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课时提升作业(三十)
一、选择题
1.已知数列,,,…,,…,下面各数中是此数列中的项的是 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( )
(A)103 (B)108 (C)103 (D)108
3.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n+1,则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10的值为 ( )
(A)150 (B)161 (C)160 (D)171
4.已知数列{an}满足a1=1,且an=an-1+()n(n≥2,且n∈N*),则数列{an}的通项公式为 ( )
(A)an= (B)an=
(C)an=n+2 (D)an=(n+2)3n
5.(2022·西安模拟)在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是
( )
(A) (B) (C) (D)
6.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an= ( )
(A)2+ln n (B)2+(n-1)ln n
(C)2+nln n (D)1+n+ln n
7.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n,第k项满足5<ak<8,则k等于 ( )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
8.(力气挑战题)定义:F(x,y)=yx(x>0,y>0),已知数列{an}满足:an=(n∈N*),若对任意正整数n,都有an≥ak(k∈N*)成立,则ak的值为 ( )
(A) (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题
9.数列-,,-,,…的一个通项公式可以是 .
10.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是 .
11.(2021·汕头模拟)已知数列{an}的前四项分别为1,0,1,0,给出下列各式:
①an=;②an=;③an=sin2;
④an=;⑤an=
⑥an=+(n-1)(n-2).
其中可以作为数列{an}的通项公式的有 .(填序号)
12.(力气挑战题)已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=若a6=1,则m全部可能的值为 .
三、解答题
13.(2021·汕头模拟)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和满足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*.求{an}的通项公式.
14.(2022·广东高考)设数列{an}前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
(1)求a1的值.
(2)求数列{an}的通项公式.
15.(力气挑战题)解答下列各题:
(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(n∈N*),其中实数c≠0.求{an}的通项公式.
(2)数列{an}满足:a1=1,an+1=3an+2n+1(n∈N*),求{an}的通项公式.
答案解析
1.【解析】选B.∵42=6×7,故选B.
2.【解析】选D.依据题意结合二次函数的性质可得:
an=-2n2+29n+3=-2(n2-n)+3
=-2(n-)2+3+.
∴n=7时,a7=108为最大值.
3.【解析】选B.S10-S3=(2×102-3×10+1)-(2×32-3×3+1)=161.
4.【解析】选B.由an=an-1+()n(n≥2且n∈N*)得,
3nan=3n-1an-1+1,
3n-1an-1=3n-2an-2+1,
…
32a2=3a1+1.
相加得3nan=n+2,an=.
5.【解析】选C.当n=2时,a2·a1=a1+(-1)2,∴a2=2.
当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,∴a3=.
当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,∴a4=3.
当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,∴a5=,∴=.
6.【思路点拨】依据递推式接受“叠加”方法求解.
【解析】选A.∵an+1=an+ln(1+)=an+ln=an+ln(n+1)-lnn,
∴a2=a1+ln2,a3=a2+ln3-ln2,…,an=an-1+lnn-ln(n-1),
将上面n-1个式子左右两边分别相加得an=a1+ln2+(ln3-ln2)+(ln4-ln3)+…+[lnn-ln(n-1)]=a1+lnn=2+lnn.
7.【解析】选B.an=
即an=
∵n=1时也适合an=2n-10,∴an=2n-10.
∵5<ak<8,∴5<2k-10<8,
∴<k<9.又∵k∈N*,∴k=8.
8.【解析】选A.an=,==,2n2-(n+1)2=n2-2n-1,只有当n=1,2时,2n2<(n+1)2,当n≥3时,2n2>(n+1)2,即当n≥3时,an+1>an,故数列{an}中的最小项是a1,a2,a3中的较小者,a1=2,a2=1,a3=,故ak的值为.
9.【解析】正负相间使用(-1)n,观看可知第n项的分母是2n,分子比分母的值少1,故an=(-1)n.
答案:an=(-1)n
10.【思路点拨】依据an和Sn的关系转换an+1=2Sn+1(n≥1)为an+1与an的关系或者Sn+1与Sn的关系.
