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其次章 第七节
一、选择题
1．函数y＝1－的图像是( )
[答案] B
[解析] 将y＝的图像向右平移1个单位，再向上平移一个单位，即可得到函数y＝1－的图像．
2．小明骑车上学，开头时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上大事吻合得最好的图像是( )
[答案] C
[解析] 本题考查函数的图像与性质．
选项A，随时间的推移，小明离学校越远，不正确；选项B，先匀速，再停止，后匀速，不正确；应当最终加速行驶，选项C与题意相吻合；选项D，中间没有停止．故选C．
3．函数f(x)＝2lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] 本题考查了函数的图像．
如图，故有两个交点．
4．(2022·福建高考)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )
[答案] B
[解析] 由图可知y＝logax图像过(3,1)，∴loga3＝1，
∴a＝3，∵y＝3－x为减函数，∴排解A；∵y＝(－x)3当x>0时，y<0，∴排解C；∵y＝log3(－x)中，当x＝－3时，y＝1，∴排解D，∴选B．
5．(文)函数y＝2x－x2的图像大致是( )
[答案] A
[解析] 本题考查了函数图像的性质，考查了同学的识图力气，以及对函数学问的把握程度和数形结合的思维力气，令2x＝x2，y＝2x与y＝x2，由图看有3个交点，∴B、C排解，又x＝－2时2－2－(－2)2<0，故选A．
(理)函数y＝的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 本题考查函数图像的外形．
函数的定义域为：3x－1≠0，∴x≠0，排解A；
取x＝－1，则f(－1)＝>0，排解B；
当x→＋∞时，3x－1比x3增大要快，
∴大于0而且趋向于0，排解D．故选C．
6．函数y＝f(x)(x∈R)的图像如图所示，下列说法正确的是( )
①函数y＝f(x)满足f(－x)＝－f(x)；
②函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(－x)；
③函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(x)；
④函数y＝f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．
A．①③ B．②④
C．①② D．③④
[答案] C
[解析] 由图像可知，函数f(x)为奇函数且关于直线x＝1对称；对于②，由于f(1＋x)＝f(1－x)，所以f[1＋(x＋1)]＝f[1－(x＋1)]，即f(x＋2)＝f(－x)．故①②正确，选C．
二、填空题
7．已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．
[答案] (2,8]
[解析] 当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，
由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
8．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图像向左平移1个单位，再向上平移一个单位，所得图像对应的函数解析式是________．
[答案] y＝(x－1)2＋3
[解析] 把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图像向左平移1个单位，得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，所得图像对应的函数解析式为y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.
9．(2022·厦门调研)设f(x)表示－x＋6和－2x2＋4x＋6中较小者，则函数f(x)的最大值是________．
[答案] 6
[解析] 在同一坐标系中，作出y＝－x＋6和y＝－2x2＋4x＋6的图像如图所示，可观看出当x＝0时函数f(x)取得最大值6.
三、解答题
10．设函数f(x)＝x＋的图像为C1，C1关于点A(2,1)对称的图像为C2，C2对应的函数为g(x)．
(1)求g(x)的解析式；
(2)若直线y＝m与C2只有一个交点，求m的值和交点坐标．
[解析] (1)设点P(x，y)是C2上的任意一点，则P(x，y)关于点A(2,1)对称的点为P′(4－x,2－y)，代入f(x)＝x＋，可得2－y＝4－x＋，即y＝x－2＋，
∴g(x)＝x－2＋.
(2)由消去y，
得x2－(m＋6)x＋4m＋9＝0，Δ＝(m＋6)2－4(4m＋9)，
∵直线y＝m与C2只有一个交点，
∴Δ＝0，解得m＝0或m＝4.
当m＝0时，经检验合理，交点为(3,0)；
当m＝4时，经检验合理，交点为(5,4).
