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第十三章 选修4－4 第一节
一、选择题
1．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2
B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2
C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1
D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1
[答案] B
[解析] 本题考查了极坐标方程与平面直角坐标方程的互化．由ρ＝2cosθ得x2＋y2－2x＝0.
∴(x－1)2＋y2＝1，圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.故极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B．
2．在极坐标系中点到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )
A．2 B．
C． D．
[答案] D
[解析] 本题主要考查极坐标的学问以及极坐标与直角坐标的互化，考查两点间的距离公式，极坐标化为直角坐标为，即(1，)，圆的极坐标方程ρ＝2cosθ可化为ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1,0)，则由两点间距离公式d＝＝，故选D．
二、填空题
3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号)．
①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．
[答案] ③
[解析] 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．
[答案] (1，)
[解析] 曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为(1，)．
5．(2021·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A(4，)到圆心C的距离是________．
[答案] 2
[解析] 将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A(4，)的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.
6．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ－2sinθ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
[答案] ρcosθ＝3
[解析] 由ρ＝6cosθ－2sinθ⇒ρ2＝6ρcosθ－2ρsinθ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcosθ＝3.
7．(2021·华南师大模拟)在极坐标系中，点M(4，)到曲线ρcos(θ－)＝2上的点的距离的最小值为________．
[答案] 2
[解析] 依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
8．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
[答案]
[解析] 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由，得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.
9．(2022·广东高考)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cosθ与ρsinθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．
[答案] (1,1)
[解析] 本题考查极坐标方程与一般方程互化及求曲线交点．
C1：ρsin2θ＝cosθ，∴ρ2sin2θ＝ρcosθ，即y2＝x，
C2：ρsinθ＝1，∴y＝1.
联立∴，则交点坐标(1,1)．
留意：ρsinθ＝y，ρcosθ＝x.
三、解答题
10．(1)(2021·广州调研)在极坐系中，求直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．
(2)在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin(θ－)＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
[解析] (1)由ρsin(θ＋)＝2，得(ρsinθ＋ρcosθ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.
故所求弦长为4.
(2)在ρsin(θ－)＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
由于圆C经过点P(，)
所以圆C的半径
PC＝＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
一、选择题
1．(2022·江西高考)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标为( )
A．ρ＝，0≤θ≤
B．ρ＝，0≤θ≤
C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤
[答案] A
[解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化．
由极坐标与直角坐标的互化公式得ρsinθ＝1－ρcosθ，(0≤ρsinθ≤1)，所以ρ＝，(0≤θ≤)．选A．
二、填空题
2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
[答案] ρ＝2cosθ
[解析] 本题考查了圆的极坐标方程与圆的一般方程与极坐标方程互化，∵x2＋y2－2x＝0，∴x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ代入得，ρ＝2cosθ.
3．在极坐标系中，直线l的方程为ρsinθ＝3，则点(2，)到直线l的距离为________．
[答案] 2
[解析] ∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点(2，)化为直角坐标为(，1)，
∴点(2，)到直线l的距离为2.
4．在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．
[答案]
[解析] 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解，极坐标系中的圆ρ＝4sinθ转化为平面直角坐标系中的一般方程为：x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4，其圆心为(0,2)，直线θ＝转化为平面直角坐标系中的方程为y＝x，即x－3y＝0.
∴圆心(0,2)到直线x－3y＝0的距离为＝.
5．直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．
[答案]
[解析] 直线2ρcosθ＝1可化为2x＝1，即x＝；
圆ρ＝2cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρcosθ，
化为直角坐标方程为x2＋y2＝2x.
将x＝代入x2＋y2＝2x得y2＝，
∴y＝±，∴弦长为2×＝.
6．(2022·陕西高考)在极坐标系中，点(2，)到直线ρsin(θ－)＝1的距离是________．
[答案] 1
[解析] 对于点(2，)化为直角坐标(，1)，
直线ρsin(θ－)＝1化为ρsinθ－ρcosθ＝1，
化为直角坐标方程x－y＋2＝0，
∴d＝＝1.
7．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
[答案]
[解析] C1的直角坐标方程为x＋y＝1，C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与C2在x轴上的交点为(a,0)(a>0)，∴a＋0＝1，解得a＝.
三、解答题
8．设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
[解析] 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cosθ(－≤θ≤)，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，
∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ.
将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cosθ，
∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cosθ(－≤θ≤)，
它表示圆心在点(，0)，半径为的圆．
9．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
[解析] (1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在C1上，
所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin＝2，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin＝4.
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.
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