【解析】方法一:由an+1=2Sn+1可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
∴a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,
∴an=3n-1.
方法二:由于an+1=Sn+1-Sn,an+1=2Sn+1,
所以Sn+1-Sn=2Sn+1,Sn+1=3Sn+1,
把这个关系化为Sn+1+=3(Sn+),
即得数列{Sn+}为首项是S1+=,
公比是3的等比数列,故Sn+=×3n-1=×3n,故Sn=×3n-.
所以,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-1,
由n=1时a1=1也适合这个公式,知所求的数列{an}的通项公式是an=3n-1.
答案:an=3n-1
【方法技巧】an和Sn关系的应用技巧
在依据数列的通项an与前n项和的关系求解数列的通项公式时,要考虑两个方面,一个是依据Sn+1-Sn=an+1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系;一个是依据an+1=Sn+1-Sn把数列中的通项转化为前n项和的关系,先求Sn再求an.
11.【解析】①an=,
∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0;
②an=,∴a1=0,a2=1,a3=0,a4=1;
③an=sin2,∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0;
④an=,∴a1=1,a2=0,a3=1,a4=0;
⑤an=∴a1=0,a2=1,a3=0,a4=1;
⑥an=+(n-1)(n-2),∴a1=1,a2=0,a3=3,a4=6.
答案:①③④
12.【解析】依据递推式以及a1=m(m为正整数)可知数列{an}中的项都是正整数.
a6=1,若a6=,则a5=2,若a6=3a5+1,则a5=0,故只能是a5=2.
若a5=,则a4=4,若a5=3a4+1,则a4=,故只能是a4=4.
若a4=,则a3=8,若a4=3a3+1,则a3=1.
(1)当a3=8时,若a3=,则a2=16,若a3=3a2+1,则a2=,故只能是a2=16,若a2=,则a1=32,若a2=3a1+1,则a1=5.
(2)当a3=1时,若a3=,则a2=2,若a3=3a2+1,则a2=0,故只能是a2=2.
若a2=,则a1=4,若a2=3a1+1,则a1=,故只能是a1=4.
综上所述:a1的值,即m的值只能是4或5或32.
答案:4或5或32
【变式备选】已知数列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),则a16= .
【解析】由题可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此数列为循环数列,a1=a4=a7=a10=a13=a16=.
答案:
13.【思路点拨】an+1=Sn+1-Sn,求an与an+1的关系.
【解析】由a1=S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,由已知a1=S1>1,因此a1=2.
又由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(an+1)(an+2),
得an+1-an-3=0或an+1=-an.
由于an>0,故an+1=-an不成立,舍去.
因此an+1-an-3=0,
即an+1-an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项为an=3n-1.
14.【解析】(1)当n=1时,T1=2S1-1.
由于T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,求得a1=1.
(2)当n≥2时,Sn=Tn-Tn-1
=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]
=2Sn-2Sn-1-2n+1,所以Sn=2Sn-1+2n-1 ①,
所以Sn+1=2Sn+2n+1 ②,
②-①得an+1=2an+2,
所以an+1+2=2(an+2),
即=2(n≥2),
求得a1+2=3,a2+2=6,则=2.
所以{an+2}是以3为首项,2为公比的等比数列,
所以an+2=3·2n-1,
所以an=3·2n-1-2,n∈N*.
15.【解析】(1)由原式得=+(2n+1).令bn=,
则b1=,bn+1=bn+(2n+1),
因此对n≥2有bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1
=(2n-1)+(2n-3)+…+3+=n2-1+,
因此an=(n2-1)cn+cn-1,n≥2.
又当n=1时上式成立.
因此an=(n2-1)cn+cn-1,n∈N*.
(2)两端同除以2n+1得,=·+1,
即+2=(+2),
即数列{+2}是首项为+2=,公比为的等比数列,
故+2=×()n-1,即an=5×3n-1-2n+1.
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