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3.5 力的分解
[目标定位] 1.进一步把握力的平行四边形定则.2.知道力的分解也遵守平行四边形定则.3.理解力的分解原则，会正确分解一个力．
一、力的分解
1．力的分解：已知一个力求它的分力的过程叫做力的分解．
2．力的分解原则：力的分解是力的合成的逆运算，同样遵守平行四边形定则．即把一个已知力F作为平行四边形的对角线，画平行四边形．那么，与已知力F共点的平行四边形的两个邻边就表示力F的两个分力．
3．力的分解依据：假如没有限制，同一个力可以分解为很多对大小和方向不同的分力．
想一想：
将一个已知力进行分解，得到的两个分力肯定比该已知力小吗？
答案 不肯定；合力与分力的关系是：合力可能大于分力，也可能小于分力，还有可能等于分力．
二、矢量相加的法则
1．矢量：既有大小，又有方向，合成时遵守平行四边形定则(或三角形法则)的物理量．
标量：只有大小，没有方向，求和时依据数值相加的物理量．
2．三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法叫三角形定则．三角形法则与平行四边形定则在本质上是相同的．
图381
想一想：
矢量与标量的本质区分是什么？
答案 矢量与标量的本质区分是运算法则的不同．
一、力的分解
1．力的分解的运算法则：平行四边形定则．
2．假如没有限制，一个力可分解为很多对大小、方向不同的分力．
3．力的效果分解法
(1)依据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
(2)依据两个分力的方向作出力的平行四边形或三角形．
(3)利用数学学问解三角形，分析、计算分力的大小．
4．两种典型状况的力的分解
(1)拉力F可分解为：水平向前的力F1和竖直向上的力F2如图382甲．
(2)重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分析力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.如图乙．
图382
F1＝Fcos α，F2＝Fsin α，F1＝mgsin α，F2＝mgcos α.
例1 如图383所示，轻杆与柱子之间用铰链连接，杆的末端吊着一个重为30 N的物体，轻绳与水平轻杆之间的夹角为θ＝30°，求轻绳和杆各受多大的力？
图383
解析 悬挂重物的绳子对O点的拉力F＝G，产生两个作用效果：一个是沿绳方向拉轻绳，一个是沿杆方向压杆(因轻杆处于静止时杆所受的弹力肯定沿着杆，否则会引起杆的转动)作平行四边形如图所示，由几何关系解得
F1＝＝60 N F2＝≈52 N
答案 60 N 52 N
二、有限制条件的力的分解
力分解时有解或无解，关键看代表合力的对角线与给定的代表分力的有向线段是否能构成平行四边形(或三角形)，若能，即有解；若不能则无解．具体状况有以下几种：
1．已知合力和两个分力的方向时(如图384甲)，两分力有唯一解(如图384乙所示)．
图384
2．已知合力和一个分力的大小和方向时(如图385甲，若已知F和F1)，另一分力有唯一解(如图乙)．
图385
3．已知合力以及一个分力的大小和另一个分力的方向时，如图386，有下面几种可能：
图386
(1)当Fsin θ＜F2＜F时，有两解(如图甲)．
(2)当F2＝Fsin θ时，有唯一解(如图乙)．
(3)当F2＜Fsin θ时，无解(如图丙)．
(4)当F2＞F时，有唯一解(如图丁)．
图387
例2 按下列两种状况把一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力．
(1)一个分力在水平方向上，并等于240 N，求另一个分力的大小和方向；
(2)一个分力在水平方向上，另一个分力与竖直方向的夹角为30°斜向下(如图387所示)，求两个分力的大小．
解析 (1)力的分解如图所示．
F2＝＝300 N
设F2与F的夹角为θ，则：tan θ＝＝，解得θ＝53°
(2)力的分解如图所示．
F1＝Ftan 30°＝180× N＝60 N
F2＝＝N＝120 N.
答案 (1)300 N 与竖直方向夹角为53° (2)水平方向分力的大小为60 N，斜向下的分力大小为120 N
图388
例3 如图388所示，一个大人与一个小孩在河的两岸，沿河岸拉一条船前进，大人的拉力为F1＝400 N，方向与河中心线的夹角为30°，要使船向正东方向行驶，求小孩对船施加的最小力的大小和方向．
解析 如图所示，使合力F沿正东方向，则小孩施加的最小拉力方向为垂直于河岸且向北拉船，力的最小值为F2＝F1sin 30°＝100× N＝50 N.
答案 50 N，方向垂直河岸向北
三、力的正交分解
1．建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
图389
2．正交分解各力，即将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图389所示．
3．分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…
4．求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝.
图3810
例4 在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图3810所示，求它们的合力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
解析 本题若直接运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，需多次确定各个力的合力的大小和方向，计算过程格外简单．为此，可接受力的正交分解法求解此题．
如图甲，建立直角坐标系，
把各个力分解到这两个坐标轴上，
并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N，
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N.
