辽宁省抚顺二中2021届高三上学期期中考试-数学(理)-Word版含答案.docx

2021届高三期中测试数学试题（理）

命题单位 抚顺市其次中学

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，则
A． B． C． D．

2．若复数满足，则复数
A． B． C． D．

3．等差数列的前项和为，若，则的值
A．21 B．24 C．28 D．7

4 ．
A．0 B． C． D．

5．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A． B． C． D．

6．函数满足，若，则等于
A． B． C．2 D．15

7．函数的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知均为正数，且，则使恒成立的的取值范围
A． B． C． D．

9．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位

10．已知实数满足，则的取值范围是
A． B． C． D．

11．已知等比数列的首项为，公比为，给出下列四个有关数列的命题：
：假如且，那么数列是递增的等比数列；
：假如且，那么数列是递减的等比数列；
：假如且，那么数列是递增的等比数列；
：假如且，那么数列是递减的等比数列．
其中为真命题的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4

12．已知函数在上可导，其导函数为，若满足，，则下列推断确定正确的是
A． B．
C． D．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)
13．若向量满足，且与的夹角为，则_________．

14．若，则__________．
15．设函数，若，则实数的取值范围是_________．

16．设函数，其中，对于任意的正整数，假如不等式在区间上有解，则实数的取值范围是___________．

三、解答题(解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)
已知．
(1)求函数的最小正周期及单调增区间；
(2)求函数的最小值及取最小值时的的值．
18．(本小题满分12分)
△中，角的对边分别为，且依次成等差数列．
(1)若向量与共线，求的值；
(2)若，求△的面积的最大值．

19．(本小题满分12分)
等比数列的各项均为正数，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
20．(本小题满分12分)
已知．
(1)求函数的单调区间；
(2)若在上单调递减，求的最小值；
(3)若存在，使成立，求的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知函数．
(1)争辩函数的单调性；
(2)若恒成立，证明：当时，．
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4—1，几何证明选讲
如图，是圆的两条切线，是切点，是劣弧(不包括端点)上一点，直线交圆于另一点，在弦上，且．求证：(1)；
(2)△∽△．

23．(本小题满分10分)选修4 —4：坐标系与参数方程
已知在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，直线经过定点，倾斜角为．
(1)写出直线的参数方程和曲线的标准方程；
(2)设直线与曲线相交于两点，求的值．

24．(本小题满分10分)选修4 —5：不等式选讲
设函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围．

2021届高三期中测试数学试题（理）参考答案
一．选择题
1．C 2．C 3．C 4．B 5．C 6．B 7．B 8．A 9．C 10．C 11．C 12．B
二．填空题
13． 14． 15． 16．
三．解答题
17．

4分
(1)最小正周期 6分

所以函数的单调增区间为 8分
(2)当时，函数的最小值为， 10分
此时，即 12分
18．由于依次成等差数列，所以
由于向量与共线，所以，
由正弦定理得，于是． 3分
因此由余弦定得．6分
(2)由(1)知，于是由余弦定理得
．(当且仅当时取等号)．
由于角是三角形的内角，所以， 9分
因此，即的大值为． 12分
19．(1)设等比数列的公比为，
由，等比数列的各项为正数，所以，．3分
又，所以． 故 5分
(2) 8分
所以 10分
所以 12分
20．(1)
当时，的增区间为 2分
当时，由于，所以的减区间为 4分
(2)
由于在上单调递减，所以恒成立．则 6分
设 ，，
由于，所以的最大值为，所以． 8分
(3)由题意，只须
由(2)可知，，所以只须 9分
即，所以 10分
设，
由于，， 所以，
在上单调递减，所以的最小值为
所以 12分
21．解：（1）．
若，，在上递减；
若，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增．4分
(2)由(1)知，若，，在上递减，
又，故不恒成立．
若，当时，单调递增，，不合题意．
若，当时，单调递减，，不合题意．
若，在上单调递减，在上单调递增．
符合题意．
故，且(当且仅当时取“”)． 8分
当时，
由于，所以．
因此．12分
22．证明：(1)由于△∽△，所以．同理．
又由于，所以，即． 5分
(2)连接，由于，，
所以△∽△，即，故．
又由于，所以△∽△． 10分

23．解：圆．
直线为参数)． 5分
(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得． 8分
设t是此方程的两个根，则，
所以． 10分
24．解：（1），
所以原不等式转化为，或，或 3分
所以原不等式的解集为． 6分
（2）只要， 8分
由(1)知，解得或． 10分