下:①设点A(x1,y1),B(x2,y2);②作差得kAB=;③解决问题.
3. 求轨迹的常用方法
(1) 定义法:利用圆锥曲线的定义;(2) 直接法(列等式);(3) 代入法(相关点法或转移法);(4) 待定系数法;(5) 参数法;(6) 交轨法.
八、 数列
1. 定义
(1) 等差数列{an}⇔an+1-an=d(d为常数)⇔2an=an+1+an-1(n≥2,n∈N*)⇔an=kn+b⇔Sn=An2+Bn.
(2) 等比数列{an}⇔=q(q≠0)⇔=an-1·an+1(n≥2,n∈N*)⇔an=cqn(c,q均为不为0的常数)⇔Sn=k-kqn(q≠0,q≠1,k≠0).
2. 等差、等比数列性质
等差数列
等比数列
通项公式
an=a1+(n-1)d
an=a1qn-1
前n项和
Sn==na1+d
当q=1时,Sn=na1;
当q≠1时,Sn==
性质
①an=am+(n-m)d
①an=amqn-m;
②当m+n=p+q时,am+an=ap+aq
②当m+n=p+q时,aman=apaq
③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列
③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列
④ak,ak+m,ak+2m,…成等差数列,d'=md
④ak,ak+m,ak+2m,…成等比数列,q'=qm
等差数列特有性质:①项数为2n时:S2n=n(an+an+1)=n(a1+a2n);S偶-S奇=nd;=.
②项数为2n-1时:S2n-1=(2n-1)a中;S奇-S偶=a中;=.
③若an=m,am=n(m≠n),则am+n=0;若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n);若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.
3. 数列通项的求法
(1) 归纳法;(2) 定义法(利用等差、等比数列的定义);(3) 公式法:an=
(4) 叠乘法;(5) 构造法(an+1=kan+b型);(6)迭代法;
(7) 间接法(例如:an-1-an=4anan-1⇒-=4);
(8) 作商法(a1a2…an=cn型).
留意:当遇到an+1-an-1=d或=q时,要分奇数项、偶数项争辩,结果是分段形式.
4. 前n项和的求法
(1) 拆、并、裂项法;(2) 倒序相加法;(3) 错位相减法.
5. 等差数列前n项和最值的求法
(1) 或(2) 利用二次函数的图象与性质.
提示:本专题C级要求包括:等差数列、等比数列.
九、 不等式
1. 比较大小的常用方法
(1) 作差:作差后通过分解因式、配方等手段推断差的符号得出结果;(2) 作商(常用于分数指数幂的代数式);(3) 分析法;(4) 平方法;(5) 分子(或分母)有理化;(6) 利用函数的单调性;(7) 查找中间量与“0”比,与“1”比或放缩法;(8) 图象法.
2. 常用不等式
(1) 若a,b>0,则≥≥≥(当且仅当a=b时取等号);(2) 若a,b,c∈R,则a2+b2+c2≥ab+bc+ca(当且仅当a=b=c时取等号);(3) 若a>b>0,m>0,则<(糖水的浓度问题).
3. 基本不等式的应用
(1) 一正二定三相等;(2) 积定和最小,和定积最大.常用的方法为:拆、凑、平方.
提示:本专题C级要求包括:一元二次不等式、基本不等式.
十、 复数
1. 概念
(1) z=a+bi∈R⇔b=0(a,b∈R)⇔z=⇔z2≥0;
(2) z=a+bi是虚数⇔b≠0(a,b∈R);
(3) z=a+bi是纯虚数⇔a=0且b≠0(a,b∈R)⇔z+=0(z≠0)⇔z2<0;
(4) a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
2. 复数的代数形式及其运算
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
(1) z1±z2=(a+b)±(c+d)i;(2) z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;
(3) z1÷z2==+i(z2≠0).
3. 几个重要的结论
(1) |z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2) z·=|z|2=||2.(3) (1±i)2=±2i.(4) =i.(5) =-i.(6) i性质:T=4;i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4+2+i4n+3=0.(7) ω=-±i以3为周期,且ω=ω,ω2=,ω3=1,ω+ω2+ω3=0.(8) |z|=1⇔z=1⇔=.
4. 运算律
(1)zm·zn=zm+n;(2) (zm)n=zmn;(3) (z1·z2)m=(m,n∈N);
5. 共轭的性质
(1) ()=±;(2) =·;(3) =;(4) =z.
6. 模的性质:
(1) ||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;
(2) |z1z2|=|z1||z2|;(3) =;(4) |zn|=|z|n.
十一、 概率与统计
1. 概率公式
(1) 互斥大事概率公式:P(A+B)=P(A)+P(B);
(2) 古典概型:P(A)=;
(3) 几何概型:P(A)=.
2. 抽样方法:略.
3. 总体特征数的估量
十二、 算法初步
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