2021高考数学(福建-理)一轮学案18-同角三角函数的基本关系式及诱导公式.docx

学案18　同角三角函数的基本关系式及诱导公式
导学目标： 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.

自主梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：____________________.
(2)商数关系：______________________________.
2．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝________，cos(α＋2kπ)＝__________，tan(α＋2kπ)＝__________，k∈Z.
(2)sin(π＋α)＝________，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)sin(－α)＝________，cos(－α)＝__________，tan(－α)＝________.
(4)sin(π－α)＝__________，cos(π－α)＝__________，tan(π－α)＝________.
(5)sin＝________，cos＝________.
(6)sin＝__________，cos＝____________________________________.
3．诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般步骤为：

上述过程体现了化归的思想方法．
自我检测
1．(2010·全国Ⅰ)cos 300°等于 (　　)
A．－ B．－
C. D.
2．(2009·陕西)若3sin α＋cos α＝0，则的值为 (　　)
A. B.
C. D．－2
3．(2010·福建龙岩一中高三第三次月考)α是第一象限角，tan α＝，则sin α等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
4．cos(－π)－sin(－π)的值是 (　　)
A. B．－
C．0 D.
5．(2011·清远月考)已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________.

探究点一　利用同角三角函数基本关系式化简、求值
例1　已知－<x<0，sin x＋cos x＝.
(1)求sin2x－cos2x的值；
(2)求的值．

变式迁移1　已知sin(3π＋α)＝2sin，求下列各式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin 2α.

探究点二　利用诱导公式化简、求值
例2　(2011·合肥模拟)已知sin＝－，α∈(0，π)．
(1)求的值；
(2)求cos的值．

变式迁移2　设f(α)＝
(1＋2sin α≠0)，则f＝________.
探究点三　综合应用
例3　在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．

变式迁移3　(2011·安阳模拟)已知△ABC中，sin A＋cos A＝，
(1)求sin A·cos A；
(2)推断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A的值．

转化与化归思想的应用
例　(12分)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝.
(1)求tan α的值；
(2)把用tan α表示出来，并求其值．
多角度审题　由sin α＋cos α＝应联想到隐含条件sin2α＋cos2α＝1，要求tan α，应当切化弦，所以只要求出sin α，cos α即可．
【答题模板】
解　(1)联立方程
由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.[2分]
∵α是三角形的内角，∴，[4分]
∴tan α＝－.[6分]
(2)＝＝＝，[8分]
∵tan α＝－，∴＝[10分]
＝＝－.[12分]
【突破思维障碍】
由sin α＋cos α＝及sin2α＋cos2α＝1联立方程组，利用角α的范围，应先求sin α再求cos α.(1)问切化弦即可求．(2)问应弦化切，这时应留意“1”的活用．
【易错点剖析】
在求解sin α，cos α的过程中，若消去cos α得到关于sin α的方程，则求得两解，然后应依据α角的范围舍去一个解，若不留意，则误认为有两解．

1．由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要留意争辩角的范围．
2．留意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号．留意“1”的机敏代换．
3．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确推断．

(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2011·荆州模拟)已知△ABC中，＝－，则cos A等于 (　　)
A. B.
C．－ D．－
2．已知tan α＝－，且α为其次象限角，则sin α的值等于 (　　)
A. B．－
C. D．－
3．(2011·许昌月考)已知f(α)＝，则f(－π)的值为 (　　)
A. B．－ C．－ D.
4．设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2 002)＝－1，则f(2 003)等于 (　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
5．(2010·全国Ⅰ)记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于 (　　)
A. B．－
C. D．－
题号
1
2
3
4
5
答案

二、填空题(每小题4分，共12分)
6．(2010·全国Ⅱ)已知α是其次象限的角，tan α＝－，则cos α＝________.
7．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
8．(2010·东北育才学校高三第一次模拟考试)若tan α＝2，则＋cos2α＝________.
三、解答题(共38分)
9．(12分)已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且cos(α－)＝，求f(α)的值．

10．(12分)化简： (k∈Z)．

11．(14分)(2011·秦皇岛模拟)已知sin θ，cos θ是关于x的方程x2－ax＋a＝0(a∈R)的两个根．
(1)求cos3(－θ)＋sin3(－θ)的值；
(2)求tan(π－θ)－的值．