一、选择题
1．(文)(2021·宁都一中月考)已知a>b，函数f(x)＝(x－a)·(x－b)的图像如图所示，则函数g(x)＝loga(x＋b)的图像可能为( )
[答案] B
[解析] 由函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图像可知，a>1,0<b<1，所以排解A，D；函数g(x)的图像是由函数u(x)＝logax的图像向左平移b个单位得到的，故选B．
(理)如图，正方形ABCD的顶点A(0，)，B(，0)，顶点C，D位于第一象限，直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f(t)，则函数s＝f(t)的图像大致是( )
[答案] C
[解析] 当直线l：x＝t(0≤t≤)从左向右移动的过程中，直线l左侧阴影部分面积f(t)随l的单位移动距离的转变量开头渐渐增大，当到达中点t＝时，面积f(t)随l的单位移动距离的转变量最大，而后面积f(t)随l的单位移动距离的转变量渐渐减小，故选C．
2．函数y＝的图像与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图像全部交点的横坐标之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
[答案] D
[解析] f(x)＝－相当于对函数f(x)＝－向右平移一个单位，依据y＝2sinπx的周期为2，结合图像易推断交点有8个，结合图像及对称轴可得，由于每个函数图像在区间[－2,4]上关于点(1,0)中心对称，并且在中心的左右两边各有4个交点，并且分别关于(1,0)对称，所以每两个对应点横坐标的和都是2，于是四个交点的横坐标的和就是2×4＝8，从而选D．
二、填空题
3．设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0,1]上的图像如图中所示线段AB，则在区间[1,2]上，f(x)＝________.
[答案] x
[解析] 由于f(x)为偶函数，由偶函数的对称性可知，当x∈[－1,0]时f(x)＝x＋2，所以当x∈[1,2]时，x－2∈[－1,0]，又f(x)是周期为2的偶函数，故当x∈[1,2]时，f(x)＝f(x－2)＝(x－2)＋2＝x.
4．(文)设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2,1]上的图像，则f(2 014)＋f(2 015)＝________.
[答案] 3
[解析] 由于f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2022)＋f(2021)＝f(671×3＋1)＋f(672×3－1)＝f(1)＋f(－1)，而由图像可知f(1)＝1，f(－1)＝2，所以f(2022)＋f(2021)＝1＋2＝3.
(理)直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．
[答案]
[解析] 如图，在同始终角坐标系内画出直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a，由图可知，a的取值必需满足
，解得1<a<.
三、解答题
5．(文)已知函数f(x)＝2x－，将y＝f(x)的图像向右平移两个单位，得到y＝g(x)的图像．
(1)求函数y＝g(x)的解析式；
(2)若函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图像关于直线y＝1对称，求函数y＝h(x)的解析式．
[解析] (1)由题设，g(x)＝f(x－2)＝2x－2－.
(2)设(x，y)在y＝h(x)的图像上，(x1，y1)在y＝g(x)的图像上，则
∴2－y＝g(x)，y＝2－g(x)，即h(x)＝2－2x－2＋.
(理)若1<x<3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？
[解析] 原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①
作出函数y＝－x2＋5x－3(1<x<3)的图像如图，
明显该图像与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，
由图可知：当 3<a<时，原方程有两解；
当1<a≤3或a＝时，原方程有一解；
当a>或a≤1时，原方程无解．
6．(2022·南昌模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2＋x)＝f(2－x)．
(1)证明：函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称；
(2)若f(x)是偶函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝2x－1，求x∈[－4,0]时的f(x)的表达式．
[解析] (1)证明：设P(x0，y0)是函数y＝f(x)图像上任一点，则y0＝f(x0)，
点P关于直线x＝2的对称点为P′(4－x0，y0)．
由于f(4－x0)＝f[2＋(2－x0)]
＝f[2－(2－x0)]＝f(x0)＝y0，
所以P′也在y＝f(x)的图像上，
所以函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
所以f(－x)＝－2x－1.
又由于f(x)为偶函数，
所以f(x)＝f(－x)＝－2x－1，x∈[－2,0]．
当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0，－2]，
所以f(4＋x)＝2(4＋x)－1＝2x＋7.
而f(4＋x)＝f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝2x＋7，x∈[－4，－2]．
所以f(x)＝
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