2020年北师版数学文(陕西用)课时作业：第三章-第七节正弦定理和余弦定理.docx

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课时提升作业(二十二)
一、选择题
1.在△ABC中,若A=60°,BC=4,AC=4,则角B的大小为( )
(A)30° (B)45°
(C)135° (D)45°或135°
2.(2021·铜川模拟)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, asinAsinB+bcos2A=a,则的值为( )
(A)2 (B)2
(C) (D)
3.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的外形是( )
(A)钝角三角形 (B)直角三角形
(C)锐角三角形 (D)不能确定
4.(2021·宝鸡模拟)若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值为( )
(A) (B)8-4 (C)1 (D)
5.若满足条件C=60°,AB=,BC=a的△ABC有两个,那么a的取值范围是( )
(A)(1,) (B)(,)
(C)(,2) (D)(1,2)
6.(2021·萍乡模拟)如图,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=BD, BC=2BD,则sinC的值为( )

(A) (B)
(C) (D)
二、填空题
7.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2,cosB=,b=3,则sinA等于　　　　　.
8.(2021·宝鸡模拟)在△ABC中，a=2c，sinB=sinA，则cosC=　　　　.
9.(2021·哈尔滨模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosA=, cosB=,b=3,则边c等于　　　.
三、解答题
10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足csinA=acosC.
(1)求角C的大小.
(2)求sinA-cos(B+)的最大值,并求取得最大值时角A,B的大小.
11.(2021·陕西师大附中模拟)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=.
(1)求△ABC的周长.
(2)求cos(A-C)的值.
12.(力气挑战题)在△ABC中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三条边,<C<且=.
(1)推断△ABC的外形.
(2)若|+|=2,求·的取值范围.

答案解析
1.【解析】选B.由已知A=60°,BC=a=4,AC=b=4及正弦定理=,
得sinB==,
∴sinB=,
故B=45°或B=135°(舍去).
2.【解析】选D.由正弦定理得sin2AsinB+sinBcos2A=sinA,
所以sinB(sin2A+cos2A)=sinA,
故sinB=sinA,所以=.
3.【思路点拨】利用正弦定理转化为边的关系,而后利用余弦定理推断.
【解析】选A.由sin2A+sin2B<sin2C得
a2+b2<c2,即a2+b2-c2<0.
又∵cosC=,∴cosC<0.
又∵0<C<π,∴<C<π,
∴△ABC是钝角三角形.
【方法技巧】三角形外形推断技巧
三角形外形的推断问题是正、余弦定理应用的一个重要题型,也是高考的热点问题.其基本技巧就是利用正、余弦定理实现边角互化,有时要利用三角恒等变换公式结合三角形中角的关系正确推断三角形的外形.
4.【解析】选A.依题意得
两式相减得2ab=4-ab,得ab=.
5.【解析】选C.由正弦定理得
=,
∴a=2sinA.
∵C=60°,∴0°<A<120°.
又∵△ABC有两个,如图所示:
∴asin 60°<<a,
即<a<2.
6.【思路点拨】由边的关系求出A的余弦，再由正弦定理求sinC.
【解析】选D.设BD=a,则由题意可得:BC=2a,AB=AD=a,
在△ABD中,由余弦定理得:
cosA===,
所以sinA==.
在△ABC中,由正弦定理得=,
所以=,
解得sinC=,故选D.
7.【解析】由cosB=得sinB=,
又=,
因而sinA==,
所以sinA=.
答案:
8.【解析】由sinB=sinA得b=a=c，
∴cosC===.
答案:
9.【解析】由cosA=,cosB=得sinA=,sinB=,
故sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×+×=,
∴由正弦定理得:c===.
答案:
10.【解析】(1)由正弦定理得sinCsinA=sinAcosC.
由于0<A<π,所以sinA>0.
从而sinC=cosC.
又sinC≠0,故cosC≠0,
所以tanC=1,
∵0<C<π,∴C=.
(2)方法一:由(1)知,B=-A,
于是sinA-cos(B+)=sinA-cos(π-A)
=sinA+cosA=2sin(A+).
由于0<A<,
所以<A+<.从而当A+=,即A=时,2sin(A+)取最大值2.
综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为2,此时A=,B=.
方法二:由(1)知,A=π-(B+)
于是sinA-cos(B+)=sin(B+)-cos(B+)=2sin(B+).
由于0<B<,所以<B+<.
从而当B+=,即B=时,2sin(B+)取最大值2.
综上所述,sinA-cos(B+)的最大值为2,此时A=,B=.
11.【解析】(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4,
∴c=2,∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.
(2)∵cosC=,∴sinC===.
∴sinA===.
∵a<c,∴A<C,故A为锐角,
∴cosA===.
∴cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC
=×+×=.
12.【解析】(1)由=及正弦定理得:
sinB=sin 2C,
∴B=2C或B+2C=π.
当B=2C时,由<C<得,
π<B<π,
∴B+C>π(不合题意),∴B+2C=π,
又A+B+C=π,
∴A+(π-C)=π,∴A=C,
∴△ABC为等腰三角形.
(2)∵|+|=2,
∴a2+c2+2accosB=4.
∵a=c,∴cosB=,
而cosB=-cos 2C,
∴<cosB<1,∴1<a2<,
又·=ac·cosB=a2·=2-a2,
∴<·<1,
即所求·的取值范围是(,1).
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