2020年人教A版数学文(广东用)课时作业：2.2函数的单调性与最值.docx

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课时提升作业(五)
一、选择题
1.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( )
（A）（-∞,0］,(-∞,1］ （B）(-∞,0］,［1,+∞)
（C）［0,+∞),(-∞,1］ （D）［0,+∞),［1,+∞)
2.给定函数①y=x，②y=log(x+1)，③y=|x-1|，④y=2x+1，其中在区间（0，1）上是单调递减的函数的序号是( )
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
3.函数f(x)＝ ( )
（A）在(-1，＋∞)上单调递增
（B）在(1，＋∞)上单调递增
（C）在(－1，＋∞)上单调递减
（D）在(1，＋∞)上单调递减
4.(2021·佛山模拟)若函数y＝ax与y＝在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
（A）增函数 （B）减函数
（C）先增后减 （D）先减后增
5.(2021·大同模拟)函数f(x)=的单调递增区间为( )
（A）［0,1］ （B）(-∞,］
（C）［,1］ （D）［0, ］
6.（2021·汕头模拟）函数f(x)=loga(2-ax)在(0,1)上为减函数，则实数a的取值范围是( )
（A）［，1） （B）（1，2）
（C）（1，2］ （D）（，1）
7.定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于x=0对称，则( )
（A）f(-1)<f(3) （B）f(0)>f(3)
（C）f(-1)=f(3) （D）f(0)=f(3)
8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时，f(x)>0,则函数f(x)在［a,b］上有( )
(A)最小值f(a) (B)最大值f(b)
(C)最小值f(b) (D)最大值f()
9.(2021·广州模拟)设函数f(x)=若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是( )
（A）(-∞,-1］∪［2,+∞)
（B）［-1,2］
（C）(-∞,-2］∪［1,+∞)
（D）［-2,1］
10.（力气挑战题）已知函数f(x)＝x2-2ax＋5在(－∞，2］上是减函数，且对任意的x1，x2∈［1，a＋1］，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围为( )
（A）［1,4］ （B）［2,3］
（C）［2,5］ （D）［3，＋∞)
二、填空题
11.函数y＝-(x-3)|x|的递增区间是_______.
12.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝-x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是___________.
13.(2021·中山模拟)设函数f(x)=的最小值为2,则实数a的取值范围是__________.
14.（力气挑战题） 若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a-1)上单调递减，则实数a的取值范围是___________.
三、解答题
15.已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝-2，试证f(x)在(-∞，-2)上单调递增.
(2)若a>0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．

答案解析
1.【解析】选C.f(x)=|x|=
∴函数f(x)的递增区间是［0，+∞），
g(x)=x(2-x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,
对称轴是直线x=1，a=-1＜0.
∴函数g(x)的单调递增区间为（-∞,1］.
故选C.
2.【解析】选B.①y=x在x＞0时是增函数，
②y=log(x+1)在x＞-1时是减函数.
③y=|x-1|在x∈(0,1)时是减函数.
④y=2x+1在x∈R上是增函数.
3.【解析】选B.f(x)可由沿x轴向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，如图．

由图象可知函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增.
4.【解析】选B.∵y＝ax与y＝在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a<0，b<0，∴y＝ax2＋bx的对称轴x＝<0，
∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
5.【解析】选D.由x-x2≥0得0≤x≤1,即函数f(x)的定义域为［0,1］，设t=x-x2，则t=-x2+x=-(x-)2+,从而t在［0,］上是增函数,在［,1］上是减函数,又在［0,+∞)上是增函数,故函数f(x)=的单调递增区间为［0,］.
【方法技巧】推断或证明函数的单调性（区间）
1.先确定定义域，再依据所给函数的结构特征选择适当的方法求解.
2.结果确定要写成区间的形式，当同增（减）的区间不连续时，不能用并集符号连结.
6.【解析】选C.令u=2-ax,则y=logau，由于u=2-ax在（0，1）上是减函数，故只需y=logau在(0,+∞)上是增函数且u=2-ax在(0,1)上恒为正.故有解得1＜a≤2.
7.【解析】选A.由于f(x+2）的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间（-∞,2)上是增函数，则其在（2，+∞)上为减函数，作出其图象大致外形如图所示.

由图象知，f(-1)<f(3)，故选A.
8.【思路点拨】先探究f(x)在［a,b］上的单调性，再推断最值状况.
【解析】选C.设x1<x2,
由已知得f(x1)=f((x1-x2)+x2)=f(x1-x2)+f(x2).
又x1-x2<0,∴f(x1-x2)>0，
∴f(x1)>f(x2).
即f(x)在R上为减函数.
∴f(x)在［a,b］上亦为减函数.
∴f(x)min=f(b),
f(x)max=f(a),故选C.
9.【解析】选A.当x＞2时,f(x)＞4+a,当x≤2时,f(x)≤2+a2,由题意知2+a2≥4+a,解得a≥2或a≤-1.
10.【思路点拨】本题转化为|f(x1)－f(x2)|≤4恒成立问题,f(x)在［1,a＋1］上有最小值f(a),则只需即可.
【解析】选B.∵f(x)＝x2－2ax＋5的对称轴方程是x＝a.
又∵f(x)在(-∞，2］上是减函数，
∴a≥2.
又∵x1，x2∈［1，a＋1］，
∴|f(x1)－f(x2)|≤{f(x1)，f(x2)}max-f(a)．
又∵|f(x1)－f(x2)|≤4，
∴
即解得-1≤a≤3.
综上可知：2≤a≤3.
11. 【解析】y＝-(x-3)|x|

作出该函数的图象，观看图象知递增区间为［0，］.
答案：［0，］
12.【解析】依题意，h(x)＝当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x＞2时，h(x)＝3－x是减函数，
∴h(x)=min{f(x),g(x)}在x＝2时，取得最大值h(2)＝1.
答案：1
13.【解析】当x≥1时,f(x)≥2,当x＜1时,f(x)＞a-1,由题意知,a-1≥2,
∴a≥3.
答案：［3,+∞)
14.【思路点拨】画出函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的图象,确定其单调区间,再列不等式求解.
【解析】由于f(x)＝|logax|在(0,1］上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a-1≤1，解得<a≤，此即为a的取值范围．
答案：(,］
15.【解析】(1)任设x1<x2<-2，
则f(x1)-f(x2)＝
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，
∴f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(-∞，-2)上单调递增．
(2)任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝
∵a>0,x2－x1>0，
∴要使f(x1)-f(x2)>0，只需(x1－a)(x2-a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知a的取值范围是(0,1］．
【变式备选】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝
(1)求证：f(x)在R上是减函数.
(2)求f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值．
【解析】(1)方法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝-x，得f(－x)＝－f(x)．
在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)
＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，
∴f(x1－x2)<0，
即f(x1)<f(x2)．
因此f(x)在R上是减函数．
方法二：设x1>x2，
则f(x1)－f(x2)
＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)．
又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，
∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在R上为减函数．
(2)∵f(x)在R上是减函数，
∴f(x)在［-3,3］上也是减函数，
∴f(x)在［-3,3］上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝-2，f(-3)＝-f(3)＝2.
∴f(x)在［-3,3］上的最大值为2，最小值为-2.

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