黑龙江省大庆铁人中学2022届高三上学期期中试题-数学(理)-Word版含答案.docx

大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
理科数学试题
试卷说明：
1、本试卷满分150分，答题时间120分钟。
2、请将答案直接填涂在答题卡上，考试结束只交答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．已知集合，为整数集，则集合中全部元素的和为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的函数是 (　　)
A．y=sin x B．y=cos x C．y=ln x D．
3．sin20°cos10°－cos160°sin170°=
A． B． C．－ D．
4．若实数x，y满足约束条件，则的最小值为 (　　)
A． B. 6 C. D. 4
5．已知△ABC和点M满足＋＝－，若存在实数m使得m＋m＝成立，则m等于(　)
A． B．2 C． D．3
6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．4　　　B．8 C．9　　　D．18
7．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，则函数(　 )
A．一个对称中心是(－，0) B．一条对称轴方程为x＝
C．在区间[－，0]上单调递减 D．在区间[0，]上单调递增
8．函数的图象大致为(　　)

9．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝，则= (　　)
A． B． C． D．
10．设α、β都是锐角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β等于(　　)
A． B． C．或 D．.以上都不对
11．已知向量a，b满足|a|=2|b|≠0，且关于x的函数f(x)=2x3－3| a |x2+6 a •b x+5在实数集R上有极值，则向量a，b的夹角的取值范围是（　　）
A．(，π) B．(，π] C．[，π] D．(0， )
12．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数M，使得函数的值域包含于区间.例如，当.现有如下命题：
①设函数的定义域为D，则“”的充要条件是“”；
②函数的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且
④若函数有最大值，则.
其中的真命题为 (　　)
A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④

第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知平面对量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝________。
14．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积为____。
15．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝6，S7＝35，则数列的前100项和为________。
16． 若函数，有6个不同的单调区间，则的取值范围是 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17（本小题满分10分)
已知，命题“均成立”，命题“函数
定义域为R”，
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题为真命题，命题为假命题，求实数的取值范围。

18（本小题满分12分）
已知向量m＝(sin ωx＋cosωx，1)，n＝(2cos ωx，－)(ω>0)，函数f(x)＝m·n的两条相邻对称轴
间的距离为，
(1) 求函数f(x)的单调递增区间；
(2) 当x∈[－，] 时，求f(x)的值域。
19（本小题满分12分）
在底面是矩形的四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点，
(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求二面角E­AC­D的余弦值；
(3)求直线CD与平面AEC所成角的正弦值。

第19题图

20（本小题满分12分）
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝2an－2n对n∈N*成立，
(1)证明数列{an＋2}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式；
(2)求数列{nan}的前n项和Tn 。

21（本小题满分12分）
如图所示，曲线C由部分椭圆C1：＋＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接
而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1所在椭圆的离心率为，
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(P，Q，A，B中任意两点均不重合)，若AP⊥AQ，
求直线l的方程。

第21题图

22（本小题满分12分）
设函数，其中，曲线恒与轴相切于坐标原点．
求常数的值；
当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：。

大庆铁人中学高三学年上学期期中考试理科数学参考答案
ABDCCD CABABD (－4，－8) (1，2)
17.解：⑴设 ，则有，
故当命题p为真命题时，，
⑵命题q为真命题时，，解得
由于命题为真命题，命题为假命题，所以命题p与命题q一真一假，
当命题p为真，命题q为假时，，
当命题p为假，命题q为真时，，
综上：
18. 解:(1)f(x)＝m·n＝2sin ωxcos ωx＋2cos2ωx－＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin(2ωx＋)．
由于T＝＝π，ω＝1.所以f(x)＝2sin(2x＋)．由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
解得函数f(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2) 由(1)可知，f(x)在[－，]上单调递增，在[，]上单调递减，且一条对称轴方程为x＝，
f(x)最大值为f()=2，最小值为f(－)=－1,所以f(x)∈[－2,2]，即f(x)的值域是[－1,2]
19．解：以为A原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，4，0)，E(0，2，1)，P(0，0，2)，
(1)证明：∵·＝0，∴CD⊥AD.，∵·＝0，∴CD⊥AP.
又∵AP∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又∵CD⊂平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)设平面AEC的法向量n＝(x，y，z)，则即令z＝1，则y＝－，x＝1，
∴平面AEC的一个法向量为n＝(1，－，1),又平面ACD的法向量为＝(0，0，2)，
∴cos〈n，〉＝＝＝，∴锐二面角EACD的余弦值是.
(3)设直线CD与平面AEC所成的角为θ，平面AEC的一个法向量为n＝(1，－，1)且＝(－2，0，0)，
∴sin θ＝＝＝，即直线CD与平面AEC所成角的正弦值为.
20．解：(1)证明：由题，当n＝1时，a1＝S1，故a1＝2，
当n≥2时，由,an＝Sn－Sn-1，化简得an＝2an-1＋2,即an＋2＝2（an-1＋2），且a1＋2＝4
故数列{an＋2}是等比数列，公比为2，首项为4，∴an＝2n+1－2.
(2)由(1)知∴Tn＝a1＋2a2＋…＋nan＝（n－1）2n＋2＋4
21．解：(1)在C2的方程中令y＝0可得b＝1，由＝及a2－c2＝b2＝1得a＝，∴a＝,b＝1.
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为y2＋2x2＝2(y≥0)．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，
设其方程为x=my+1 (m≠0)，并将其代入C1的方程，
整理得(2m2＋1)x2＋4my＝0，故可解得点P的坐标为，明显，m<0
同理，将x=my+1 (m≠0)代入C2的方程,整理得m2y2＋y+2my＝0，得点Q的坐标为
∵AP⊥AQ，∴·＝=0，
即8m2 +2m＝0，解得m＝－，符合m<0，故直线l的方程为4x+y－4＝0．
22.．解： (1) ，由，所以.
(2) 由(1)得，，
.
① 当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即而且仅有；
②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；
③当时，令，当时，，于是于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即而且仅有；
综上，符合题意的.
(3) 对要证明的不等式等价变形如下：

所以可以考虑证明：对于任意的正整数，不等式恒成立. 并且连续作如下等价变形

对于相当于（2）中，情形，有在上单调递减，即而且仅有.
取，当时，成立；
当时，.
从而对于任意正整数都有成立.
对于相当于（2）中情形，对于任意，恒有而且仅有. 取，得：对于任意正整数都有成立.
因此对于任意正整数，不等式恒成立.
这样依据不等式 ，再令利用左边，令 利用右边，即可得到成立.