因此，如图乙所示，合力：
F＝≈38.2 N，tan φ＝＝1.
即合力的大小约为38.2 N，
方向与F1夹角为45°斜向右上．
答案 38.2 N，
方向与F1夹角为45°斜向右上
按力的效果分解
图3811
1．在图3811中，AB、AC两光滑斜面相互垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力依据其作用效果分解，则两个分力的大小分别为( )
A.G，G B.G，G
C.G，G D.G，G
解析 对球所受重力进行分解如图所示，由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
答案 A
图3812
2．如图3812所示，已知电灯的重力为G＝10 N，AO绳与顶板间的夹角为θ＝45°，BO绳水平．
(1)请按力的实际作用效果将OC绳对O点的拉力加以分解，并作出图示．
(2)AO绳所受的拉力F1和BO绳所受的拉力F2分别为多少？
解析 OC绳的拉力产生了两个效果，一是沿着AO的方向向下拉紧AO的分力FT1，另一个是沿着BO绳的方向向左拉紧BO绳的分力FT2.画出平行四边形，如下图所示．
由于电灯处于静止状态，依据二力平衡的条件，可推断OC绳的拉力大小等于电灯的重力，因此由几何关系得FT1＝＝10 N，
FT2＝Gtan θ＝10 N；
其方向分别为沿AO方向和沿BO方向(如上图所示)．
答案 (1)见解析图 (2)10 N 10 N
3．将一个有确定方向的力F＝10 N分解成两个分力，已知一个分力有确定的方向，与F成30°夹角，另一个分力的大小为6 N，则在分解时( )
A．有很多组解 B．有两组解
C．有唯一解 D．无解
解析 设方向已知的分力为F1，如图所示，则F2的最小值F2小＝Fsin 30°＝5 N．而5 N<F2<10 N，F1、F2和F可构成如图所示的两个矢量三角形，故此时有两组解，B正确．
答案 B
力的正交分解
图3813
4．如图3813所示，水平地面上有一重60 N的物体，在与水平方向成30°角斜向上、大小为20 N的拉力F作用下匀速运动，求地面对物体的支持力和摩擦力大小．
解析 对物体进行受力分析，如图所示，物体受重力G、支持力FN、拉力F、摩擦力F′.建立直角坐标系，
对力进行正交分解得：
y方向：支持力FN＝G－Fy＝G－Fsin 30°＝60 N－20× N＝50 N；
x方向：摩擦力F′＝Fx＝Fcos 30°＝20× N＝10 N.
答案 50 N 10 N
(时间：60分钟)
题组一 力的分解
1．若将一个力F分解为两个力F1、F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1、F2不是物体实际受到的力
C．物体同时受到F、F1、F2三个力的作用
D．F1、F2共同作用的效果与F相同
答案 ABD
2．把一个力分解为两个力时，下列说法中正确的是( )
A．一个分力变大时，另一个分力肯定要变小
B．两个分力可同时变大、同时变小
C．不论如何分解，两个分力不能同时小于这个力的一半
D．不论如何分解，两个分力不能同时大于这个力的两倍
解析 设把一个力F分解为F1、F2两个分力，当F1、F2在一条直线上且方向相反时，则有F＝F1－F2，当F1变大时，F2也变大，A错、B对．F1、F2可以同时大于F的2倍，D错．当将F沿一条直线分解为两个方向相同的力F1、F2时，则有F＝F1＋F2，可知F1、F2不行能同时小于F，C对．
答案 BC
3．一个力的大小为30 N，将此力分解为两个分力，这两个分力的大小不行能是( )
A．10 N、10 N B．20 N、40 N
C．200 N、200 N D．700 N、720 N
解析 合力的大小小于两分力大小之和，大于两分力大小之差，只有A不行能．
答案 A
图3814
4．如图3814所示，质量为m的等边三棱柱静止在水平放置的斜面上．已知三棱柱与斜面之间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为30°，则斜面对三棱柱的支持力与摩擦力的大小分别为( )
A.mg和mg B.mg和mg
C. mg和μmg D.mg和mg
解析 依据重力mg的作用效果，可分解为沿斜面对下的分力F1和使三棱柱压紧斜面的力F2，依据几何关系得
F1＝mgsin 30°＝mg，F2＝mgcos 30°＝mg，由于，F1与三棱柱所受静摩擦力大小相等，F2与斜面对三棱柱的支持力相等，因此，可知A正确．
答案 A
图3815
5．小明想推动家里的衣橱，但使出了吃奶的力气也推不动，他便想了个妙招，如图3815所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的“人”字形架，然后往中心一站，衣橱被推动了．下列说法中正确的是( )
A．这是不行能的，由于小明根本没有用力去推衣橱
B．这是不行能的，由于无论如何小明的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，A板对衣橱的推力不行能大于小明的重力
解析 开头小明是推不动衣橱的，但是小明的推力与他自身的重力没什么关系．
如图：
小明的重力可以分解成沿A、B两个方向的力，由于底角较小，所以A、B方向的力会很大．A对衣橱的力可以分解成水平方向和垂直方向的力，而水平方向的力有可能大于小明的重力，故选C.