答案 自主梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)＝tan α　2.(1)sin α　cos α tan α　(2)－sin α　－cos α　tan α　(3)－sin α　cos α　－tan α　(4)sin α　－cos α　－tan α　(5)cos α　sin α (6)cos α　－sin α
自我检测
1．C　[cos 300°＝cos(360°－60°)＝cos 60°＝.]
2．A　[∵3sin α＋cos α＝0，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝，
∴＝
＝＝.]
3．B
4．A　[cos(－π)－sin(－π)＝cos(－4π－)－sin(－4π－)＝cos(－)－sin(－)＝cos＋sin＝.]
5．－
解析　sin(α－)＝－sin(－α)
＝－sin[(－α)＋]
＝－cos(－α)＝－.
课堂活动区
例1　解题导引　学会利用方程思想解三角函数题，对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，已知其中一个式子的值，就可以求出其余二式的值，但要留意对符号的推断．
解　由sin x＋cos x＝得，
1＋2sin xcos x＝，则2sin xcos x＝－.
∵－<x<0，∴sin x<0，cos x>0，
即sin x－cos x<0.
则sin x－cos x
＝－
＝－＝－.
(1)sin2x－cos2x＝(sin x＋cos x)(sin x－cos x)
＝×＝－.
(2)由，
得，则tan x＝－.
即＝＝.
变式迁移1　解　∵sin(3π＋α)＝2sin，
∴－sin α＝－2cos α.
∴sin α＝2cos α，即tan α＝2.
方法一　(直接代入法)：
(1)原式＝＝－.
(2)原式＝＝＝.
方法二　(同除转化法)：
(1)原式＝＝＝－.
(2)原式＝sin2α＋2sin αcos α
＝＝＝.
例2　解题导引　三角诱导公式记忆有确定规律：的本质是：奇变偶不变(对k而言，指k取奇数或偶数)，符号看象限(看原函数，同时可把α看成是锐角)．诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：(1)负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α<2π；(2)转化为锐角三角函数．
解　(1)∵sin＝－，α∈(0，π)，
∴cos α＝－，sin α＝.
∴＝＝－.
(2)∵cos α＝－，sin α＝，
∴sin 2α＝－，cos 2α＝－，
cos＝－cos 2α＋sin 2α＝－.
变式迁移2　
解析　∵f(α)＝
＝＝＝，
∴f＝
＝＝＝.
例3　解题导引　先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cos A．求角时，一般先求出该角的某一三角函数值，再确定该角的范围，最终求角．诱导公式在三角形中常用结论有：A＋B＝π－C；＋＋＝.
解　由已知得
①2＋②2得2cos2A＝1，即cos A＝±.
(1)当cos A＝时，cos B＝，
又A、B是三角形的内角，
∴A＝，B＝，∴C＝π－(A＋B)＝π.
(2)当cos A＝－时，cos B＝－.
又A、B是三角形的内角，
∴A＝π，B＝π，不合题意．
综上知，A＝，B＝，C＝π.
变式迁移3　解　(1)∵sin A＋cos A＝，①
∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，
∴sin A·cos A＝－.
(2)由(1)sin A·cos A＝－<0，且0<A<π，
可知cos A<0，∴A为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
(3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin A·cos A＝，
又sin A>0，cos A<0，∴sin A－cos A>0，
∴sin A－cos A＝，②
∴由①，②得sin A＝，cos A＝－，
∴tan A＝＝－.
课后练习区
1．D　[∵A为△ABC中的角，＝－，
∴sin A＝－cos A，A为钝角，∴cos A<0.
代入sin2A＋cos2A＝1，求得cos A＝－.]
2．C　[已知tan α＝－，且α为其次象限角，
有cos α＝－＝－，所以sin α＝.]
3．C　[∵f(α)＝＝－cos α，∴f(－π)
＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)＝－cos＝－.]
4．C　[∵f(2 002)＝asin(2 002π＋α)＋bcos(2 002π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－1，
∴f(2 003)＝asin(2 003π＋α)＋bcos(2 003π＋β)
＝asin[2 002π＋(π＋α)]＋bcos[2 002π＋(π＋β)]
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＝－(asin α＋bcos β)＝1.]
5．B　[∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，
sin 80°＝＝.
∴tan 100°＝－tan 80°＝－.]
6．－
解析　∵tan α＝－，∴＝－，
又∵sin2α＋cos2α＝1，α是其次象限的角，
∴cos α＝－.
7.
解析　sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°
＝sin21°＋sin22°＋…＋sin245°＋…＋sin2(90°－2°)＋
sin2(90°－1°)
＝sin21°＋sin22°＋…＋2＋…＋cos22°＋cos21°
＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋＝44＋＝.
8.
解析　原式＝＋
＝3＋＝3＋＝.
9．解　(1)f(α)＝
＝＝－cos α.…………………………………………………………(5分)
(2)∵α是第三象限角，且cos(α－)＝－sin α＝，
∴sin α＝－，……………………………………………………………………………(8分)
∴cos α＝－＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.…………………………………………………………………(12分)
10．解　当k为偶数2n (n∈Z)时，
原式＝
＝
＝＝＝－1；……………………………………………………(6分)
当k为奇数2n＋1 (n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1.
∴当k∈Z时，原式＝－1.………………………………………………………………(12分)
11．解　由已知原方程的判别式Δ≥0，
即(－a)2－4a≥0，∴a≥4或a≤0.………………………………………………………(3分)
又，(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，则a2－2a－1＝0，(6分)
从而a＝1－或a＝1＋(舍去)，
因此sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－.…………………………………………………(8分)
(1)cos3(－θ)＋sin3(－θ)＝sin3θ＋cos3θ
＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)＝(1－)[1－(1－)]＝－2.………(11分)
(2)tan(π－θ)－＝－tan θ－
＝－(＋)＝－＝－＝1＋.
……………………………………………………………………………………………(14分)