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课时提升作业(五十一)
一、选择题
1.(2021·商洛模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的倍,则椭圆的离心率等于
( )
(A) (B) (C) (D)
2.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )
(A)+=1 (B)+=1
(C)+y2=1 (D)+=1
3.(2021·安康模拟)若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+=1的离心率
是( )
(A) (B) (C)或 (D)或
4.已知椭圆:+=1(0<b<2)，左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点(A在B上方)，若|BF2|+|AF2|的最大值为5，则b的值是( )
(A)1 (B) (C) (D)
5.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) (B) (C) (D)
6.(力气挑战题)以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆方程是( )
(A)+=1 (B)+=1
(C)+=1 (D)+=1
二、填空题
7.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为.过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 .
8.已知点P是椭圆16x2+25y2=400上一点,且在x轴上方,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,直线PF2的斜率为-4,则△PF1F2的面积是 .
9.分别过椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2所作的两条相互垂直的直线l1, l2的交点在此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 .
三、解答题
10.(2021·西安模拟)在平面直角坐标系中,已知曲线C上任意一点P到两个定点F1(-,0)和F2(,0)的距离之和为4.
(1)求曲线C的方程.
(2)设过(0,-2)的直线l与曲线C交于A,B两点,以线段AB为直径作圆.
试问:该圆能否经过坐标原点?若能,请写出此时直线l的方程,并证明你的结论;若不能,请说明理由.
11.(2021·渭南模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点A为抛物线y2=8x的焦点,上顶点为B,离心率为.
(1)求椭圆C的方程.
(2)过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,若线段PQ的中点横坐标是-,求直线l的方程.
12.(力气挑战题)已知点P是圆F1:(x+)2+y2=16上任意一点,点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的中垂线与PF1交于M点.
(1)求点M的轨迹C的方程.
(2)设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A,B,点K是轨迹C上异于A,B的任意一点,KH⊥x轴,H为垂足,延长HK到点Q使得|HK|=|KQ|,连接AQ并延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D,N为DB的中点.试推断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系.
答案解析
1.【解析】选B.由题意得2a=2b,即a=b.
又a2=b2+c2,所以有b=c,∴a=c,得离心率e=.
2.【解析】选A.圆C的方程可化为(x-1)2+y2=16.
知其半径r=4,∴长轴长2a=4,∴a=2.
又e==,
∴c=1,b2=a2-c2=4-1=3,
∴椭圆的标准方程为+=1.
3.【解析】选C.由于m是2和8的等比中项，所以m2=16，所以m=±4.当m=4时，圆锥曲线为椭圆x2+=1，离心率为，当m=-4时，圆锥曲线为双曲线x2-=1，离心率为，综上选C.
4.【解析】选D.由题意知a=2，所以|BF2|+|AF2|+|AB|=4a=8.由于|BF2|+|AF2|的最大值为5，所以|AB|的最小值为3，当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A(-c，)，B(-c，-)，代入椭圆方程得+=1.又c2=a2-b2=4-b2，所以+=1，即1-+=1，所以=，解得b2=3，所以b=，选D.
5.【解析】选B.由题意知点P的坐标为(-c,)或(-c,-),由于∠F1PF2=60°,那么=,∴2ac=b2,这样依据a,b,c的关系式化简得到结论为.
6.【思路点拨】由于c=1,所以只需长轴最小,即公共点P,使得|PF1|+|PF2|最小时的椭圆方程.
【解析】选C.由于c=1,所以离心率最大即为长轴最小.
点F1(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为F′(-3,2),
设点P为直线与椭圆的公共点,
则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′|+|PF2|≥|F′F2|=2.
取等号时离心率取最大值,
此时椭圆方程为+=1.
7.【解析】依据椭圆焦点在x轴上,可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
∵e=,∴=.依据△ABF2的周长为16得4a=16,因此a=4,b=2,所以椭圆方程为+=1.
答案:+=1
8.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直线PF2的方程为y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(由于x<3,故舍去),
又点P(x,y)在椭圆上,且在x轴上方,得16×()2+25y2=400,
解得y=2,
∴=|F1F2|·y=×6×2=6.
答案:6
9.【思路点拨】关键是由l1, l2的交点在此椭圆的内部,得到a,b,c间的关系,进而求得离心率e的取值范围.
【解析】由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上.
又点P在椭圆内部,所以有c2<b2,
又b2=a2-c2,∴有c2<a2-c2,
即2c2<a2,亦即:<,∴0<<.
答案:(0,)
10.【解析】(1)依据椭圆的定义,可知曲线C的轨迹为椭圆,其中a=2,c=,则b==1.
所以曲线C的轨迹方程为+y2=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx-2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
若·=0,则x1x2+y1y2=0.
∵y1=kx1-2,y2=kx2-2,
∴y1y2=k2x1·x2-2k(x1+x2)+4.
∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0.…………………………①
由方程组得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
Δ=162k2-4×12×(1+4k2)>0,∴k2>,………………②
则x1+x2=,x1·x2=,代入①,得
(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,
∴k=2或k=-2,满足②式.
所以,存在直线l,其方程为y=2x-2或y=-2x-2.
11.【解析】(1)抛物线y2=8x的焦点为A(2,0),依题意可知a=2.
由于离心率e==,所以c=.
故b2=a2-c2=1,
所以椭圆C的方程为:+y2=1.
(2)直线l:y=kx+,
由
消去y可得(4k2+1)x2+
8kx+4=0,
由于直线l与椭圆C相交于P,Q,
所以Δ=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,
解得|k|>.
又x1+x2=,x1x2=,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中点M(x0,y0),
由于线段PQ的中点横坐标是-,
所以x0===-,
解得k=1或k=,
由于|k|>,所以k=1,
因此所求直线l:y=x+.
12.【解析】(1)由题意得,F1(-,0),F2(,0),
圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,
从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,
∴点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴2a=4,焦距2c=2,
则短半轴b===1,
椭圆方程为:+y2=1.
(2)设K(x0,y0),则+=1.
∵|HK|=|KQ|,∴Q(x0,2y0),∴OQ==2,
∴Q点在以O为圆心,2为半径的圆上,即Q点在以AB为直径的圆O上.
又A(-2,0),∴直线AQ的方程为y=(x+2).
令x=2,得D(2,).
又B(2,0),N为DB的中点,∴N(2,).
∴=(x0,2y0),=(x0-2,).
∴·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+
=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,
∴⊥,∴直线QN与以AB为直径的圆O相切.
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