答案 C
图3816
6．如图3816所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1、2，分别用光滑挡板A、B拦住．挡板A沿竖直方向，挡板B垂直斜面．试求：
(1)分别将小球所受的重力按效果进行分解；
(2)两挡板受到两个球压力大小之比；
(3)斜面受到两个球压力大小之比．
解析 球1所受重力按效果分解如图甲所示，
F1＝Gtan θ，F2＝，球2所受重力按效果分解如图乙所示，F3＝Gsin θ，F4＝Gcos θ.所以挡板A、B所受压力之比：＝＝，
斜面所受压力之比：＝＝.
答案 见解析
题组二 有限制条件的力的分解
图3817
7．已知力F的一个分力F1跟F成30°角，F1大小未知，如图3817所示，则另一个分力F2的最小值为( )
A. B.F
C．F D．无法推断
解析 由力的三角形学问可知，当F2与力F1垂直时，F2为最小值，故F2＝Fsin 30°＝.
答案 A
8．在力的分解中，假如已知一个分力的大小和另一个分力的方向，那么它的解是( )
A．在任何状况下只有唯一解
B．可能有唯一解
C．可能无解
D．可能有两组解
解析 已知一个分力的大小和另一个分力的方向，依据平行四边形定则，将已知力分解，可能有两解，可能有一解，也可能无解．
当如图甲所示，一个分力的大小正好等于Fsin θ，因此只有一种解；
当如图乙所示，当一个分力的大小大于Fsin θ时，因此有两种解；
当如图丙所示，当一个分力的大小小于Fsin θ时，没有解．因此A错误，B、C、D正确．
解析 BCD
9．把一个80 N的力F分解成两个分力F1、F2，其中力F1与F的夹角为30°，求：
(1)当F2最小时，另一个分力F1的大小．
(2)F2＝50 N时F1的大小．
解析 (1)当F2最小时，如图甲所示，
F1和F2垂直，
此时F1＝Fcos 30°＝80× N＝40 N.
(2)依据图乙所示，Fsin 30°＝80 N×＝40 N＜F2，
则F1有两个值．
F1′＝Fcos 30°－＝(40－30) N，F1″＝(40＋30) N.
答案 (1)40 N (2)(40－30) N或(40＋30) N
题组三 力的正交分解
10．已知竖直平面内有一个大小为10 N的力作用于O点，该力与x轴正方向之间的夹角为30°，与y轴正方向之间的夹角为60°，现将它分解到x轴和y轴方向上，则( )
A．Fx＝5 N，Fy＝5 N B．Fx＝5 N，Fy＝5 N
C．Fx＝5 N，Fy＝5 N D．Fx＝10 N，Fy＝10 N
解析 画出坐标系及受力状况，如图所示，已知两分力方向，作出平行四边形．由三角形关系得Fx＝Fcos 30°＝5 N，Fy＝Fsin 30°＝5 N．故B正确．
答案 B
11．如图3818所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，受到的摩擦力大小是( )
图3818
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同
B．甲受到的摩擦力最大
C．乙受到的摩擦力最大
D．丙受到的摩擦力最大
解析 题图中三个物体对地面的压力分别为FN甲＝mg－Fsin θ，FN乙＝mg＋Fsin θ，FN丙＝mg，因它们均相对地面滑动，由F＝μFN知，F乙＞F丙＞F甲，故C正确．
答案 C
图3819
12．如图3819所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重力为200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止．不计滑轮与绳的摩擦，求地面对人的支持力和摩擦力的大小．
解析 人与重物静止，所受合力为零，对重物受力分析得，绳的拉力F1＝200 N；
对人受力分析，人受重力G、拉力F1、支持力FN、摩擦力Ff，可将绳的拉力F1正交分解，
如图所示．依据平衡方程可得：
水平方向：Ff＝F1x＝F1cos 60°＝200× N＝100 N
竖直方向：FN＝G－F1sin 60°＝(500－200×)N＝100(5－) N＝326.8 N.
答案 326.8 N 100 N
图3820
13．如图3820所示，一质量为m的物块在固定斜面上受平行斜面对上的拉力F的作用而匀速向上运动，斜面的倾角为30°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝，则拉力F的大小为多少？
解析 受力分析如图所示，可沿斜面对上为x轴正方向，垂直斜面对上为y轴正方向建立直角坐标系，
将重力向x轴及y轴分解，因物体处于平衡状态，由共点力的平衡条件可知：
平行于斜面方向：F－mgsin α－f＝0；
垂直于斜面方向：FN－mgcos α＝0；其中f＝μFN；
由以上三式解得：F＝mgsin α＋μmgcos α＝mg(＋×)＝mg.
答案 mg
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