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2021届高三第十二次大练习数学试题（理科）
一、选择题：本大题共12小题.每小题5分；满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等比数列的各项均为正数，公比，设，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
2.不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3.过点（2，3）的直线L与圆C：交于A B两点，当弦|AB|的取最大值时，直线L的方程为（ ）
A 3x－4y+6=0 B 3x－4y－6=0
C 4x－3y+8=0 D 4x+3y－8=0
4.设命题甲：和满足 ,命题乙：和满足 ，则（ ）
A． 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B． 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C． 甲是乙的充要条件
D． 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
5.已知，且等于（ ）
A B C 2 D
6.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当点D到平面ABC的距离最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°
7.已知的开放式的第7项为，则的值是
A B C D
8.设，函数，则使成立的的取值范围是
A B
C D
9.若，且关于的方程有两个不等实根，则为
A B C D 不确定
10.设双曲线（）的一条准线与两条渐近线交于A B两点，相应的焦点为F，若为直角三角形，则双曲线的离心率为
A B 2 C D
11.某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注，则这个人把这种要求的号买全，至少要花
A 1050元 B 1052元 C 2100元 D 2102元
12.函数的定义域为[－1，1]，值域为[－3，3]，其反函数为，则的
A 定义域为，值域为[－1，1] B 定义域为，值域为[－3，3]
C 定义域为，值域为[－1，1] D 定义域为，值域为[－3，3]
二、填空题：本大题共4小题. 每小题4分；共16分，把答案填在题中横线上.
13.若，则在内可能取的
值有 个.
14.
15.已知，则 。
16. 设有两个命题：
①不等式的解集式是；②函数是减函数
若这两个命题中有且只有一个真命题，则实数的取值范围是
三、解答题：本大题共6小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，设
(Ⅰ)若，求的值域.（Ⅱ）若的图象可以按向量平移后得到的图象，指出向量的一个值.
18.在三棱锥中，底面，，，为棱的中点。(Ⅰ)求证：点四点在同一球面上；
（Ⅱ）求二面角的大小；
19. 在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求大事“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
20.若公比为的等比数列的首项且满足
（I）求的值．
（II）求数列的前项和
21. 已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.
（I） 设（为原点），求点的轨迹方程；
o
y
x
P
Q
F
（II） 若直线的倾斜角为，求的值.
22. .已知函数f（ｘ）＝
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)确定函数f（ｘ）在定义域上的单调性,并证明你的结论；
(Ⅲ)若当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立, 求正整数k的最大值。
2021届高三第十二次大练习数学参考答案及评分标准（理科）
一．1.C， 2.D， 3.A， 4.B， 5.B， 6.C， 7.C, 8.C ,9.A, 10.D, 11.C, 12.A
二．13.9, 14.,15. ，16.
三．17. 解：①....................2分
.............................5分
..................8分
②....................10分
可见的图象向左平移个单位可得的图象，即的一个值是.....．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
18.（1）证明：由已知条件Rt△PAC中PM=MC，则MP=MC=MA
则MC=MB=MP，所以MP=MC=MA=MB，即P，A，B，C四点都在以M为球心，半径为PM的球面上，
6分
（2）以AC为y轴，AP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz，
则B（
设平面AMB的法向量为
由
同理设平面BMC的法向量为
所以故二面角A—MB—C的大小为120°. 12分
19.解（解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，
，，
，且当或时，．
因此，随机变量的最大值为．
有放回抽两张卡片的全部状况有种，
． 6分
答：随机变量的最大值为，大事“取得最大值”的概率为．
（Ⅱ）的全部取值为．
时，只有这一种状况，
时，有或或或四种状况，
时，有或两种状况．
，，． 10分
则随机变量的分布列为：
因此，数学期望． 12分
20.（Ⅰ）解：由题设，当n≥3时,
由题设条件可得
解得 4分
（Ⅱ）解：由（I），需要分两种状况争辩.当
这时，数列的前n项和 7分
当
这时，数列的前n项和 ①
①式两边同乘
②
①式减去②式，得
21. 解：① 设
........1分
由，易得右焦点 ....................2分
当直线轴时，直线的方程是：，依据对称性可知......3分
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为
代入E有
; ........................5分
于是 ; 消去参数得
而也适上式，故R的轨迹方程是...............8分
②设椭圆另一个焦点为，
在中设，则
由余弦定理得............9分
同理，在，设，则
也由余弦定理得............11分
于是.........................12分
注：其它方法相应给分.
22. 解：(1)函数的定义域为 .......................2分
(2) ＝＝－ .......4分
∵ｘ＞０，∴ｘ２＞０，＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０。∴＜０。
因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数．.......6分
当-1<x<0时,记,故g(x)在(-1,0)上是减函数,即知g(x)>g(0)=1>0,故此时＝－<0,因此,函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数. .......8分
综上可知函数f(x)在 (-1,0)和上都是减函数 .......10分
（3） 当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立, 令ｘ＝１有ｋ＜２
又k为正整数．∴k的最大值不大于３． ……..12分
下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．
即证当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．
令ｇ（ｘ）＝＋１－２ｘ，则＝－１，
当ｘ>ｅ－１时，＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，＜０．
∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．
∴当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．
因此正整数k的最大值为３． .......14分
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